x 2 + px + q =0 x + p 2 p 2 p 2

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1 Capitolo 3 Numeri complessi L itroduzioe dei umeri complessi avvee storicamete per la ecessità di dare u seso ad alcue operazioi algebriche impossibili ell isieme dei umeri reali, come ad esempio la radice quadrata di u umero egativo. I particolare svolsero u ruolo importate ella loro geesi i tetativi di risolvere le equazioi algebriche. Cosideriamo ad esempio l equazioe x + px + q =0 co p, q R. Semplicimaipolazioialgebrichepermettoodiscrivere da cui ed ifie x + p p = 4 x + p = ± r p 4 x = p ± r p Quato scritto ha seso se il umero p q risulta o egativo, poiché i tal caso è lecito 4 estrare la radice quadrata. Per dare u seso formale alla formula ache el caso i cui p q sia egativo, diremo 4 che la sua radice quadrata è u umero immagiario elaidicheremocousimbolo prettamete algebrico (seza dargli essu sigificato vero e proprio di umero). Poiché idicado p p 4 q =( 1) 4 q 1coilsimboloi, scriveremo r r p q = i q 4 43 q q. q. p 4 p 4,,

2 3.1. DEFINIZIONE E PRIME PROPRIETÀ A.A così che le soluzioi dell equazioe assumoo la forma x = a ± ib co a, b R. Ilsimboloi è detto uità immagiaria e soddisfa formalmete alla relazioe i = 1. La scrittura a + ib viee detta umero complesso: a è detta la sua parte reale, b la sua parte immagiaria, essedo il coe ciete del umero immagiario i. Se b =0siottiee u umero reale. Se a =0,siottieeiveceuumeroimmagiariopuro. Cosiderado a + ib come espressioe poliomiale ella variabile i, siottieelasegueteregolaformale per la somma di due umeri complessi (a + ib)+(c + id) =(a + c)+i(b + d). Co la precauzioe di sostituire i co il prodotto di due umeri complessi 1, si ottiee ivece la seguete regola formale per (a + ib)(c + id) =ac + iad + ibc + i bd =(ac bd)+i(ad + bc). 3.1 Defiizioe e prime proprietà I questa sezioe itrodurremo i primi cocetti sui umeri complessi. 1. I base a quato visto ella sezioe precedete, poiamo la seguete defiizioe. Defiizioe 3.1. Diciamo isieme dei umeri complessi C la famiglia delle espressioi del tipo z = a + ib co a, b R su cui soo defiite le segueti operazioi: (a) Somma: se z 1 = a + ib e z = c + id, (b) Prodotto: se z 1 = a + ib e z = c + id, z 1 + z := (a + c)+i(b + d); z 1 z =(ac bd)+i(ad + bc). Osservazioe 3.. Co u approccio più modero, possiamo idetificare u umero complesso a + ib co la coppia ordiata (a, b) apparteetear. Defiizioe 3.3. Se z = a + ib C, diremo che a è la parte reale, b la parte immagiaria di z e scriveremo a = Re(z) b = Im(z). 44

3 A.A DEFINIZIONE E PRIME PROPRIETÀ Chiaramete due umeri complessi soo uguali se e solo se hao la stessa parte reale elastessaparteimmagiaria.. Si può verificare che le proprietà algebriche di somma e prodotto viste per i umeri reali valgoo ache el caso dei umeri complessi. R può essere visto come sottoisieme di C cosiderado i umeri co b =0,eleoperazioidisommaeprodottosopraitrodottesi riducoo su di essi a quelle usuali. Estederemo duque tutte le ozioi algebriche di R a C usado le medesime otazioi. I particolare ha che 0 e 1 soo gli elemeti eutri di somma e prodotto. Idicheremo co z l opposto di z ecoz 1 il suo iverso se z 6= 0. Leloroespressioi possoo otteersi maipolado l espressioe poliomiale z = a + ib. Per quato riguarda l opposto si ha z = (a + ib) = a ib. Se z = a + ib 6= 0(quidicoa o b o ulli) l iverso è dato da Così se z =1 z 1 =(a + ib) 1 = 1 a + ib = 1 a + ib i si ha a ib a ib = a ib a + b. z = 1+i e z 1 = 1+i Itroduciamo ora i cocetti di modulo e di coiugato di u umero complesso. Defiizioe 3.4. Sia z = a + ib C. Diremo modulo o orma di z il umero o egativo z = p a + b. Diremo coiugato di z il umero complesso z = a ib. Notiamo che se z è reale, allora il suo modulo coicide co la ozioe ordiaria di modulo ovaloreassolutodiuumeroreale;ioltrez coicide co il suo coiugato. Valgoo le segueti proprietà. Proposizioe 3.5. Valgoo i segueti fatti per ogi z,w C: (a) z =0se solo se z =0; (b) zw = z w ; (c) z + w apple z + w ; (d) z + w = z + w e zw = z w; 45

