Note integrative per il corso di Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali

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1 Note itegrative per il corso di Equazioi Differeziali alle Derivate Parziali Nicola Fusco Alcue formule utili Nel seguito, fissato u itero positivo, co α deotiamo u multi-idice di ordie, cioè ua -upla α = α,..., α di iteri o egativi. La lughezza α del multi-idice α è defiita poedo α = α +... α, metre, se x IR, co il simbolo x α deotiamo il prodotto x α = x α xα. Poiamo ifie per ogi multi-idice α = α,..., α α = α! α α! dove si è posto α! = α! α!. Se α, β soo due multi-idici di ordie, diremo che β α se risulta β i α i per ogi i =,...,. α I tal caso si defiisce il coefficiete biomiale poedo β α α! = β β!α β!. Itrodotte queste otazioi, passiamo ad euciare e dimostrare il seguete risultato oto come teorema multiomiale. Teorema Siao a,..., a umeri reali e k itero. Si ha k α a + + a = a α, α, α =k dove la somma è estesa a tutti i multi-idici α = α,..., α di lughezza k. Dimostrazioe. di Newto, si ha Dimostriamo la per iduzioe su. Per =, ricordado la formula del biomio a + a k = k i= k a i i a k i e tale formula coicide co la, i quato se = i multi-idici α = α, α di lughezza k soo ecessariamete del tipo α = i, k i. Fissato duque > tale che la valga per, sia a = a, a, co a = a,..., a. Usado acora la formula del biomio di Newto e l ipotesi iduttiva, abbiamo a + + a k = k i= k a ia k i + + a = i k i= k β a β a k i. i β β =i

2 Osserviamo che per ogi multi-idice α = α,..., α di lughezza k, posto β = α,..., α e i = β, si ha i {,,... k} e α = k i e che viceversa, fissato u multi-idice β = β,..., β di lughezza i {,,... k}, il multi-idice α = β,..., β, k i ha lughezza k. Ioltre, se α = β,..., β, k i ha lughezza k, risulta ovviamete a α = a β a k i, α α La segue allora da queste due uguagliaze e dalla. = k i β β Se f è ua fuzioe dotata di derivate fio all ordie k i u aperto di IR, dato u multi-idice α di lughezza k co il simbolo D α f si deota la derivata D α fx = k fx. x α... x α A tale riguardo, ricordiamo la seguete formula di derivazioe di Leibiz la cui dimostrazioe lasciamo per esercizio. Date due fuzioi f e g di classe C k, per ogi multi-idice α di lughezza miore o uguale a k, si ha D α fg = α D β fd α β g. β β α Passiamo ora a dimostrare la seguete formula di Wallis. Proposizioe π = lim [ + Dimostrazioe. Per ogi =,,,... poiamo Si ha facilmete I = π/!!!! si ϑ dϑ. 3 I + I per ogi =,,..., I = I per ogi. La prima disuguagliaza è immediata, metre la secoda si ottiee facilmete itegrado per parti. Da queste relazioi segue allora che Se e deduce allora i particolare che I I = + I + I + I 4 lim =. I + ].. per ogi. D altra parte, applicado la secoda uguagliaza i 3 si ha che per ogi I = I =...=!!!! Da queste uguagliaze e dalla 4 segue allora che e quidi la tesi. I =!! π!!, I + = + I =...=!! [!! ] lim + π =!! +!! I =!! +!!.

3 La prossima formula è ota come formula di Stirlig. Teorema 3 e! 5 lim = π. +/ Dimostrazioe. Poiamo per ogi itero 6 x = log! + log + e osserviamo che per ogi 7 x x + = Ricordado lo sviluppo di Taylor + log dalla 7 si ha subito che per ogi + = + + log x x k+ log = x k +, x x + = Da questa relazioe segue allora che per ogi < x x + < 3 k= k= k= k + + k. + k = 3 + =. + Da questa relazioe possiamo cocludere che la successioe {x } è strettamete decrescete, metre la { successioe x } è strettamete crescete. Duque esiste il limite lim x = l e l è fiito. Dalla 6, passado all espoeziale ad ambo i membri abbiamo allora che 8 C = e l e! = lim = lim ex. +/ Ci resta duque da provare che C = π. A tale scopo utilizziamo la formula di Wallis dalla quale otteiamo facilmete [ ] π = lim!!!!! = lim = lim. +!! +! +! Elimiiamo ora i due fattoriali che compaioo ell ultima successioe, utilizzado la relazioe di limite 8, otteedo allora π = lim C +/ + e da cui segue C = π e quidi la 5. e +/ C = lim C = C 4 +, 3

