Daniela Tondini

Transcript

1 Daiela Todii Facoltà di Medicia Veteriaria C.L. i Tutela e Beessere Aimale Uiversità degli Studi di Teramo

2 Nella ricerca scietifica e tecologica è importate misurare la reale efficacia di iterveti sul sistema oggetto di studio, ovvero valutare gli effetti complessivi idotti da ua causa ota, pur ella mutevolezza ed istabilità dei risultati idividuali. A tal riguardo, la Statistica ha proposto umerosi idici statistici, aveti quale obiettivo proprio la misurazioe di due compoeti del feomeo oggetto di studio e di iteresse scietifico: la cosisteza della sistematicità, cioè la cetralità, ovvero l attitudie che hao i feomei ad assumere tedezialmete ua certa dimesioe all osservazioe, e la variabilità o mutabilità, cioè la dispersioe, ovvero l attitudie che hao i feomei ad assumere dimesioi e tedeze diverse all osservazioe, el tempo e ello spazio. I particolare, la cetralità è misurata dai cosiddetti idici di posizioe (o idici di tedeza cetrale o idicatori di posizioe o misure di tedeza cetrale) o medie statistiche o acora più semplicemete medie, i grado di esprimere e sitetizzare la posizioe di ua distribuzioe di frequeza mediate u valore reale rappresetativo della globalità del feomeo, riassumedoe gli aspetti riteuti più importati.

3 Tali idici si possoo ricavare effettuado operazioi che coivolgoo: - tutti i termii della serie; i tal caso gli idici di posizioe maggiormete usati, deomiati medie aalitiche o di calcolo, soo la media aritmetica M a, la media geometrica M g, la media armoica M h e la media quadratica M p tra le quali sussiste la seguete relazioe: M h M g M a M p - solo alcui termii della serie, che si differeziao dagli altri per particolari caratteristiche; i tal caso gli idici di posizioe maggiormete usati, deomiati medie posizioali o di posizioe o lasche, soo la mediaa, la moda, i quartili.

4 La media aritmetica semplice, deomiata semplicemete media ed idicata co M a, usata per riassumere co u solo umero u isieme di dati relativi ad u feomeo misurabile, ovvero i preseza di variabili quatitative qualora la differeza tra u dato ed il precedete risulti costate, è otteuta dividedo la somma di tutti gli valori per il umero di osservazioi; i formule è data da: M a 1 x1 x2... x xi i1 avedo idicato co i le frequeze delle x i. La media aritmetica di umeri, duque, è quel umero che, sostituito a ciascuo di essi, lascia ivariata la somma totale e o può essere maggiore del valore più grade é miore del valore più piccolo.

5 Esempio La media aritmetica dei segueti 5 = umeri: x 1 = 10; x 2 = 13; x 3 = 9; x 4 = 7; x 5 = 12 è data da: M a xi 5 i , 2 Si osservi che, sostituedo a ciascu x i (i = 1,, 5) il valore della media M a e sommado i risultati, si ottiee; 10,2 10,2 10,2 10,2 10,2 5 M a 510,2 51 che è proprio la somma degli x i, = 51.

6 La media aritmetica poderata, ivece, è otteuta dividedo la somma di tutti gli valori, moltiplicati per le rispettive frequeze, per il umero di osservazioi; i formule è data da: M 1 s x1 1 x22... x x a i i i1 avedo idicato co i le frequeze delle x i e co la somma delle i. Tale deomiazioe deriva dal fatto che, a volte, le i o esprimoo le frequeze ma opportui pesi di poderazioe che tegoo coto di altri aspetti rilevati: -basti pesare, ad esempio, ai prezzi delle merci che vegoo poderati co cifre che esprimoo le quatità vedute di ciascua merce, allo scopo proprio di teer coto del valore globale (prezzo per quatità) degli scambi effettuati sul mercato cosiderato. s

7 Esempio Se i voti riportati i matematica da = 20 alui di ua scuola media di secodo grado soo riassuti ella seguete tabella: allora la media aritmetica è data da: Voti x i Alui i Tot. 20 M 1 s x a i i i 1 5,7

