LA TRASFORMATA Z. Nel caso di segnali (sistemi) tempo-continui: La trasformata di Laplace generalizza quella di Fourier

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1 LA TRASFORMATA Z Nel caso di segali (sistemi) tempo-cotiui: La trasformata di Laplace geeralizza quella di Fourier per s= jω ( ω) ( ) + ( ) ( ) st X s = x t e dt + = jωt co ω = 2π f X xte dt Nel caso di segali (sistemi) tempo-discreti: La trasformata Z geeralizza quella di Fourier (utile ell aalisi e ella rappresetazioe di sistemi Lieari Tempo Ivariati, LTI) L4/

2 DEFINIZIONE DI TRASFORMATA Z Data la sequeza x[ ] la sua trasformata Z bilaterale è: + X ( z) = Z{ x [ ]} x [ ] z = - Esprimedo z i forma polare: (z è ua variabile complessa) j z = r e ω, ω = 2π f + + jω jω jω X z = X re = x re = x r e ( ) ( ) [ ]( ) [ ] = = { [ ]} = [ ] trasformata di Fourier di x[ r ] { } Z x F x r { [ ]} [ ] { }, Z x = F x per r = cioè z = La trasformata Z coicide co la Fourier sul cerchio uitario. L4/2

3 CONVERGENZA DELLA TRASFORMATA Z { } { } Come per F x[ ], ache la serie della [ ] x [ ]. Data ua x[ ], l isieme R: [ ] { : { } } Z x o coverge R = z Z x coverge è detto Regioe di Covergeza La covergeza uiforme della trasformata Z richiede che la sequeza x[ r ] sia assolutamete sommabile, cioè: + = [ ] x r Quidi la trasformata Z può covergere i casi i cui la trasformata di Fourier o coverge. < L4/3

4 I geerale: I cui: CONVERGENZA DELLA TRASFORMATA Z (Cot.) Regioe di covergeza aulare el piao z: R < z R X < co X X + R 0 e R X + ache uguale a Classe importate di trasformate è quella per cui: X ( z ) = Rapporto di poliomi i z (fuzioe razioale) Zeri: z per cui X ( z) = 0 (radici del poliomio umeratore) Poli: z per cui ( ) X z = (per i valori fiiti di z soo le radici del poliomio deomiatore) L4/4

5 CONVERGENZA DELLA TRASFORMATA Z (Cot.) Possoo ache esserci poli i z = 0 z = (cioè al puto all ifiito del piao complesso) No possoo esistere poli di X ( z ) iteri a R, perché X ( z ) o coverge i corrispodeza a u polo. NB: Ad ogi X ( z ) va sempre associata la regioe di covergeza, viceversa la sequeza x[ ] o è defiita uivocamete. L4/5

6 Esempio Sia [ ] = [ ] co u( ) x a u Allora la trasformata Z vale: 0 = 0 < 0 ( ) [ ] X z + = = a u z = + ( ) z = az = = az z = 0 a La serie coverge se: - az < cioè z > a R. L4/6

7 Esempio (segue) Riscrivedo X ( z ) come fuzioe razioale: X ( z) R Im Piao z Regioe di covergeza z = z a X a Re dove co o si idica uo zero, metre co x idica u polo L4/7

8 LEGAME TRA LE PROPRIETÀ DI x[ ] E LA REGIONE R DI X ( z ) I casi particolari:. Sequeza a lughezza fiita 2. Sequeze moolatere destre 3. Sequeze moolatere siistre 4. Sequeze bilatere. Sequeza a lughezza fiita: X z ( ) [ ] 2 = = x z (co e 2 iteri) La regioe di covergeza è almeo: R= { 0< z < } e può icludere sia z = 0 ( 2 0) che z = ( 0) L4/8