4 Richiami di Aalisi Matematica Nel seguito idicheremo co B r x la palla aperta di IR di cetro x e raggio r >. Se il cetro è l origie la palla di raggio r verrà deotata co B r. Ricordiamo la seguete formula di itegrazioe che si dimostra facilmete passado a coordiate polari i IR. Per semplicità suppoiamo che f sia ua fuzioe cotiua e sommabile da B r x i IR. Si ha allora r 9 fx dx = dϱ fx dsx, B rx B ϱx dove co S abbiamo idicato la misura superficiale sul bordo di B ϱ x. Osserviamo che elle ostre ipotesi su f la fuzioe ϱ [, r fx dsx B ϱx è cotiua e duque dalla 9 segue che per ogi ϱ, r si ha che fx dx = fx dsx. ϱ B ϱx B ϱx Ricordiamo che il teorema della divergeza afferma che se è u aperto regolare co frotiera di classe C e F : IR è u campo vettoriale di classe C si ha div F dx = F ν ds, dove ν deota la ormale estera al bordo di. Ricordiamo qui alcue cosegueze immediate della. Suppoedo sempre aperto regolare di classe C, se f, g C, valgoo le segueti formule di Gauss Gree f x i dx = e le formule di itegrazioe per parti f g dx = x i fν i ds per ogi i =,..., g f dx + fgν i ds per ogi i =,...,. x i Se ivece f, g C, sempre dal teorema della divergeza, si ottegoo le segueti formule di Gree f i f dx = ν ds, ii Df Dg dx = f g dx + f g ν ds, iii f g g f dx = f g ν f f ds. ν Richiamiamo qui d seguito le proprietà esseziali delle covoluzioi e dei mollificatori. Teorema 4 Siao f L IR, g L p IR, p. Per quasi ogi x IR la fuzioe y fx ygy è sommabile i IR e, posto f gx = fx ygy dy per q.o. x IR, IR f g L p IR e f g Lp IR f L IR g Lp IR. 4

5 Dimostrazioe. Osserviamo che se p = la fuzioe y fx ygy è sommabile per ogi x e quidi il prodotto di covoluzioe f gx è defiito sempre. Ioltre i questo caso è immediato verificare che f g L IR e che vale la. Suppoiamo ora che f, g L IR, co f, g. Applicado due volte il teorema di Fubii che per le fuzioi o egative vale seza ipotesi di sommabilità e il cambio di variabili z = x y, abbiamo 3 f gx dx = dx fx ygy dy = fx ygy dxdy IR IR IR IR IR = gy dy fx y dx = gydy fz dz = f g IR IR IR IR e quidi la risulta provata. I particolare si ha che la fuzioe fx ygy è sommabile i IR IR. Suppoiamo ora che f, g L IR di sego qualuque. Poiché fx ygy = [ f + x yg + y + f x yg y ] [ f + x yg y + f x yg + y ], applicado quato appea dimostrato alle quattro fuzioi a destra della precedete uguagliaza, si ha che fx ygy è sommabile i IR IR e quidi, per il teorema di Fubii, che per quasi ogi x IR la fuzioe y fx ygy è sommabile i IR. Ioltre, applicado due volte il teorema di Fubii come ella 3, si ha subito la f gx dx dx fx y gy dy = gy dy fx y dx = f g. IR IR IR IR IR Siao ora f L IR, g L p IR, co < p <. Idicato co q l espoete coiugato di p, si ha per quato appea dimostrato che per quasi ogi x la fuzioe y fx y gy p è sommabile e quidi che la fuzioe y fx y /p gy è i L p IR. Osservado che fx ygy = fx y /q fx y /p gy, se e deduce allora, per la disuguagliaza di Hölder, che la fuzioe y fx ygy è sommabile per quasi ogi x e che f gx p dx dx fx y /q fx y /p gy p dy IR IR IR p/q fx y dy fx y gy p dy dx IR IR IR = f p/q dx fx y gy p dy = f p/q gy p dy fx y dx IR IR IR IR = f +p/q g p p, da cui, elevado a /p, segue la. Si oti che elle ipotesi del teorema appea dimostrato risulta che f gx = g fx per quasi ogi x. Si osservi ache che se f è ua fuzioe limitata a supporto compatto i particolare se f C c IR e g L loc IR, allora il prodotto di covoluzioe è defiito per ogi x IR. Se f : IR IR è ua qualuque fuzioe, cosideriamo la famiglia { α degli aperti tali che }α A f = quasi ovuque i α. Si verifica facilmete che, posto = α, risulta essere il più grade aperto di IR i cui f è quasi ovuque ulla. Il complemetare di tale aperto è detto il supporto di f e si deota co supp f. Si osservi che se f è cotiua supp f = {x IR : fx }. Si oti ifie che se f e g soo due fuzioi a supporto compatto, ache f g lo è e risulta 4 supp f g supp f + supp g. α A 5