8 Se poi la v.s. X è divisa i itervalli, si può fare l ipotesi che le itesità di X di ogi itervallo siao cocetrate el valore cetrale della classe, i modo da riportarsi al caso discreto. Esempio Calcolare la statura media (aritmetica) dei coscritti italiai ati el Classi di statura (i cm) Valori cetrali delle classi x i Frequeze i Prodotti x i * i meo d e oltre s M x 171,67 cm a i i i 1 La sostituzioe delle sigole classi co il valore cetrale itroduce u errore di approssimazioe poco rilevate, ache se, tuttavia, si perde iformazioe. Tot

9 La media aritmetica, quidi, rappreseta quel valore che si può attribuire sigolarmete a ciascua uità statistica del collettivo lasciado ivariato l ammotare complessivo del carattere. La media aritmetica di umeri, duque, rappreseta il baricetro dei dati e, quidi, propoe u valore che equi-ripartisce il feomeo tra le uità statistiche, perveedo così a decisioi elle quali cotao, a parità umerica, gli estremi molto più dei valori cetrali: la media aritmetica, ifatti, costituisce u idice di equilibrio geerale. Essedo, ioltre, la media statistica per eccelleza, cosete u ottima correzioe degli errori accidetali commessi i ua rilevazioe statistica, risultado così utile, oostate la sua scarsissima resisteza ai valori eccezioali, i tutti i campi della scieza e della tecica i cui vegoo effettuate misurazioi di qualuque geere. Se la media coicide co ua delle modalità viee detta media effettiva o reale; se, ivece, o coicide co ua delle modalità è detta media di coto.

10 La media geometrica semplice, usata quado le variabili quatitative risultao o lieari ma otteute da u prodotto o da u rapporto di valori lieari o egativi e diversi da zero, si ottiee estraedo la radice -esima del prodotto degli termii; i formule è data da: g i i1 M x x x x dove è il simbolo di prodotto. La media geometrica, cosiderata come quel valore che sostituito a ciascuo degli dati e lascia ialterato il prodotto, è usata soprattutto quado i dati o soo umerosi, i termii della distribuzioe presetao valori molto differeti tra loro ed il rapporto tra u dato ed il precedete risulta costate (ad esempio, la determiazioe del tasso di iteresse medio equivalete alla sequeza dei tassi variabili, el regime di capitalizzazioe composta).

11 Esempio Uo studete ha sosteuto 6 = esami riportado i segueti voti: x 1 = 21; x 2 = 20; x 3 = 24; x 4 = 30; x 5 = 28; x 6 = 25 La media geometrica dei voti è data da: M g xi i ,41

12 La media geometrica poderata è usata, ivece, qualora ci si trovi i preseza di ua distribuzioe costituita da osservazioi e dalle relative frequeze; i formule, è data da: s g i 1 2 s i1 i 1 2 M x x x... x dove è il simbolo di prodotto ed = s. Ogi termie, duque, viee poderato, ad espoete, co la relativa frequeza. Aalogamete, si può utilizzare la seguete formula: M g 10 s i1 ilog x i s

13 Esempio La seguete tabella riporta i voti otteuti da u gruppo di studeti all esame di Matematica: Voti x i La media geometrica poderata è data da: Numeri di studeti i Tot M g ,00479

14 Aalogamete, utilizzado i logaritmi, si può impostare la seguete tabella: Essedo, poi, 4 INDICI STATISTICI Voti x i Numeri di studeti i Logaritmi dei voti logx i si ha la seguete media geometrica poderata: Prodotti i logx i , , , , , , , , Tot , log x i i i1 1, M 10 25,00479 g 34, ,

15 La media armoica semplice, usata ello studio di variabili quatitative tra loro iversamete proporzioali, ovvero quado si deve trovare il valore medio, o del feomeo cosiderato, ma di u feomeo che è l iverso del primo (ad esempio, prezzo di u bee e potere di acquisto della moeta, iteresse effettivo che cresce al decrescere del costo del titolo, ), è pari al reciproco della media aritmetica dei reciproci dei termii; i formule è data da: M h 1 x i1 i x x x La media armoica, duque, è quel valore tale che il suo reciproco, sostituito ai dati, che devoo essere tutti positivi, fa rimaere ivariata la somma dei reciproci dei dati stessi: viee usata, ifatti, per mediare rapporti di tempo.

