Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Appello Luglio 2017 A.A. 2016/2017. Prof. M. Bramanti

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1 Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Appello 3. Luglio 07 A.A. 06/07. Prof. M. Bramanti Cognome: Nome N matr. o cod. persona: Dom Dom Dom 3 Es Es Es 3 Tot. Punti Domande di teoria rispondere a 3 domande su, a propria scelta A. 6 punti. Enunciare con precisione il teorema sulla derivabilità del limite di una successione di funzioni derivabili. Mostrare con opportuni contresempi la necessità delle ipotesi. Discutere, anche mediante contresempi, la completezza o meno dello spazio C [a, b con la norma C 0 e con la norma C, e la chiusura o meno di C [a, b visto come sottospazio vettoriale normato di C 0 [a, b. B. 6 punti. Enunciare con precisione e dimostrare il teorema di Cauchy dell integrale nullo, definendo accuratamente tutti i concetti coinvolti. Spiegare poi cosa significa, nel calcolo di un integrale lungo un circuito, che due circuiti sono equivalenti. C. 6 punti. La trasformata di Fourier in L : dopo aver definito lo spazio S R n delle funzioni a decrescenza rapida e averne enunciato le proprietà, mostrare come sfruttando queste proprietà è possibile definire la trasformata di Fourier di una funzione L R n, dimostrando che si ottiene un operatore lineare continuo su L R n. D. 6 punti. Dare la definizione di problema di Sturm-Liouville regolare e enunciare il teorema relativo ai suoi autovalori e autofunzioni, dimostrando le due affermazioni riguardanti la positività degli autovalori e l ortogonalità delle autofunzioni.

2 Svolgere i seguenti esercizi. 5 punti. Classificare le singolarità della seguente funzione e calcolare il residuo in ogni eventuale polo. f z cos e zi z z 3 z i.. 5 punti. Si vuole calcolare la trasformata di Fourier di f x x x x 5. a. Osservando la funzione f x, prima di eseguire qualsiasi calcolo, dire a quale spazio funzionale appartiene f e a quale apparterrà perciò f; cosa è possibile prevedere riguardo a f ξ in base alla teoria, riguardo ai seguenti punti: se f è reale, immaginaria pura, o nessuna delle due; se f è pari, dispari, o nessuna delle due; che regolarità avrà f; con che velocità tenderà a zero f. b. Calcolare quindi f e riscrivere l espressione trovata per f ξ in forma semplificata, separando parte reale e immaginaria punti. Si consideri l equazione integro-differenziale di un circuito LCR in serie con una tensione v t applicata: Li t Ri t C q 0 t 0 i τ dτ v t dove i 0 0, q 0 0 e L, C, R. a. Utilizzando il metodo della trasformata di Laplace, determinare la formula di rappresentazione che assegna la soluzione di questo problema per un generico termine noto v t L-trasformabile. b. Calcolare esplicitamente la soluzione quando v t e t/.

3 Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Appello 3. Luglio 07 A.A. 06/07. Prof. M. Bramanti Svolgimento Dom Dom Dom 3 Es Es Es 3 Tot. Punti Domande di teoria rispondere a 3 domande su, a propria scelta A. 6 punti. Enunciare con precisione il teorema sulla derivabilità del limite di una successione di funzioni derivabili. Mostrare con opportuni contresempi la necessità delle ipotesi. Discutere, anche mediante contresempi, la completezza o meno dello spazio C [a, b con la norma C 0 e con la norma C, e la chiusura o meno di C [a, b visto come sottospazio vettoriale normato di C 0 [a, b. [Risposta: v. Dispensa del corso,.. B. 6 punti. Enunciare con precisione e dimostrare il teorema di Cauchy dell integrale nullo, definendo accuratamente tutti i concetti coinvolti. Spiegare poi cosa significa, nel calcolo di un integrale lungo un circuito, che due circuiti sono equivalenti. [Risposta: v. Dispensa del corso,.5. C. 6 punti. La trasformata di Fourier in L : dopo aver definito lo spazio S R n delle funzioni a decrescenza rapida e averne enunciato le proprietà, mostrare come sfruttando queste proprietà è possibile definire la trasformata di Fourier di una funzione L R n, dimostrando che si ottiene un operatore lineare continuo su L R n. [Risposta: v. Dispensa del corso,.. D. 6 punti. Dare la definizione di problema di Sturm-Liouville regolare e enunciare il teorema relativo ai suoi autovalori e autofunzioni, dimostrando le due affermazioni riguardanti la positività degli autovalori e l ortogonalità delle autofunzioni. [Risposta: v. Dispensa del corso,.6. 3

