7 Il metodo variazionale

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1 7 Il metodo variazioale I questo capitolo itrodurremo alcue teciche variazioali, co lo scopo di otteere ulteriori risultati di esisteza di soluzioi per il problema periodico { x (P ) + g(t, x) =, x() = x(t ), x () = x (T ). Essedo l argometo molto vasto, ci accoteteremo di esporre solo alcui risultati basilari. 7.1 Defiizioe del fuzioale Lavoreremo co lo spazio HT 1 delle fuzioi x W 1,2 (,T) tali che x() = x(t ), co prodotto scalare e orma u v = u(t)v(t) dt + u (t)v (t) dt, x = x x 1/2 =( x x 2 2) 1/2. Si tratta di uo spazio di Hilbert. Cosideriamo il problema periodico { x (P ) + g(t, x) =, x() = x(t ), x () = x (T ), dove g : [,T] R R è ua fuzioe cotiua. Posto G(t, x) = x g(t, u) du, sia F : H1 T F (x) = R il fuzioale defiito da [ 1 2 x (t) 2 G(t, x(t)) ] dt. Lemma 7.1 Il fuzioale F è di classe C 1 e per ogi h H 1 T F (x)h = Se F (x) =, allora x è soluzioe di (P). [x (t)h (t) g(t, x(t))h(t)] dt. si ha Dimostrazioe. Per h H 1 T co h =1, si ha F (x + τh) F (x) τ = 1 ( 1 τ 2 = [(x (t)+τh (t)) 2 x (t) 2 ] dt ) [G(t, x(t) +τh(t)) G(t, x(t))] dt x (t)h (t) dt + τ h (t) 2 dt G(t, x(t) +τh(t)) G(t, x(t)) τ dt, 111

2 per ogi τ [ 1, 1] \{}. Per il Teorema di Lagrage, esiste u ξ ],τ[ per cui G(t, x(t) +τh(t)) G(t, x(t)) = g(t, x(t)+ξh(t)) h(t), τ ed essedo tutte le fuzioi coivolte cotiue, si ha che sup{ g(t, x(t)+ξh(t)) h(t) : t [,T], ξ ] 1, 1[ } < +. Pertato, usado il teorema della covergeza domiata, F (x + τh) F (x) τ τ = x (t)h (t) dt Vediamo così che F è quasi-differeziabile, co Ψ F (x)(h) = x (t)h (t) dt g(t, x(t))h(t) dt. g(t, x(t))h(t) dt. Siccome Ψ F : H 1 T L(H1 T, R) è cotiua, la fuzioe F è di classe C1. Suppoiamo ora che sia F (x) =. Allora x (t)h (t) dt = g(t, x(t))h(t) dt, (18) per ogi h H 1 T. Pertato, poedo v(t) = g(t, x(t)), si ha che x ha derivata debole v C([,T]), quidi x (t) =x () + t v(s) ds = x () per ogi t [,T]. Ne segue che x è di classe C 1 e x (t) = g(t, x(t)), t g(s, x(s)) ds, per ogi t [,T]. Ioltre, prededo la fuzioe costate h(t) = 1 i (18), si ha che g(t, x(t)) dt =, da cui x () = x (T ). Diremo che x è u puto critico di F se F (x) = ; i tal caso, F (x) si dirà valore critico di F. Lemma 7.2 Il fuzioale F è debolmete semi-cotiuo iferiormete: se (x ) è ua successioe che coverge debolmete i HT 1 ad ua fuzioe x, allora F (x) if F (x ). 112