6 Teorema 5 Siao f C k c IR, co k =,,,... e g L loc IR. Allora f g C k IR e, se k e α k, si ha 5 D α f g = D α f g. Dimostrazioe. Sia f C c IR. Proviamo che la fuzioe f g è cotiua. Ifatti, se x h è ua successioe i IR covergete a x, essedo f uiformemete cotiua i IR, le fuzioi fx h y covergoo a fx y uiformemete al variare di y i IR. Ioltre, idicati co r il raggio di ua palla coteete il supporto di K e co r il raggio di ua palla coteete i puti x e x h per ogi h, si verifica facilmete che i supporti delle fuzioi y fx h y e della fuzioe y fx y soo tutti coteuti i B r, dove r = r + r. Duque, essedo g sommabile i B r si può passare al limite sotto il sego di itegrale e si ha lim h = lim h h fx h ygy dy = B r fx ygy dy = f gx. B r Suppoiamo ora che f sia di classe Cc IR e fissiamo x IR e i =,...,. Idicato co e i l i-esimo elemeto della base caoica di IR si ha, per ogi h f gx + he i f gx fx + he i y fx y 6 = gy dy. h IR h Co u ragioameto aalogo a quato fatto sopra si verifica ache i questo caso che per < h < le fuzioi y [ fx + he i y fx y ] /h hao tutte i supporti equilimitati e che covergoo uiformemete i IR. Si può quidi passare al limite sotto il sego di itegrale ella 6 otteedo x i f gx = IR fx ygy dy, x i provado così la 5. Il caso geerale segue da quato appea provato co u ovvio ragioameto per iduzioe. Nel seguito, diremo che ua fuzioe ϱ Cc IR è u mollificatore se ϱx per ogi x IR, ϱx dx =. IR U esempio stadard di mollificatore è forito dalla fuzioe { Cexp ϱx = x se x <, se x, dove la costate C è scelta i modo tale che ϱdx =. IR Fissato u mollificatore ϱ tale che supp ϱ = B e poedo per ogi h IN e per ogi x IR 7 ϱ h x = h ϱhx, si ottiee ua successioe di mollificatori tali che 8 ϱ h x per ogi x IR, supp ϱ h = B /h IR ϱ h x dx =. Sia f L locir e sia ua successioe di mollificatori ϱ h x = h ϱhx, dove ϱ è u mollificatore verificate la 8. Le fuzioi ϱ h f 6

