Serie di Fourier - Esercizi svolti

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1 Serie di Fourier - Esercizi svolti Esercizio 1 È data la funzione f con domf) = R, periodica di periodo, tale che onda quadra) 1 se < x < fx) = se x = e x = 1 se < x < 1) 1 Calcolare i coefficienti di Fourier di f Discutere il tipo di convergenza 3 Calcolare la somma della serie numerica a segni alterni k= 1) k k Calcolare i coefficienti di Fourier della funzione g con domg) = R, periodica di periodo, tale che gx) = { per x 1 per < x < 5 Calcolare i coefficienti di Fourier della funzione h con domh) = R, periodica di periodo, tale che per x / hx) = 1 per / < x < / per / x < Esercizio A) È data la funzione f con domf) = R, periodica di periodo, tale che fx) = x per x, ) 1 Calcolare i coefficienti di Fourier di f Discutere il tipo di convergenza 3 Calcolare lo scarto in media quadratica tra f e i primi due termini del suo sviluppo di Fourier 1

2 SERIE DI FOURIER - ESERCIZI SVOLTI 4 Calcolare la somma della serie numerica 1 k= k + 1) 5 Calcolare i coefficienti di Fourier della funzione gx) = { + x per < x x per < x B) Si consideri quindi la funzione ϕ definita su tutto R, periodica di periodo 4, tale che ϕx) = x per x, ) 1 Calcolarne i coefficienti di Fourier Usando l identità di Parseval, calcolare la somma della serie numerica k= 1 k + 1) 4 Esercizio 3 È data la funzione f, con domf) = R, periodica di periodo, tale che fx) = sin x per x, ) onda raddrizzata) 1 Calcolare i coefficienti di Fourier di f Discutere il tipo di convergenza 3 Calcolare i coefficienti di Fourier della funzione g, con domg) = R, periodica di periodo, tale che gx) = { per x < sin x per x <

3 SERIE DI FOURIER - ESERCIZI SVOLTI 3 SOLUZIONI Esercizio 1 Ricordiamo prima di tutto che se f è una funzione definita su R, continua a tratti e periodica di periodo, i suoi coefficienti di Fourier sono: a k = 1 b k = 1 a = 1 1 Il grafico di f è mostrato nella Figura 1 fx) dx fx) cos kx dx fx) sin kx dx 1 1 Fig 1 Si tratta evidentemente di una funzione dispari: pertanto a k = per ogni k =, 1, Inoltre, b k = sinkx) dx = 1 cosk)) k In definitiva, vediamo che se k è pari, b k =, mentre se k è dispari, b k = 4 k La serie di Fourier di f si scrive: fx) = 4 k= sink + 1)x k + 1 = 4 sin 3x sin 5x sin x ) La funzione non è continua, quindi la serie di Fourier di f non converge uniformemente a f su tutto R Tuttavia le pseudoderivate laterali di f esistono finite in ogni punto La teoria garantisce allora che la serie di Fourier di f converge: a) a fx) in ogni punto x in cui f è continua;

4 4 SERIE DI FOURIER - ESERCIZI SVOLTI b) al valore regolarizzato cioè alla media dei limiti laterali) in ogni punto x in cui f è discontinua In particolare, come si può verificare direttamente, la ) converge a zero in tutti i punti della forma x = m, m Z in tali punti infatti tutti i termini della serie si annullano) Siccome la definizione 1) assegna effettivamente il valore zero alla funzione f in tutti i punti della forma x = m, m Z, possiamo concludere che la serie di Fourier di f converge puntualmente a f su tutto R 3 Osserviamo che f/) = 1 Inoltre, sin k+1) = 1) k per ogni intero k Dunque, per x = /, dallo sviluppo di Fourier di f si ricava: da cui 1 = = 4 4 Si verifica facilmente che gx) = fx) + 1)/, con l eccezione dei punti della forma x = m, m Z Quindi, gx) = 1 + sin 3x sin 5x sin x Si noti che gx) non è né pari né dispari Nei punti di discontinuità la g assume il valore zero, mentre la sua serie di Fourier converge al valore regolarizzato y = 1/ 5 Infine, si ha hx) = gx + ) per ogni x R Effettuando la sostituzione, e osservando che si ha: sin α + m ) { cos α se m = 1, 5, 9, = cos α se m = 3, 7, 11, hx) = 1 + Si noti che h è una funzione pari cos 3x cos 5x cos 7x cos x Esercizio A) Il grafico di f è mostrato in Figura 1 Si tratta di una funzione pari Pertanto b k = per ogni k = 1,, Per quanto riguarda il calcolo dei coefficienti a k, si ha:

5 SERIE DI FOURIER - ESERCIZI SVOLTI 5 3 Fig e, per k > 1, a = 1 x dx = a k = x coskx) dx = 4 k cosk) 1 dove l integrale è stato calcolato per parti Dunque, se k è pari il coefficiente a k si annulla, mentre se k è dispari si ha a k = 4/k La serie di Fourier di fx) si scrive: fx) = 4 k= cosk + 1)x k + 1) = 4 cos 3x cos 5x cos x Poiché fx) è continua, e la sua derivata è continua a tratti, la serie di Fourier di fx) converge uniformemente e quindi anche puntualmente) a fx) su tutto R 3 Si ricordi che la media quadratica di una funzione f sull intervallo, è data da 1/ f = f x) dx Lo scarto in media quadratica tra f e il suo polinomio di Fourier P n di ordine n è dato da f P n = f a n 1/ a k + bk) Poiché b k = per ogni k, i primi due termini della serie di Fourier di f coincidono esattamente con P x) Quindi: k=1 f P = = x + 4 cos x ) dx 1/ = x dx / =

6 6 SERIE DI FOURIER - ESERCIZI SVOLTI 4 In particolare, per x =, si ha: = f) = 4 da cui si ottiene subito 8 = Partendo dallo sviluppo già ottenuto per f, si può ottenere lo sviluppo di g in due modi diversi i) Osservando che gx) = fx), si ha subito: gx) = + 4 cos 3x cos 5x cos x ii) Osservando che gx) = fx ) e ricordando che, se m è un numero dispari, cosα m) = cos α Il grafico della funzione g è disegnato nella Figura 3 Fig 3 B) Consideriamo adesso la funzione ϕ, il cui grafico è tracciato nella Figura 4 Ricordiamo che per una funzione di periodo T, le formule per calcolare i coefficienti di Fourier sono: a = 1 T T T fx) dx

7 SERIE DI FOURIER - ESERCIZI SVOLTI Fig 4 a k = T b k = T T T T T fx) cos k ) T x dx fx) sin 1 Usando queste formule, si calcola subito: a = 1 4 x dx = 1 k T x ) dx x dx = 1 Il calcolo di a k per k 1 richiede anche in questo caso un integrazione per parti; si ha: a k = 1 x cos k x dx = ) { k se k è pari x cos x dx = 8 k se k è dispari Infine, essendo ϕ una funzione pari, si ha ancora b k = per k = 1,, La serie di Fourier di ϕ si scrive: ϕx) = 1 8 k + 1) k + 1) cos x k= In questo caso, data la forma particolare della funzione, sarebbe stato possibile ricavare i coefficienti di Fourier di ϕ da quelli già calcolati per f nella prima parte dell esercizio Limitiamoci al caso k 1 Effettuando la sostituzione x = t)/, si ha: 1 ) k x cos x dx = = k x cos ) x dx = t cos kt dt = 4 t cos kt dt I coefficienti di Fourier di ϕ si ottengono quindi moltiplicando per / i corrispondenti coefficienti di Fourier di f Per una funzione di periodo T >, l identità di Parseval si scrive: T/ T/ ϕ x) dx = T a + T a k + b k) k=1