4 3.1. DEFINIZIONE E PRIME PROPRIETÀ A.A (e) z = z; (f) Re(z) = z + z e Im(z) = z z ; i (g) z = z se e solo se z R; (h) z z = z e duque se z 6= 0 z 1 = z z. Dimostrazioe. Si tratta di proprietà di facile verifica. Quelle più complicate soo (b) e (c). Vediamo la (b): i coti per (c) soosimili.siaoz = a + ib e w = c + id: allora z w = p a + b p c + d = p (a + b )(c + d )= p a c + b d + a d + b c da cui si ha (b). = p (ac bd) +(ad + bc) = zw 4. Diamo u iterpretazioe geometrica alle ozioi sopra itrodotte. Possiamo idetificare u umero complesso co ua coppia ordiata di R. Pertato se z = x + iy, possiamo pesare z come il puto del piao di coordiate (x, y). I umeri reali soo duque i puti dell asse delle x (perché y = 0), metre gli immagiari puri soo i puti dell asse delle y (perché x =0). y z = x + iy x z = x iy z = x iy L opposto z = x iy è i l p u t o d e l p i a o s i m m e t r i c o d i z rispetto all origie. Il coiugato z = x iy è i l p u t o d e l p i a o s i m m e t r i c o d i z rispetto all asse delle x. Risulta duque chiaro geometricamete che gli uici umeri complessi che coicidoo co il loro coiugato soo i umeri reali. Ifie la orma z = p x + y rappreseta la distaza del 46

5 A.A DEFINIZIONE E PRIME PROPRIETÀ puto z dall origie. Duque essa è ulla se e solo se z coicide co l origie, cioè co il umero 0. y d z + w =(a + c)+i(b + d) w = c + id b z = a + ib x a c Per capire l operazioe di somma tra umeri complessi coviee vedere z come il vettore orietato di estremi 0 e z. Grazie a questa iterpretazioe, i umeri complessi si sommao co la usuale regola della diagoale pricipale dei vettori della fisica. Similmete la di ereza segue la regola della diagoale miore. y w = c + id z = a + ib x z w =(a c)+i(b d) U iterpretazioe geometrica completa del prodotto di umeri complessi sarà data ella prossima sezioe. Limitiamoci al caso del prodotto tra u umero reale a ed u umero complesso z = x + iy. Siha az = ax + iay. Notiamo che az = a z echeaz appartiee alla retta passate per z el origie. Siha duque che il vettore az ha la stessa direzioe di z, il suo modulo risulta modificato di u 47

6 3.. RAPPRESENTAZIONE TRIGONOMETRICA A.A fattore a (duque si alluga se a > 1esiaccorciase a < 1, rimae uguale se a =1), ed il verso risulta cocorde a quello di z se a>0, discorde se a<0. y az = ax + iay se a>0 z = x + iy x az = ax + iay se a<0 3. Rappresetazioe trigoometrica ed espoeziale di u umero complesso I questa sezioe itrodurremo la rappresetazioe trigoometrica e quella espoeziale di u umero complesso: esse sarao utili per la risoluzioe del problema dell estrazioe della radice -esima di u umero complesso. 1. Cosideriamo il umero z = x + iy e pesiamolo (secodo defiizioe) come il puto P = (x, y) delpiaor.possiamorappresetarep i termii della sua distaza dall origie edell icliazioe# della retta OP. Essedo ( x = cos # y = si #. si ha z = (cos # + i si #). Tale scrittura è detta la forma trigoometrica del umero z. Chiaramete si ha = z cioè è i l m o d u l o d i z. L agolo# è d e t t o u argometo di z: esso o è uivocamete determiato, poiché ogi # +k co k Z svolge il medesimo ruolo. Poiamo Arg(z) :={# +k : k Z} 48