7 predoo il ome di regolarizzate o mollificate della fuzioe f. Dal Teorema 5 segue allora che ϱ h f C IR per ogi h e che per ogi multi-idice α D α ϱ h fx = D α ϱ h f x = h + α IR D α ϱhx yfy dy. Le regolarizzate di ua fuzioe f foriscoo u modo semplice per approssimare ua fuzioe localmete sommabile co fuzioi più regolari, come risulta chiaro dall euciato del teorema seguete. Teorema 6 Siao ϱ h ua successioe di mollificatori verificati le 7 e 8 e f L loc IR. i Se f CIR, allora ϱ h f f uiformemete sui compatti di IR, ii se f L p IR, p <, allora ϱ h f f i L p IR, iii se f L p loc IR, p <, allora ϱ h f f i L p loc IR. Dimostrazioe. i Fissato u compatto K, essedo f uiformemete cotiua sui limitati, e quidi i particolare sull isieme {z IR : distz, K < }, per ogi ε > esiste δ, tale che se x K e y < δ risulta fx y fx < ε. Da questa relazioe, per ogi > /δ e x K si ha allora, ricordado che ϱ h f = f ϱ h, che supp ϱ h = B / e che ϱ h =, IR [ ] ϱ h fx fx = fx y fx ϱh ydy fx y fx B /h B ϱ h ydy < ε ϱ h ydy = ε, /h IR da cui segue la tesi. ii Fissato ε >, essedo C c IR deso i L p IR per p <, si ha che esiste ua fuzioe g C c IR per cui risulta f g p < ε. Dalla si ha allora, essedo ϱ h =, 9 ϱ h f f p ϱ h f g p + ϱ h g g p + g f p f g p + ϱ h g g p < ε+ ϱ h g g p. Ricordiamo che dalla 4 si ha che per ogi h supp ϱ h f B + supp g = K. Poiché K è compatto e, per quato visto i i, ϱ h g g uiformemete i K, se e deduce che ϱ h g g ache i L p IR. Passado al limite ella 9 si ha allora lim sup ϱ h f f p ε, h da cui, per l arbitrarietà di ε, segue la tesi. iii Fissato r >, poiché fy = fχ Br y per ogi y B r, si ha ache ϱ h fx = ϱ h fχ Br x per ogi h e per ogi x B r. Essedo fχ Br ua fuzioe di L p IR, da quato provato i ii segue i particolare che ϱ h f f i L p B r e quidi la tesi. Dal teorema appea dimostrato, ricordado la desità di C c i L p si ha subito il risultato seguete. Corollario 7 Sia IR aperto. Se p <, allora C c è deso i L p. 7

8 Il prossimo risultato, oto come teorema di Ascoli Arzelà, forisce u utile criterio di compattezza ello spazio delle fuzioi cotiue su di u compatto. A tale scopo, fissati u compatto K IR e ua successioe di fuzioi f h CK, diremo che la fuzioi f h soo equilimitate se sup max f hx <, h x K metre diremo che soo equicotiue se per ogi ε > è possibile determiare u δ > tale che f h x f h y < ε h e x, y K : x y < δ. Teorema 8 Siao dati u compatto K IR e ua successioe di fuzioi f h : K IR equilimitate ed equicotiue. Allora esiste ua successioe estratta f hk covergete uiformemete i K. Dimostrazioe. Idichiamo co x i ua successioe di puti di K desa i K. Dall ipotesi di equilimitatezza delle fuzioi f h segue subito che per ogi i IN la successioe umerica f h x i h IN è limitata. Cosiderata la successioe f h x h IN si può allora estrarre dalla successioe f h ua sottosuccessioe, che idichiamo co f h, tale che la successioe umerica f h x risulti covergete. Cosiderata h IN poi la successioe f h x allo stesso modo si determia ua sottosuccessioe f h IN h della successioe f h tale che la successioe umerica f h x coverga. Si oti che per costruzioe si ha che h IN ache la successioe f h x coverge. Cotiuado i tal modo, per ogi itero i > si riesce h IN a determiare ua successioe f i i h, estratta dalla successioe f h, co la proprietà che le successioi umeriche f i h x j covergoo per ogi itero j =,..., i. h IN Posto allora g i = f i i per ogi i IN, la successioe g i risulta estratta dalla successioe f h e per quato appea detto si deduce facilmete che tali fuzioi covergoo i ogi puto della successioe x j. Mostriamo ora che le fuzioi g i covergoo uiformemete i K e a tale scopo fissiamo ε >. Sia δ u umero per cui valga la per le f h e duque i particolare per le g i. Osserviamo che N K B δ x i e quidi, per la compattezza di K, esiste u itero N tale che K B δ x i. Preso u i= qualuque x K e u j {,..., N} tale che x x j < δ, per ogi l, m IN si ha g l x g m x g l x g l x j + g l x j g m x j + g m x g m x j < ε + g l x j g m x j. Poiché le successioi umeriche g i x j covergoo per ogi j, dal criterio di covergeza di Cauchy i IN segue che esiste u idice i ε tale che Da questa relazioe e dalla si ha allora che i= g l x j g m x j < ε l, m > i ε e j =,..., N. g l x g m x < 3ε l, m > i ε e x K. La successioe g i verifica quidi il criterio di Cauchy per la covergeza uiforme e duque coverge uiformemete i K. Ua variate assai utilizzata del teorema di Ascoli-Arzelà si ottiee sostituedo l equilimitatezza co la del corollario sequete, che viee detta equilipschitziaità. Tale ipotesi, pur essedo più forte risulta più agevole da verificare. Corollario 9 Siao dati u compatto K IR e ua successioe f h : K IR tali che f h x f h y L x y h e x, y K per qualche L >. Se esiste x K per il quale la successioe f h x risulta limitata, allora la f h ammette u estratta covergete uiformemete i K. 8

