LA INTERPOLAZIONE Appartamenti venduti nel 2006 da un agenzia immobiliare di Treviso.

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1 LA INTERPOLAZIONE Appartameti veduti el 006 da u agezia immobiliare di Treviso. superficie (mq) prezzo (k ) segue cotiua Obiettivo: studiare la relazioe tra i due caratteri.

2 Diagramma a dispersioe (scatter plot) prezzo superficie L adameto del prezzo di vedita è tedezialmete crescete al crescere della superficie. I altre parole: al crescere della superficie di u appartameto il prezzo tede a crescere. Tale relazioe o è esatta, ma tedeziale, visto che ad es. u appartameto da 60mq è stato veduto a prezzo più alto di uo da 80mq. Se la relazioe fosse esatta, il prezzo di u appartameto sarebbe uivocamete determiato dalla sua superficie (a prescidere ad es. dalla posizioe dell appartameto o dal suo stato di usura).

3 Obiettivo: descrivere il legame esistete tra due caratteri quatitativi, uo dei quali (idicato di orma ma o sempre co Y) si ritiee dipeda dall altro (idicato di orma ma o sempre co X). Di frote a due caratteri, la scelta di quale assumere come dipedete e quale come idipedete dipede da cosiderazioi teoriche oppure dall esperieza passata. L osservazioe cogiuta di X e Y su uità produce ua sequeza di coppie di valori (x,y ) =1,,. La rappresetazioe cartesiaa delle coppie (x,y ) produce ua uvola di puti la cui coformazioe è spesso di aiuto ella iterpretazioe dell adameto di Y i corrispodeza di X. L adameto cogiuto che si riscotra geeralmete tra due feomei reali o è regolare come quello di ua fuzioe matematica y=f(x), ma preseta delle irregolarità dovute a fattori accidetali oppure all iflueza di altri caratteri o cosiderati.

4 Al fie di accrescere la compresioe dei feomei empirici è i geere utile fare riferimeto ad u modello, iteso come astrazioe (rappresetazioe semplificata) della realtà. Iterpolazioe: operazioe tramite la quale è possibile descrivere il legame tra due caratteri quatitativi utilizzado ua fuzioe aalitica. La fuzioe aalitica è lo strumeto astratto che ci permette di passare dall irregolarità dei puti empirici alla regolarità di ua fuzioe matematica y=f(x). LA REGRESSIONE LINEARE y=f(x;a,b)=a+bx. Cosideriamo il metodo di iterpolazioe detto dei miimi quadrati. Come misura di scostameto tra il valore reale y e quello teorico y * =a+bx, si usa y - y * che si può vedere come l errore che si commette ell iterpolare y co y *.

5 L errore complessivo viee defiito attraverso la somma degli scostameti al quadrato tra valori empirici e teorici * ( y y ) = ( y a bx ) = 1 = 1 e i parametri a e b vegoo determiati i modo da redere miima questa quatità. La retta così otteuta è la retta del piao XY che meglio si adatta ai puti (x,y ) secodo il criterio dei miimi quadrati, ovvero la retta per cui è miima la somma delle distaze al quadrato tra valori empirici e teorici. E possibile dimostrare che i parametri della retta ai miimi quadrati valgoo b = y = 1 = 1 x x xy x e a = y bx. Il parametro a è iterpretabile graficamete come l ordiata del puto di itercetta della retta co l asse delle ordiate e idica il valore teorico del carattere dipedete Y i corrispodeza di u valore ullo del carattere idipedete X.

6 Il parametro b ha ivece a che fare co la icliazioe della retta, essedoe il coefficiete agolare. Esso idica la variazioe teorica del carattere dipedete i corrispodeza di ua variazioe uitaria del carattere idipedete. b>0 retta crescete (cocordaza) b<0 retta decrescete (discordaza) b=0 retta parallela all asse delle ascisse (idiffereza) Esempio dei 30= appartameti. x y xy x y = 9896 ; x = 79, 1; y =11, 63; x x = ,1 11,63 b = = 0,988; ,1 a = 11,63 0,988 79,1 = 34,466.

7 Equazioe della retta ai miimi quadrati y=a+bx=34,466+0,988x. E ua retta crescete, ad idicare che al crescere della superficie tede a crescere il prezzo. a=34,466 idica come il prezzo di u teorico appartameto di 0 mq sia di (è ua sorta di costo fisso). b=0,988 idica che, i base al modello, all aumetare di 1mq di superficie il prezzo aumeta di 988.

8 Botà di adattameto: ANALISI DEI RESIDUI Residuo corrispodete all uità : = = 1 y = 1 = = 1 = 1 y * ( y ) = 0 * ( y ) = mi e. e. e = y y. * U adameto casuale dei residui idica che il modello lieare fuzioa bee. residui Esempio dei 30 appartameti valori teorici U idice ormalizzato di adattameto è l idice di determiazioe lieare R.