7 A.A RAPPRESENTAZIONE TRIGONOMETRICA y O # z = x + iy x ediciamoarg(z) l isiemedegliargometidiz. L argometo apparteete all itervallo ], ] viee detto argometo pricipale del umero z ed idicato co arg(z). Notiamo che il umero z =0ammetteogiumerocomeargometo,cioèArg(0) = R. Esempio 3.6. Se z =1+i, allorasiha z = p e z = p 1 p + ip 1 = p cos 4 + i si 4 Duque è l argometo pricipale di z. Altri argometi soo ad esempio 9 o Esempio 3.7. Iumerirealipositivihaoargometopricipaleullo,quelliegativi hao argometo pricipale pari a. I umeri immagiari puri ib co b > 0hao argometo pricipale /, quelli co b<0haoargometopricipale. Ad esempio si ha i =cos + i si. L uguagliaza tra umeri complessi può essere riformulata i termii di modulo ed argometo pricipale: due umeri complessi soo uguali se e solo se hao lo stesso modulo e lo stesso argometo pricipale... Vediamo come si scrive il prodotto di due umeri complessi usado la forma trigoometrica. Siao z = 1 (cos # 1 + i si # 1 ) e w = (cos # + i si # ). Allora si ha zw = 1 (cos # 1 + i si # 1 ) (cos # + i si # )= 1 (cos # 1 + i si # 1 )(cos # + i si # ) = 1 (cos # 1 cos # + i cos # 1 si # + i si # 1 cos # si # 1 si # ) = 1 [cos # 1 cos # si # 1 si # + i(cos # 1 si # +si# 1 cos # )] = 1 (cos(# 1 + # )+i si(# 1 + # )). 49

8 3.. RAPPRESENTAZIONE TRIGONOMETRICA A.A Possiamo duque euciare il seguete risultato. Proposizioe 3.8. Il prodotto di due umeri complessi ha per modulo il prodotto dei moduli dei fattori e per argometo la somma dei loro argometi. 3. Grazie alla forma trigoometrica, possiamo forire u iterpretazioe geometrica del prodotto di due umeri complessi z,w. Abbiamo visto che zw = z w e arg(z) + arg(w) Arg(zw). y zw z w arg(w) x arg(w) Duque per otteere zw è su ciete ruotare z di u agolo arg(w) edilatarlodiu coe ciete w. Se w =1,l operazioesiriduceaduasemplicerotazioe: iparticolare il prodotto per i geera ua rotazioe di /. 4. Vediamo come si comportao l opposto, il coiugato e l iverso di u umero complesso rispetto alla forma trigoometrica. Dato A R, poiamo A := { a : a A} e A + := {a + : a A}. Grazie alle iterpretazioi geometriche della sezioe precedete valgoo le segueti relazioi: (a) z = z e Arg( z) =Arg(z)+ ; (b) z = z e Arg( z) = Arg(z); (c) z 1 = z 1 e Arg(z 1 )= Arg(z). 50

9 A.A RAPPRESENTAZIONE TRIGONOMETRICA 5. Come cosegueza della formula del prodotto, la forma trigoometrica della poteza z co N è data da z = [cos(#)+i si(#)]. Notiamo che la formula della poteza è corretta, el caso z 6= 0,achese Z: ifattisi ha per = m co m 0, viste le proprietà dell iverso, z m =(z 1 ) m = 1 [cos( #)+i si( #)] m = m [cos( m#)+i si( m#)] Duque vale la seguete proprietà. Proposizioe 3.9. Per calcolare la poteza m-esima (m Z) di u umero complesso (o ullo se m<0) basta predere la poteza m-esima del suo modulo e moltiplicare per m l argometo. Esempio Calcoliamo (1 + i) 8 :poichéilmodulodi(1+i) è p edilsuoargometo pricipale è /4, si ha (1 + i) 8 =16(cos( )+i si( )) = 16. Ivece si ha (1 + i) 3 = 1 p apple 3 3 cos 4 + i si 4 = 1 p p p! i. 6. Le cosiderazioi precedeti mostrao che il prodotto di umeri complessi è associato alla somma dei loro argometi: questo ricorda la proprietà delle poteze dei umeri reali a x a y = a x+y. Per sfruttare questa aalogia, poiamo formalmete per ogi # R e i# =cos# + i si #. Il umero complesso z = (cos # + i si #) vieecosìadassumerel espressioe z = e i# che è detta la forma espoeziale di z. Tramite questa rappresetazioe, vegoo aturali le formule 1 e i# 1 e i# = 1 e i(# 1+# ) e i# = e i# che o soo altro che i risultati precedeti riguardati prodotti e poteze di umeri complessi. Notiamo che e i = 1. Questa formula vee deomiata da Eulero la formula fodametale dell aalisi matematica poiché cotiee i simboli fodametali dell aalisi 1, e, e i. 51