9 Dimostrazioe. Basta osservare che la implica la e che dall ipotesi che la successioe f h x è limitata e dalla segue subito l equilimitatezza delle f h. 3 Le fuzioi Gamma e Beta Sia t >. Poiamo 3 Γt = x t e x dx. Posto fx = x t e x, risulta fx < x t ed essedo t >, e segue che f è sommabile i. D altra parte, poiché lim x + xt+ e x =, si ha che esiste M > tale che x t+ e x < per x > M e duque fx < /x per x > M, da cui segue la sommabilità di f all ifiito. Quidi la fuzioe defiita dalla 3, detta fuzioe Gamma, è sempre fiita per t >. Osserviamo che 4 Γ = e x dx =, Γt + = tγt per ogi t >. Ifatti, la prima uguagliaza è immediata e la secoda si ottiee itegrado per parti Γt + = x t e x dx = [ x t e x] + t x t e x dx = tγt. Si oti che le due uguagliaze i 4 mostrao che la fuzioe Γ estede a, il fattoriale di u umero. Ifatti per ogi itero positivo risulta 5 Γ + = Γ = =! Γ =!. Effettuado il cambio di variabili x = y / ell itegrale i 3 si ottiee che 6 Γt = t y t e y / dy. Da questa uguagliaza, idicado co Q il primo quadrate el piao, si ha facilmete, applicado prima il teorema di Fubii e successivamete passado i coordiate polari [ Γ = e ] x / dx e y / dy da cui segue 7 Γ = π. = e x +y / dxdy = Q π/ dϑ ϱe ϱ / dϱ = π, Co u calcolo aalogo a quello appea fatto, utilizzado sempre la 6, si ha che per ogi s, t > ΓsΓt = s t x s e x / dx y t e y / dy = s t x s y t e x +y / dxdy Q = s t ϱ s+t e ϱ / dϱ = Γs + t π/ π/ cos ϑ s si ϑ t dϑ. cos ϑ s si ϑ t dϑ 9

10 Da questa uguagliaza, posto per s, t > 8 Bs, t = segue subito π/ cos ϑ s si ϑ t dϑ, 9 Bs, t = ΓsΓt Γs + t. La fuzioe defiita per s, t Q dalla 8 si chiama fuzioe Beta. immedia-tamete che per ogi s, t Q Si oti che dalla 9 segue Bs, t = Bt, s. U altra espressioe assai utile della Beta si ottiee effettuado il cambio di variabile x = cos ϑ ell itegrale i 8. Co tale cambio di variabile, essedo dx = cos ϑ si ϑ dϑ, si verifica subito che risulta 3 Bs, t = x s x t dx. 4 Volume della palla e misura della superficie sferica Nel seguito idicheremo co ω la misura -dimesioale della palla uitaria B di IR. Idicado co E la misura di Lebesgue di u isieme di IR, si ha aturalmete B r x = r ω. Se co σ idichiamo la misura della superficie della palla uitaria, si ha aturalmete per ogi r > e x IR 3 S B r x = r σ. La seguete proposizioe forisce la misura superficiale della palla uitaria. Proposizioe Sia. Risulta σ = ω. Dimostrazioe. Applicado la 9 co f e usado la 3 si ha subito da cui segue la tesi. ω = dx = B dϱ B ϱ ds = Diamo l espressioe della misura della palla uitaria di IR. Teorema Sia. Risulta 3 ω = I particolare, si ha per ogi itero k π / /Γ/. ϱ σ dϱ = σ, 33 ω k = k π k k!! ω k = πk k!.

