Nozioni preliminari: sia R n lo spazio n-dimensionale dell algebra vettoriale. Un punto in R n e una n-pla di numeri reali (x 1, x 2 x n )

Transcript

1 SPAZI TOPOLOGICI: topologia locale (a cui siamo iteressati topologia globale (proprieta a larga scala, come quelle che distiguoo ua sfera da u coo Nozioi prelimiari: sia R lo spazio -dimesioale dell algebra vettoriale U puto i R e ua -pla di umeri reali (x, x x Isiemi aperti: dato u puto y=(y, y y, u isieme aperto e l isieme dei puti x tali che i i x y = ( x y < r r =umero reale i= U isieme aperto iclude i puti iteri ma NON il bordo U set di puti S e aperto se ogi x S ha u itoro iteramete coteuto I S

2 Abbiamo u idea ituitiva di spazio cotiuo: dato u puto di R e sempre possibile trovare puti di R arbitrariamete vicii ad esso; ioltre ua liea che cogiuge due puti di R puo essere divisa i ifiiti segmeti che uiscoo acora puti di R Proprieta di Hausdorff di R : presi due puti qualsiasi, questi avrao itori che o si itersecao Uo SPAZIO TOPOLOGICO e u isieme di puti che soddisfao le segueti proprieta : Se O e O soo due isiemi aperti, la loro itersezioe e u isieme aperto l uioe di isiemi aperti e u isieme aperto

3 Ua mappa f da uo spazio M a uo spazio N e ua regola che associa a ogi elemeto x M u uico elemeto di N y = f (x M e N o soo ecessariamete diversi ESEMPIO: y = x 3, x R e y R x ua mappa da u uico f (x ma o e ecessariamete vero il viceversa mappa molti a uo mappa uo a uo

4 Se f e ua mappa da M a N, per ogi isieme S M ci sara u immagie T N, cioe l isieme di tutti I puti che f mappa da S su N S e l immagie iversa di T S = f (T la mappa iversa e possibile solo se la mappa e uo a uo f mappa M su N, f : M N, f mappa u puto x M su y N, f : x y

5 COMPOSIZIONE DI MAPPE Date due mappe f : M N, g : N P, Esiste ua mappa g o f che mappa I puti di M su P g o f : M P ESEMPIO: f : x y y = x 3, g : y z z = y, g o f : x z z = x 6,

6 Mappa di M i (ito N : se e defiita per tutti I puti di M (l immagie di M è coteuta i N Mappa di M su (oto N : se e i piu ogi puto di N ha u immagie iversa i M (o ecessariamete uica ESEMPIO: Sia N l isieme aperto di R x + x < Sia M la superficie di ua semisfera apparteete alla sfera uitaria π θ < ESISTE u mappig uo-a-uo f di M oto N

7 Ua mappa f : M N, e cotiua i x M, se qualsiasi isieme aperto di N che cotiee f (x, cotiee l immagie di u aperto di M M e N devoo essere spazi topologici, altrimeti la ozioe di mappa cotiua o ha seso Questa defiizioe e piu geerale di quella che impariamo a aalisi I perche o poe limitazioi su ε e su δ Ua mappa si dice differeziabile di classe C k, se f (x, x, x, e ua fuzioe, defiita i u aperto di S R, cotiua co le sue derivate di ordie miore o uguale a k

8 La ozioe di MANIFOLD e cruciale per defiire u sistema di coordiate: U MANIFOLD e u isieme di puti M tale che ciascu puto ha u itoro aperto che ammette ua mappa - cotiua SU (ONTO u isieme aperto di R, dove e la dimesioe del maifold (ricordare che u puto i R e ua -pla di umeri reali (x, x x prediamo u puto P e lo mappiamo sul puto (x, x R e questa operazioe puo essere fatta per ogi itoro di P Quidi u maifold deve essere: - uo spazio topologico cotiuo - e a ciascu puto associamo ua -pla di umeri reali,cioe u sistema di coordiate Attezioe: la defiizioe di MANIFOLD riguarda solo isiemi aperti di M e di R, perche o vogliamo restrigere la topologia globale di M

9 Attezioe: o abbiamo acora itrodotto NESSUNA ozioe geometrica (agoli, lughezze etc. L uica codizioe che stiamo impoedo e che la topologia locale di M Sia la stessa di R

10 Defiizioe di sistema di coordiate: E ua coppia formata da u aperto di M e la sua mappa su u aperto di R ; tali aperti o icludoo ecessariamete TUTTO M Per esempio, (U,f e (V,g soo due distiti sistemi di coordiate o carte U V e u aperto (itersezioe di due aperti e corrispode a due diversi sistemi di coord. Quidi deve esserci ua relazioe tra I due! Predo u puto ell immagie di U V sotto la mappa f la mappa f ha u iversa f che porta i P usado la mappa g vado ell immagie di U V sotto il mappig g g o f - : R R Trasformazioe di coordiate

11 g o f - : R R Il risultato di questa operazioe e ua relazioe fuzioale tra i due sistemi di coordiate y y = = y y ( x ( x,... x,... x Se le fuzioi {y i } soo differeziabili fio all ordie k, allora tra le carte (U,f e (V,g si dice che c e ua relazioe di classe C k Se si puo costruire u sistema di carte tale che ciascu puto di M appartega almeo a u aperto di M, e se tra tutte le carte c e ua relazioe di classe C k allora il MANIFOLD e di classe C k Se k= il MANIFOLD si dice DIFFERENZIABILE

12 La ozioe di MANIFOLD DIFFERENZIABILE e importate perche cosete di aggiugere strutture al maifold, cioe possiamo defiire vettori, tesori, forme differeziali ecc. Per completare la defiizioe di trasformazioe di coordiate: date i y = J y i ( y = ( x ( x,... x,... y,... x = Se lo Jacobiao della trasformazioe y x. det. y x y... x y... x e NON NULLO i u puto P, allora il teorema della fuzioe iversa assicura che la mappa f e - e SU u itoro di P. Se J=0 la trasformazioe e sigolare

13 Cosideriamo la -sfera S : ( x + ( x + ( x isieme dei puti di R 3 tali che 3 = cost Suppoiamo di voler mappare la sfera su R usado ua sola carta, per es. se usiamo coord. sferiche, x θ = x ϕ = La sfera viee mappata sul rettagolo 0 x π, 0 x π Il polo ord θ =0 e mappato sulla liea x = 0, 0 x π Per evitare questi problemi dobbiamo imitare il mappig a isiemi aperti Quidi la mappa o esiste! Questo mappig o preserva lughezze e agoli No possiamo coprire la sfera co ua sola carta Ioltre, tutti i puti del semicerchio ϕ =0 vao i x = 0, x = π Di uovo la mappa o esiste! 0 < x < π, 0 < x < π