3 Dimostrazioe. Si ha F (x) =F 1 (x)+f 2 (x), co F 1 (x) = 1 2 x (t) 2, dt, F 2 (x) = G(t, x(t)) dt. Sia (x ) i HT 1 tale che x x. Sia c> if F 1 (x ). Passado a ua sottosuccessioe, possiamo supporre che F 1 (x ) < c, per ogi. Per il Teorema di Mazur, esiste ua successioe (v ) di combiazioi covesse, v = α k x k, k= co α k e k= α k =1, tale che v x, fortemete i HT 1. Essedo F 1 covessa e cotiua, ( ) ( ) F 1 (x) = F 1 (v ) α k F 1 (x k ) α k c = c. k= k= Essedo c> if F 1 (x ) arbitrario, si ha che F 1 (x) if F 1 (x ). D altra parte, se x x i H 1 T, allora (x ) coverge a x uiformemete. Essedo G cotiua, G(t, x (t)) dt = G(t, x(t)) dt, per cui ache F 2 (x) if F 2 (x ). Ne segue la tesi. 7.2 Miimizzazioe Teorema 7.3 Suppoiamo che g sia itata: esiste u C> per cui Se ioltre allora (P) ha ua soluzioe. g(t, x) C, per ogi (t, x) [,T] R. G(t, x) dt =, (19) x Dimostrazioe. Se x è ua fuzioe di HT 1, scriviamo x = x + x, dove è la media di x. Allora x = 1 T x(t) dt F (x) = 1 2 x (t) 2 dt G(t, x) dt 113 [G(t, x(t)) G(t, x)] dt

4 = x (t) 2 dt x (t) 2 dt x (t) 2 dt G(t, x) dt G(t, x) dt C x(t) x g(t, u) du dt x(t) dt G(t, x) dt C T x 2. Usado la disuguagliaza di Wirtiger, si trovao due costati positive c, c per cui Ne segue che F è coerciva: F (x) c x 2 F (x) =+. x G(t, x) dt c. Sia (x ) ua successioe tale che F (x ) = if F. Essedo F coerciva, tale successioe deve essere itata. Pertato, esiste ua sottosuccessioe (x k ) k che coverge debolmete ad ua certa x i HT 1. Essedo F debolmete semi-cotiua iferiormete, si ha F (x) if k F (x k ) = F (x ) = if F, per cui x è u puto di miimo per F. Quidi, F (x) =, ossia x è soluzioe di (P). Osservazioi. Vediamo che (19) è soddisfatta se g è itata e vale la codizioe if g(t, x) dt > > x già itrodotta el Teorema 6.3. Ifatti, per il Lemma di Fatou, if x g(t, x) dt per cui esistoo a>er> tali che u< R sup g(t, x) dt, (2) x + if g(t, x) dt, x g(t, u) dt a. Allora, per x< R, usado il Teorema di Fubii, G(t, x) dt = = G(t, R) dt + G(t, R) dt + x x R R G(t, R) dt + a(x + R), 114 g(t, u) du dt g(t, u) dt du

5 da cui G(t, x) dt =. x Aalogamete lo si vede per x +. Il teorema ora dimostrato geeralizza quidi il Teorema 6.3. Notiamo ioltre che, se g(t, x) è itata e decrescete i x, allora (19) e (2) soo equivaleti. Ifatti, sia R> tale che G(t, R) dt <. Allora 1 g(t, R) dt g(t, u) du dt = 1 G(t, R) dt >, R R R da cui segue la prima disuguagliaza i (2). Aalogamete per la secoda. 7.3 Il pricipio di Ekelad Il risultato seguete è di importaza fodametale. Teorema 7.4 (Ekelad, 1974) Suppoiamo che M sia uo spazio metrico completo e che Φ: M R sia ua fuzioe cotiua e itata iferiormete. Per ogi ε>, se u M è tale che Φ(u) if M Φ+ ε, esiste u v M tale che Φ(v) Φ(u), d(v, u) ε e Φ(w) > Φ(v) εd(w, v), per ogi w v. Dimostrazioe. Dato ε>, defiiamo la seguete relazioe su M: v 1 v 2 Φ(v 1 ) Φ(v 2 ) εd(v 2,v 1 ). Si vede che è ua relazioe d ordie: v 1 v 1 ; [v 1 v 2 e v 2 v 1 ] v 1 = v 2 ; [v 1 v 2 e v 2 v 3 ] v 1 v 3. Sia u M fissato tale che Φ(u) if M Φ+ ε. Defiiamo per iduzioe la successioe (u ) i questo modo: poiamo u = u e, ua volta defiito u, per u certo N, cosideriamo l isieme S = {w M : w u }. Tale S è o vuoto, i quato u S. Scegliamo allora u +1 i S tale che Φ(u +1 ) if S Φ