10 3.3. LA RADICE N-ESIMA DI UN NUMERO COMPLESSO A.A Esempio Si ha e i 3 =cos 3 + i si 3 = 1 p 3 + i. La formula espoeziale del umero 5i è ivece 5i =5e 3 i. 3.3 La radice -esima di u umero complesso I questa sezioe ci occupiamo del problema dell estrazioe della radice -esima di u umero complesso. Siao z C e N co 1: i aalogia co il caso reale, u umero w C è u a r a d i c e -esima di z se w = z. Se z = 0, allora esiste ua sola radice -esima w = 0. Nel seguito cosideriamo duque z 6= Cerchiamo tutte le possibili radici di z usado la forma trigoometrica. Siao z = (cos # + i si #) e w = (cos + i si ) co 6= 0. Allora l uguagliaza w = z porta a da cui ( = [cos( )+i si( )] = (cos # + i si #) = # +k, k Z. La prima uguagliaza coivolge umeri reali, > 0: possiamo duque estrarre la radice -esima usuale dei umeri reali otteedo Passado agli argometi si ha = p. = # +k, k Z. Si ottegoo duque i umeri complessi della forma apple w = p # +k # +k cos + i si, k Z. 5

11 A.A LA RADICE N-ESIMA DI UN NUMERO COMPLESSO Per cotare quati umeri complessi e ettivamete diversi soo dati dalla formula precedete, dobbiamo evitare per gli argometi i multipli di : possiamosceglieresemplice- mete k = 0, 1,..., 1 otteedo come argometi 1 = #, 1 = # +,..., = # ( 1) +. Abbiamo dimostrato duque il seguete risultato dovuto a De Moivre. Proposizioe 3.1. Siao z C e N co 1. Se z 6= 0, allora z ammette esattamete radici -esime distite. Detto z = (cos # + i si #), esse soo pari a 8 w 1 = p apple cos # + i si # = p e i # >< apple w = p # cos + # + i si + = p e i #+. apple >: w = p # ( 1) # ( 1) cos + + i si + = p #+( 1) i e. Tali radici hao come modulo la radice -esima del modulo di z e il loro argometo si ottiee dividedo per quello di z ed aggiugedo la quatità k / per k =0, 1,..., 1. Esempio Le radici quadrate di 1=e i soo date da w 1 = e i = i e w = e i 3 = i. Le radici quadrate (i seso complesso) di 1 = e i0 soo date da w 1 = e i0 =1 e w = e i = 1. Le radici cubiche di 1 soo date da 8 >< w 1 =1 w = e >: i 3 = 1 + i p 3 w 3 = e i 4 3 = 1 i p 3.. Nel caso della radice quadrata, otteiamo che le soluzioi di w = z soo date da w 1 = p cos # + i si # 53

12 3.3. LA RADICE N-ESIMA DI UN NUMERO COMPLESSO A.A e w = p apple # # cos + + i si + = p cos # + i si # = w 1. Si ottegoo allora i umeri ±w 1,comec eradaaspettarsiessedo( w 1 ) = w 1 = z. Se z = x è u u m e r o r e a l e p o s i t i v o, l e r a d i c i q u a d r a t e c o m p l e s s e s o o a l l o r a ± p x, dove p x è l a r a d i c e q u a d r a t a d e i u m e r i r e a l i. S e x<0, si hao ivece da x = x e i le radici ±i p x. 3. Sia p z = {w1,...,w } l isieme delle radici -esime di z 6= 0 date dalla Proposizioe 3.1. Notiamo che w = w 1 e i, w3 = w e i,...,w = w 1 e i. Duque, da u puto di vista geometrico, tutte le radici -esime di ottegoo a partire da w 1 operado rotazioi di agolo. Cocludiamo duque che le radici -esime di z si appartegoo tutte alla circofereza di cetro l origie e raggio p z esitrovaoei vertici di u poligoo regolare di lati. y w w 3 w 1 p 6 z x w 4 w 6 w 5 4. Come si è detto all iizio del capitolo, l itroduzioe di C fu motivata dalla ecessità di dare u seso alle operazioi algebriche ache laddove la teoria dei umeri reali si arresta (ad esempio l estrazioe della radice quadrata di u umero egativo). Gra parte delle 54