9 LEGAME TRA LE PROPRIETÀ DI x[ ] E LA REGIONE R DI X ( z ) 2. Sequeze moolatere destre: Soo sequeze per cui x[ ] 0 X z = per < ( ) [ ] = x z = Per la covergeza deve essere: ( R estero di u cerchio) z > R : X = ( ) x z < per z > z L4/9

10 LEGAME TRA LE PROPRIETÀ DI x[ ] E LA REGIONE R DI X ( z ) Sequeze moolatere destre (segue) Si ha che: Se 0 (sequeza causale) allora X ( z ) coverge i z =. Se < 0 allora X ( z ) o coverge i z =. Se R è l'estero di u cerchio, allora x[ ] è moolatera destra. Se z = R x[ ] è causale. L4/0

11 LEGAME TRA LE PROPRIETÀ DI x[ ] E LA REGIONE R DI X ( z ) Esempio di sequeza moolatera destra: co [ ] = [ ] x a u X ( z ) =, che coverge per z > a a z L4/

12 LEGAME TRA LE PROPRIETÀ DI x[ ] E LA REGIONE R DI X ( z ) 3. Sequeze moolatere siistre: Soo sequeze per cui [ ] X z 2 ( ) [ ] x= 0 per > 2 + x z m [ ] [ ] ( ) m x m z = x m z = m = m= m= = = 2 2 Applicabili i risultati di sequeze moolatere destre co: z z { } R= z < R + (itero di u cerchio) co l eccezioe di z = 0 se 2 > 0 X L4/2

13 LEGAME TRA LE PROPRIETÀ DI x[ ] E LA REGIONE R DI X ( z ) Esempio di sequeza moolatera siistra: X( z) = = b z = m m [ ] = ( ) x b u m ( ) ( ) = b z = b z = poedo m = m= m= ( ) m b z m= 0 = b z = = b z < z < b b z = = b z z b L4/3

14 LEGAME TRA LE PROPRIETÀ DI x[ ] E LA REGIONE R DI X ( z ) Esempio di sequeza moolatera siistra (segue): Regioe di covergeza Im Piao z X b Re co R = { z < b} z = z = 0 zero b polo L4/4

15 LEGAME TRA LE PROPRIETÀ DI x[ ] E LA REGIONE R DI X ( z ) 4. Sequeze bilatere: Soo sequeze che si estedoo da = a = ( ) [ ] [ ] = = 0 = [ ] X z = x z = x z + x z Serie A: moolatera destra co R = { z > R } Serie B: moolatera siistra co R = { z < R } + A A B X X B L4/5

16 Se LEGAME TRA LE PROPRIETÀ DI x[ ] E LA REGIONE R DI X ( z ) Sequeze bilatere (segue) R < R + X X R + = R R = R < z < R X z coverge esiste la regioe: { } + Se A B A B X X ( ) R > R + X X o esiste la regioe R A + B X z o coverge ( ) L4/6

17 LEGAME TRA LE PROPRIETÀ DI x[ ] E LA REGIONE R DI X ( z ) Esempio di sequeza bilatera [ ] ( ) ( ) x a u b u a 0 = = b co a < b Trasformado: che coverge i ( ) X z z ( 2z a b) ( )( ) z z = + = z a z b z a z b R = { a < z < b} Zeri: z = 0 z = a + 2 Poli: z = a z = b b L4/7

18 LEGAME TRA LE PROPRIETÀ DI x[ ] E LA REGIONE R DI X ( z ) Regioe di covergeza Im Piao z Regioe di covergeza X a X a b Re a+b 2 L4/8

19 TRASFORMATA Z INVERSA Il teorema itegrale di Cauchy afferma che: 2π j C k k = 0 z dz= 0 k 0 dove C è u cotoro chiuso percorso i seso atiorario che circoda l origie. k + k X ( z) z dz = x[ ] z dz 2π j 2π j C 2π j C + k [ ] [ ] = = x z dz xk C L4/9