6 La successioe (u ) così costruita è decrescete per la relazioe d ordie sopra defiita. Gli isiemi S soo chiusi e si ha: S S 1 S 2... S S Vediamo che diam(s ) =. Ifatti, preso u w S +1, si ha w u +1 u, per cui εd(u+1,w) Φ(u +1 ) Φ(w) if S Φ Φ(w) 1 +1 ; da ciò segue che diam(s ) 2 ε ( + 1). Essedo M completo, per quato visto sopra c è u uico elemeto v M che appartiee a tutti gli S. (Si osservi che (u ) è di Cauchy e u = v.) Essedo v S, si ha che v u, ossia Ne segue che Φ(v) Φ(u); ioltre, Φ(u) Φ(v) εd(u, v). d(u, v) 1 (Φ(u) Φ(v)) 1 ) (if Φ+ ε Φ(v) ε. ε ε M Osserviamo ora che, se per u certo w M si ha che w v, allora w u per ogi N, quidi w appartiee a tutti gli S, per cui deve essere w = v. Quidi, se w v, o può essere w v, per cui deve essere e il teorema è dimostrato. Φ(w) > Φ(v) εd(v, w), 7.4 La ricerca dei puti di sella Sia H uo spazio di Hilbert e F : H R ua fuzioe di classe C 1. Y H u sottospazio di dimesioe fiita. Usiamo le segueti otazioi: Sia Defiiamo ioltre l isieme B R = {y Y : y <R}, B R = {y Y : y R}, S R = {y Y : y = R}. M = {u C( B R,H):u SR = id}, che risulta uo spazio metrico completo, co la distaza usuale d(u, v) = max y B R u(y) v(y). 116

7 Teorema 7.5 Siao c = if u M max y B R F (u(y)), c = max y S R F (y). Se c <c, allora esiste ua successioe (x ) i H tale che F (x )=c, F (x )=. Dimostrazioe. Sia Φ : M R la fuzioe defiita da Φ(γ) = max s B R F (γ(s)). Si vede che Φ è cotiua e itata iferiormete: Sia ε ],c c [eu M tale che if M Φ= c>c. Φ(u) c + ε. Per il pricipio di Ekelad, esiste ua v M tale che Φ(v) Φ(u), d(v, u) < ε e Φ(w) > Φ(v) εd(w, v), per ogi w v. Dimostreremo ora che esiste u s B R tale che c ε F (v( s) c + ε, F (v( s)) ε, da cui segue immediatamete la coclusioe. Per assurdo, suppoiamo che o sia così. Siccome sicuramete per ogi s B R, scriviamo F (v(s)) Φ(v) Φ(u) c + ε, S = {s B R : F (v(s)) c ε} e suppoiamo per assurdo che, per ogi s S, si abbia F (v(s)) > ε. (Si oti che S Ø perché Φ(v) c.) Allora, per ogi s S, esiste u ν s H tale che ν s = 1 e F (v(s) ν s < ε ; per la cotiuità di F, esistoo δ s > eρ s > tali che F (v(y)+x) ν s < ε, per ogi y B R co y s ρ s e x H co x δ s. Essedo S compatto, esistoo s 1,..., s k i S per cui S B(s 1,ρ s1 )... B(s k,ρ sk ). Sia {ψ 1,..., ψ k } ua partizioe dell uità associata a tale ricoprimeto: le fuzioi cotiue ψ j : B R R soddisfao 117

8 (i) ψ j (y) 1, (ii) ψ j (y) = se y B(s j,ρ sj ), (iii) k j=1 ψ j(y) = 1 per ogi y S. Sia ioltre ψ : B R R la fuzioe cotiua così defiita: se F (v(y)) c ε, 1 ψ(y) = (F (v(y)) c + ε) se c ε F (v(y)) c, ε 1 se F (v(y)) c. Si oti che ψ 1eψ SR =. Poiamo δ = mi{δ s1,..., δ sk } e defiiamo w(y) =v(y)+δψ(y) k ψ j (y)ν sj. Siccome ψ è ulla su S R, si ha che w SR = v SR = id, per cui w M. Ioltre, j=1 d(w, v) δ. Sia ȳ B R tale che F (w(ȳ)) = Φ(w). Cosideriamo la fuzioe f : R R defiita da ( k ) f(t) =F v(ȳ)+tδψ(ȳ) ψ j (ȳ)ν sj. j=1 Esiste u ξ ], 1[ tale che f(1) = f() + f (ξ), per cui F (w(ȳ)) = F (v(ȳ)) + F (v(ȳ)) ε δψ(ȳ). ( F v(ȳ)+ξδψ(ȳ) k ) δψ(ȳ) k ψ j (ȳ)ν sj ψ j (ȳ)ν sj I particolare, F (v(ȳ)) F (w(ȳ)) c, per cui ψ(ȳ) = 1 e quidi w v. Ne segue che ua cotraddizioe. j=1 Φ(w) Φ(v) εδ Φ(v) εd(w, v), Diremo che F soddisfa la codizioe di Palais-Smale se, presa ua successioe (x ) i H, se (F (x )) è itata, e F (x ) =, allora (x ) ha ua sottosuccessioe covergete. 118 j=1