4 Svolgere i seguenti esercizi. 5 punti. Classificare le singolarità della seguente funzione e calcolare il residuo in ogni eventuale polo. f z cos e zi z z 3 z i. Studiamo i punti: z 0, z i, z i ±e i 3 π ± z i singolarità essenziale per la presenza di e zi di esponente negativo: e zi z i n n!. n0 i. che dà infinite potenze z 0 polo del prim ordine perché cos, e quindi cos e zi, si annulla del second ordine mentre z 3 z del terzo. Il termine è regolare in 0 z i quindi non contribuisce al residuo, mentre ± cos e zi Res f z, 0 z z 0 z 3 e cos i lim z 0 z e i. i z ± poli del second ordine. Il termine i quindi non contribuisce al residuo, mentre Res f z, i z i [ i z z i z i z i i. 8 z i cos z e zi z 3 z i z i i z 3 i lim z i z è regolare in i z i z i 3 i i i 3 i

5 Res f z, i z i z i [ i z z i z i z i i. 8 z i z i i z 3 i lim z i i z z i z i 3 i i i 3 i. 5 punti. Si vuole calcolare la trasformata di Fourier di f x x x x 5. a. Osservando la funzione f x, prima di eseguire qualsiasi calcolo, dire a quale spazio funzionale appartiene f e a quale apparterrà perciò f; cosa è possibile prevedere riguardo a f ξ in base alla teoria, riguardo ai seguenti punti: se f è reale, immaginaria pura, o nessuna delle due; se f è pari, dispari, o nessuna delle due; che regolarità avrà f; con che velocità tenderà a zero f. b. Calcolare quindi f e riscrivere l espressione trovata per f ξ in forma semplificata, separando parte reale e immaginaria. a. f L R \ L R, quindi sarà f L R ma non necessariamente f continua; f è reale né pari né dispari, a priori f non sarà né reale né immaginaria pura e non avrà simmetrie; f è infinitamente derivabile, quindi f tenderà a zero all infinito più rapidamente di ogni potenza di x; f tende a zero lentamente, f potrebbe essere discontinua. b. Sia x f x x xg x, con x 5 g x x x 5, calcoliamo anzitutto ĝ col metodo dei residui. La funzione g z ha poli del 5

6 prim ordine in z ± i. e πixξ e ĝ ξ R x x 5 dx se ξ < 0 πi Res πizξ z z5, i e se ξ > 0 πi Res πizξ z z5, i e se ξ < 0 πi πizξ e z se ξ < 0 πi πiξ i /z i i e se ξ > 0 πi πizξ e z se ξ > 0 πi πiξi i /z i { se ξ < 0 π eπξ e πiξ π se ξ > 0 e πξ e πiξ π e π ξ e πiξ π e π ξ cos πξ i sin πξ Ora sfruttiamo la proprietà f ξ F xg x ξ πiĝ ξ πi π [ e π ξ cos πξ i sin πξ [ e π ξ cos πξ ie π ξ sin πξ i i { [ [ } e π ξ cos πξ i e π ξ sin πξ i [ e π ξ π sgn ξ cos πξ π sin πξ [ e π ξ π sgn ξ sin πξ π cos πξ π [ e π ξ sgn ξ sin πξ cos πξ i π [ e π ξ sgn ξ cos πξ sin πξ π e π ξ [ cos πξ sin π ξ i sgn x cos πξ sin πξ Re f ξ Im f ξ 3. 5 punti. Si consideri l equazione integro-differenziale di un circuito 6

7 LCR in serie con una tensione v t applicata: Li t Ri t t q 0 i τ dτ v t C dove i 0 0, q 0 0 e L, C, R. a. Utilizzando il metodo della trasformata di Laplace, determinare la formula di rappresentazione che assegna la soluzione di questo problema per un generico termine noto v t L-trasformabile. b. Calcolare esplicitamente la soluzione quando v t e t/. a. Ponendo I s L i t s, V s L v t s e trasformando l equazione differenziale tenendo conto delle condizioni iniziali si ha: L si s i 0 RI q 0 I s V s C s LsI RI I s Cs V s I s L R V s Cs V s I s L R. Cs Ora L R Cs e con L, C, R si ha Ora: quindi L R Cs s s 6 s 6 L 0 s s R L, LC s s 8 t L cos L e t/ cos s ; I s L e t/ cos i t e t/ cos t 6 t s L sin 6 { e t/ sin t t sin t sin t s. 6 t s 6 s v t s v t. 6 } 7

8 b. Per v t v t e t/ si ha t τ τ e τ/ cos sin e t τ/ dτ i t 0 t [ τ e t/ cos 0 t e [sin t/ cos τ sin t dτ [ τ e t/ sin. τ t cos 0 8