20 TRASFORMATA Z INVERSA (Cot.) x[ ] = X ( z) z dz = Z { X ( z )} 2π j C Co C cotoro chiuso percorso i seso atiorario situato ella regioe di covergeza R di X ( z ) ed itoro all origie del piao z. L4/20

21 TRASFORMATA Z INVERSA DI FUNZIONI RAZIONALI Se X ( z ) è ua fuzioe razioale: (usado il teorema dei residui) x Z X Z X z z dz [ ] ( ) { } ( ) = = = 2π j C = ( ) Residui di X z z ei poli iteri al cotoro C Se X ( z) z è razioale può esprimersi come: ( ) X z z = Ψ ( z) ( z z ) 0 s L4/2

22 TRASFORMATA Z INVERSA DI FUNZIONI RAZIONALI (Cot.) Co: Ψ z priva di poli i z = z0 ( ) ( ) Residuo X z z i z = z =Ψ( z ) 0 0 se si ha u polo di ordie s = i z = z0 Metre, i geerale se i z = z0 si ha u polo di ordie s (s> ) s d Ψ ( z) Residuo X ( z) z i z z = 0 = s ( s )! dz z= z 0 L4/22

23 Data ESEMPIO DI TRASFORMATA Z INVERSA X ( z ) = z > a az [ ] z z x = dz = dz 2π j az 2π j z a c c Co c circofereza di raggio maggiore di a: Per 0 c racchiude u polo i z = a ( ) = = Residuo X z z i z a a x[ ] = a 0 Per < 0 si ha u polo multiplo di ordie i z = 0 L4/23

24 ESEMPIO DI TRASFORMATA Z INVERSA (Cot.) Per = : Residuo z = 0 = a Polo del ordie i zero co residuo: [ ] Polo del ordie i z = a co residuo: Residuo[ z = a] = a x = a + a = 0 Sommado i residui si ottiee: [ ] Per = 2: polo del 2 ordie i zero co residuo: d( z a) Residuo[ z = 0] = = = a 2 dz z a polo del ordie i z ( ) z= 0 z= 0 2 = a co residuo: Residuo[ z = a] = = a 2 z z = a x 2 a = + a = 0 Sommado i residui si ottiee: [ ] 2 2 Procededo così si ha: x [ ] = 0 < 0 2 L4/24

25 TRASFORMATA Z INVERSA DI FUNZIONI SERIE DI POTENZE Se X ( z ) è i forma di ua serie di poteze di z x[ ] è determiabile come coefficiete del termie poteze. z della serie di Spesso è ricavabile la corrispodete serie di poteze o è possibile rifarsi a ua serie di poteze ricavata i precedeza. L4/25

26 ESEMPIO DI TRASFORMATA Z INVERSA DI FUNZIONI SERIE DI POTENZE ( ) ( log ) X z = + az z > a espadedo il log ( x) + come serie di poteze ( ) X z = = ( ) + a z [ ] x + a ( ) = 0 0 L4/26

27 ESPANSIONE IN FRATTI SEMPLICI Se X ( z ) è razioale si può espadere i fratti semplici ed idetificare la Z { i } di termii più semplici: N P( x) Ak F( x) = = Q( x) ( x x ) essedo: k= P( x ) u poliomio di grado miore di Q( x ) x k poli si F( x ) k A residui ei poli: A = ( x x ) F( x) k k x = x k k L4/27

28 ESPANSIONE IN FRATTI SEMPLICI (Cot.) Se F( x ) ha poli multipli (i particolare uo di ordie s i x = x ): i ( ) F x N Ak = + k= k k= k i s C k ( ) x x x x i k co s k d s Ck = s k( x xi) F( x ) ( s k)! dx x= x i L4/28

29 Sia ESEMPIO: ESPANSIONE IN FRATTI SEMPLICI ( ) X z = ( )( az bz ) la trasformata Z della sequeza x[ ] moolatera destra. Espadedo X ( z ) i fratti semplici cosideradola come u rapporto di poliomi i ( ) X z z (alterativamete i z): ( )( a b ) ( ) ( ) a b / b a / a b = = + = z a z b z a z b a b = + a b az b a bz a b x a u b u a b b a [ ] = ( ) + ( ) L4/29