9 Corollario 7.6 Se, oltre alle ipotesi del teorema precedete, vale la codizioe di Palais-Smale, allora esiste u x H tale che F (x) =c e F (x) =. Dimostrazioe. Il teorema forisce ua successioe (x ) i H tale che F (x )=c, F (x ) =. Per la codizioe di Palais-Smale, esiste ua sottosuccessioe (x k ) k e u puto x H tale che k x k = x. Siccome F è di classe C 1, si ha F (x) = k F (x k )=c, F (x) = k F (x k ) =. Teorema 7.7 (Ambrosetti - Rabiowitz, 1973) Siao x,x 1 due puti i H e Ω u itoro di x, che o cotega x 1, tale che Sia e max{f (x ),F(x 1 )} < if s Ω F (s). Γ= {γ C([, 1],H):γ() = x 1,γ(1) = x 2 } c = if γ Γ max t [,1] F (γ(t)). Allora esiste ua successioe (x ) i H tale che F (x )=c, F (x )=. Se ioltre vale la codizioe di Palais-Smale, allora esiste u x H tale che F (x) =c e F (x) =. Dimostrazioe. Effettuado ua traslazioe i H, possiamo supporre che sia x = x 1. Cosideriamo la retta passate per x e x 1, cioè il sottospazio Y di dimesioe 1 geerato da x. Sia R = x, cosicché B R è il segmeto [x,x 1 ] cogiugete x co x 1. Ogi u M è ua fuzioe cotiua da [x,x 1 ] i H tale che u(x )=x e u(x 1 )=x 1. Ad essa corrispode la curva γ Γ defiita da γ(t) =u(x + t(x 1 x )). Gli isiemi M e Γ soo pertato i corrispodeza biuivoca. Poedo c = max{f (x ),F(x 1 )}, dimostriamo che c <c. Ifatti, presa ua curva γ Γ, essedo la sua immagie u isieme coesso, esiste u t ], 1[ tale che γ( t) Ω. Quidi, per ogi γ Γ. Ne segue che max F (γ(t)) if F (s), t [,1] s Ω c if s Ω F (s), e la coclusioe c <csegue dall ipotesi. Possiamo quidi applicare il Teorema 7.5 e il Corollario

10 Teorema 7.8 (Rabiowitz, 1978) Sia Y u sottospazio di H avete dimesioe fiita tale che, se Z = Y è il suo sottospazio ortogoale, si abbia Sia max F (y) < if F (z). y S R z Z c = if u M max y B R F (u(y)). Allora esiste ua successioe (x ) i H tale che F (x )=c, F (x )=. Se ioltre vale la codizioe di Palais-Smale, allora esiste u x H tale che F (x) =c e F (x) =. Dimostrazioe. Verifichiamo che c < c, dove c = max y S R F (y). Preso u M e cosiderata la proiezioe ortogoale P Y sul sottospazio Y, abbiamo che P Y u : BR Y è ua fuzioe cotiua che coicide co l idetità sul bordo S R. Pertato, il grado topologico d(p Y u, B R ) vale 1 e c è almeo u puto ȳ B R i cui la fuzioe P Y u si aulla, ossia u(ȳ) Z. Quidi, max F (u(y)) if F (z), y B R z Z per ogi u M. Ne segue che c if z Z F (z), e la coclusioe c <csegue dall ipotesi. Possiamo quidi applicare il Teorema 7.5 e il Corollario