13 A.A LA RADICE N-ESIMA DI UN NUMERO COMPLESSO motivazioi veivao dallo studio delle equazioi algebriche, cioè dalla ricerca degli zeri di poliomi. La teoria dei poliomi di variabile reale si estede seza di coltà al caso complesso. Possiamo parlare di poliomi p(z) acoe cieticomplessidigrado: essisooespressioi della forma p(z) =c 0 z + c 1 z c 1 z + c co c i C, c 0 6= 0. Ad esempio il poliomio p(z) =iz +(+3i)z +6 è u poliomio di secodo grado. I poliomi reali soo particolari poliomi a coe cieti complessi: i loro coe cieti soo tutti reali e z varia solo sui umeri reali. La ozioe di radice o zero di p(z) èaalogaaquelladelcasoreale: z 0 si dice ua radice di p(z) sep(z 0 )=0,cioèselafuzioepoliomialeassociataap(z) siaullaper z = z 0. Nel caso reale, alcui poliomi o ammettoo radici, ad esempio p(x) =x +1. Nel caso complesso ciò o accade, poiché vale il seguete risultato. Teorema 3.14 (Teorema fodametale dell algebra). Ogi poliomio p(z) a coe - cieti complessi di grado 1 ammette almeo ua radice i C. La dimostrazioe del Teorema fodametale dell algebra richiede strumeti avazati, ed è pertato omessa: la sua validità mostra però che l isieme dei umeri complessi è l estesioe corretta di quello dei umeri reali avedo come obiettivo quello di poter risolvere i problemi algebrici. 55

14 3.3. LA RADICE N-ESIMA DI UN NUMERO COMPLESSO A.A Esercizi 1. Dare u iterpretazioe geometrica dell iverso di u umero complesso o ullo.. Sia p(z) u poliomio di grado a coe cieti complessi. Dimostrare che p(z) può scriversi ella forma p(z) =c 0 (z z 1 ) 1 (z z k ) k co c 0 C e k =. 3. Sfruttado la Proposizioe 3.9, scrivere cos(4 ) i termii di cos e si. 4. Sia p(z) u poliomio a coe cieti reali. Dimostrare che se z 0 è radice di p(z), ache z 0 lo è. 5. Dimostrare che u poliomio p(x) a coe cieti reali può scriversi ella forma p(x) =c 0 (x 1) 1 (x ) (x h) h [(x 1 ) + 1] m1 [(x k ) + k ]m k dove c 0, i, i, i R, i,m i N. 6. Dato z = x + iy C, defiiamo l espoeziale complesso di z tramite la formula e z = e x (cos y + i si y). Dimostrare che per ogi z,w C si ha e z+w = e z e w. 7. Dato z C co z 6= 0, poiamo Log(z) :={w C : e w = z}. Log(z) è l isieme dei logaritmi di z i C. Mostrare che w = a + ib Log(z) se e solo se 8. Calcolare Log(i) elog(x) co x R. 9. Mostrare che a =l z e b Arg(z). Log(zw) =Log(z)+Log(w) e Log(z )=Log(z), N, 1 dove A + B = {a + b : a A, b B} e A = {a : a A}. 10. Sfruttado l aalogia co la formula x y = e y l x per x>0ey R, poiamo per z,w C, z 6= 0 Pot z (w) :={e : wlog(z)} dove wlog(z) idica l isieme dei umeri otteuti facedo il prodotto di w per i logaritmi di z. Mostrare che Pot z (w 1 + w )=Pot z (w 1 )Pot z (w ) e Pot z1 (w)pot z (w) =Pot z1 z (w) co z 1,z,w 1,w C. 56

15 A.A LA RADICE N-ESIMA DI UN NUMERO COMPLESSO 11. Calcolare Pot i (i) epot e (z). 1. Mostrare che per z,w 1,w C co z 6= 0siha Pot z (w 1 w ) Pot Potz(w1 )(w ) e che l iclusioe può essere stretta. 57

16 3.3. LA RADICE N-ESIMA DI UN NUMERO COMPLESSO A.A