11 Dimostrazioe. Dalla 7 e dalla prima uguagliaza i 4 segue subito la tesi per = e per =. Ragioiamo ora per iduzioe e fissiamo 3 tale che la tesi è vera per. Deotiamo co x il geerico puto di IR e co x = x, x il geerico puto di IR. Poiché B = {x, x IR : x < x }, applicado la 9 ella palla uitaria di IR che deotiamo co B, si ha ricordado la 3 e la Proposizioe ω = x dx = dϱ B = ω ϱ ϱ dϱ. B ϱ x dsx = σ ϱ ϱ dϱ Effettuiamo, ell ultimo itegrale a secodo membro, il cambiameto di variabili ϱ = r /. I tal modo, ricordado che per ipotesi iduttiva la tesi è vera per e utilizzado ell ordie la 3, la 9, la secoda uguagliaza ella 4 e la 7, otteiamo facilmete ω = ω r 3/ r / dr = 3 = π / Γ Γ + = π / Γ Γ Γ Γ Proviamo ora la 33 che si verifica immediatamete se k =. uguagliaza ella 4 e dalla 7 si ha k Γ = k 3 Γ k 3 = = π / Γ = π/. Γ B, 3 Posto duque k, dalla secoda k 3!! k 3!! Γ k = k π /. Da questa uguagliaza e dalla 3 segue subito la prima uguagliaza ella 33. Ifie, ricordado la 5, si ha ω k = πk kγk = πk k!. 5 Calcolo di alcui itegrali otevoli Comiciamo col calcolare l itegrale su IR + del ucleo di Poisso per il semispazio 34 Kx, y = x ω x y. Proposizioe Sia. Per ogi x IR + si ha Kx, y dsy =. IR + Dimostrazioe. Fissiamo x = x, x co x >. Effettuado i IR prima il cambio di variabili y = x = z e poi il cambio di variabili z = x w che ha jacobiao x e ricordado la 9, dall espressioe

12 34 di K otteiamo Kx, y dsy = x IR ω + = x ω IR + Kx, y dsy = = ω dy x y + x / = x ω dz x z / = ω + x dϱ IR IR B ϱ π / Γ IR IR dsw + w / = ω ω dz z + x / dw + w / ϱ dϱ. + ϱ / Ricordado ora le 3, 9, 7 e la defiizioe di Beta 8 ed effettuado il cambiameto di variabile ϱ = tg ϑ ell ultimo itegrale otteiamo facilmete Γ π/ = Γ πγ π/ π / si ϑ cos ϑ Γ si ϑ dϑ = Γ Γ B + si ϑ cos ϑ, =. / dϑ cos ϑ Fissati x IR, t IR e r > idichiamo co E r x, t la palla parabolica { 35 E r x, t = y, s IR + : s < t, Φx y, t s > } r, dove Φ : IR,, è la soluzioe fodametale dell equazioe del calore Φx, t = e x /4t. 4πt / Se il cetro della palla parabolica è, scriveremo E r al posto di E r,. Proposizioe 3 Siao, x, t IR,, r >. Risulta x y 36 t s dyds = 4r. E rx,t Dimostrazioe. Effettuado il cambio di variabili z = y x, τ = s t r r, che porta E rx, t i E co jacobiao r +, si ha x y z dyds = r t s E τ dzdτ E rx,t e duque, per provare la 36 basta mostrare che 37 E y s dyds = 4. A tale scopo, osserviamo che, per la 9 risulta che per ogi r > r r 38 y dy = dϱ y dsy = ω ϱ + dϱ = ω { y <r} B ϱ + r+. Poiché dalla 35 si ha facilmete che E = { y, s IR + : s <, y < s log / / }, 4π s

13 usado il teorema di Fubii e la 38 abbiamo E y s dyds = 4π ds s { y < s log / 4π s / } y dy = + ω + Effettuado ell ultimo itegrale il cambiameto di variabili t = log / / 4π s 4π [ s / ] + log ds. 4π s e ricordado le 3, 6 e la secoda equazioe i 4 si ha, co facili calcoli, y E s dyds = 4ω 6Γ t +3 e t / dt = π / = + Γ = 4. + Γ + Γ Ciò prova la 37 e quidi la tesi. 3