30 OSSERVAZIONI Per sequeze moolatere siistre o bilatere ell applicazioe della espasioe i fratti semplici va posta attezioe alla determiazioe di quali poli corrispodoo a sequeze moolatere destra e quali a siistra. Regioe di covergeza di trasformate Z razioali Per ua sequeza co Z-trasformata razioale, segue che: No coverge i corrispodeza a u polo R o può coteere alcu polo. R è ioltre limitata da poli o da zero o da ifiito L4/30

31 PROPRIETÀ DELLA TRASFORMATA Z x[ ] X ( z) x[ ] z = = y[ ] Y( z) y[ ] z - Liearità = w [ ] = a x [ ] + b y [ ]( ) a,b costati W( z) a X( z) b Y( z) R < z < R x x+ = Ry < z < Ry + = + max Rx, Ry < z < mi Rx+, Ry+ - Traslazioe (teorema del ritardo) w [ ] = x [ + 0 ] ( ) 0 ( ) W z = z X z Rx < z < Rx + Verifica: ( m0 ) 0 m 0 W z = x+ z = xmz = z xmz = z X z ( ) [ ] [ ] 0 m m [ ] ( ) L4/3

32 PROPRIETÀ DELLA TRASFORMATA Z - Derivazioe i z (teorema della moltiplicazioe per il tempo) [ ] = x [ ] w ( ) W z Verifica: ( ) dx z = z Rx < z < Rx dz ( ) x[ ] z X z = = + d dz d X( z) = x [ ] z = x [ ] z = z x [ ] z dz = = = d W z = x z = z X z dz ( ) [ ] ( ) = L4/32

33 PROPRIETÀ DELLA TRASFORMATA Z - Prodotto per espoeziale [ ] = [ ] w a x ( ) ( ) W z X a z Verifica: = arx < z< arx+ ( ) [ ] [ ]( ) ( = = = ) W z a x z x a z X a z - Coiugio [ ] = [ ] w x ( ) ( ) W z X z Verifica: = Rx < z < Rx+ * = = = * [ ] [ ] ( *) *( * ) x z x z X z = L4/33

34 - Ribaltameto w [ ] = x[ ] = PROPRIETÀ DELLA TRASFORMATA Z W( z) = X < z < z Rx+ Rx ( ) [ ] [ ] ( ) m W z = x z = x m z = X z m= - Covoluzioe (lieare) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] w= x y= xk y k W( z) X( z) Y( z) k = Rx Ry < z < Rx Ry + + ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] W z = xk y k z = xk y kz = k k k k [ ] ( ) ( ) ( ) = xkz Y z = X z Y z L4/34

35 PROPRIETÀ DELLA TRASFORMATA Z Defiizioe Sequeza Trasformata Z Regioe di covergeza x [ ] X ( z) x[ ] z = Rx < z < Rx = y[ ] Y ( z) x[ ] y = Liearità a x[ ] + b y[ ]( ) a X ( z) b Y( z) Traslazioe x[ + 0 ] z 0 X ( z) Derivazioe i z x[ ] Prodotto per espoeziale a x[ ] + = Ry < z < Ry + + max Rx, Ry < z < mi Rx+, Ry+ Rx < z < Rx+ ( ) dx z z dz X ( a z) Rx < z < Rx+ ar < z< ar x x+ Coiugio x [ ] X ( z ) R < z < R x x+ Ribaltameto x[ ] ( / ) Covoluzioe (lieare) x[ ] y[ ] X ( z) Y( z) X z / R < z < / R x+ x Rx Ry < z < Rx+ Ry+ z v dv π Prodotto x[ ] y[ ] X ( vy ) 2 j c v R R < z < R R ( Covoluzioe complessa) x y x+ y+ L4/35