16 Esempio La media armoica dei segueti 5 = umeri: x 1 = 10; x 2 = 13; x 3 = 9; x 4 = 7; x 5 = 12 è data da: M h x i1 i ,

17 La media armoica poderata, ivece, è data da: M h s x i i1 i x x x dove = s. La media armoica, duque, è pari al valore reciproco della media aritmetica dei reciproci dei termii. s s

18 Esempio Si cosideri la seguete tabella la seguete tabella: Voti x i Numeri di studeti i Tot. 14

19 Ne segue, allora, che la media armoica poderata è data da: M h s i x i1 i

20 La media quadratica semplice si ottiee estraedo la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati degli termii; i formule è data da: x1 x2... x 2 2 M 2 x1, x2,..., x xi i1 Tale media, deomiata ache media di precisioe, usata tutte le volte che alle differeze tra i termii ed il valore medio si dà il sigificato di deviazioe o errore del valore esatto, ovvero ei casi i cui alcui termii cosiderati risultao egativi e si desidera quidi elimiare la loro iflueza, trova applicazioe soprattutto ell ambito della teoria degli errori. Geeralizzado ora il cocetto di media quadratica, si può defiire la cosiddetta media di poteza di idice t data da: 1 t x1 x2... x M x, x,..., x t x t t 1 2 i i1 t t t

21 Esempio La media quadratica dei segueti 10 = umeri: x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 = 2; x 4 = 2; x 5 = 3; x 6 = 3; x 7 = 4; x 8 = 4; x 9 = 5; x 10 = 5 è data da: 1 10 M 2 x1, x2,..., x10 x 10 i1 2 i ,31 10

22 La media quadratica poderata, ivece, è data da: M x, x,..., x x dove è sempre la somma delle i. La precedete espressioe, geeralizzata alle poteze di idice t, diveta: dove è sempre la somma delle i s i i i1 x x x 1 s t t t t x1 1 x x s 1, 2,..., t t t i i i1 M x x x x s

23 La mediaa o valore mediao M e è quell idice di posizioe che, ua volta ordiate i seso crescete le osservazioi di u feomeo, divide la distribuzioe i due gruppi di uguale umerosità: al primo gruppo, ifatti, appartegoo le osservazioi uguali o iferiori alla mediaa; al secodo gruppo, ivece, quelle superiori o uguali alla mediaa. La mediaa, duque, è la modalità dell uità statistica che occupa il posto cetrale ella distribuzioe ordiata delle osservazioi. Dato, cioè, u isieme costituito da itesità (x 1, x 2,, x ), la determiazioe della mediaa è diversa a secoda che sia pari o dispari, precisamete si ha: - se è pari, la mediaa è data dalla semisomma delle itesità idividuate dalle due posizioi cetrali, C 1 e C 2, ovvero dalla loro media aritmetica: C C x, C x M 1 2 e C se è dispari, la mediaa è data dal valore che occupa la posizioe cetrale ella distribuzioe dei valori posti i graduatoria: M e x 1 2

24 Esempio La mediaa delle segueti itesità ( = 7, dispari): 3; 15; 9; 2; 6; 12; 5 si ottiee ordiado dapprima le itesità i ordie crescete, x 1 = 2; x 2 = 3; x 3 = 5; x 4 = 6; x 5 = 9; x 6 = 12; x 7 = 15 e poi cosiderado l itesità che occupa il posto cetrale, essedo dispari: Me x 4 6

25 Esempio La mediaa delle segueti itesità ( = 8, pari): 7; 16; 2; 3; 9; 12; 15; 5 si ottiee ordiado dapprima le itesità i ordie crescete, x 1 = 2; x 2 = 3; x 3 = 5; x 4 = 7; x 5 = 9; x 6 = 12; x 7 = 15; x 8 = 16 e poi cosiderado le itesità che occupao i due posti cetrali, essedo pari: C x x 7, C x x 9 M e

26 Se, ivece, si ha ua distribuzioe di frequeze, per calcolare la mediaa, occorre determiare le frequeze cumulate: idicado co la somma delle frequeze, se è pari, la mediaa è data da 2 Se, ivece, è dispari, la mediaa è data da: 1 2

27 Esempio Se si effettua l idagie su u umero di figli su u campioe di famiglie, come riportato ella seguete tabella: Figli essedo dispari, la mediaa è il valore corrispodete a ovvero la mediaa è 2 poiché 11<13<18. x i F.A i F.C.A Tot. 25

28 La mediaa, pertato, si può calcolare per tutte quelle variabili le cui modalità possoo essere ordiate, ovvero per le variabili qualitative ordiali, e per tutte le variabili quatitative: risulta, ifatti, più coveiete usarla qualora si voglia esprimere il valore cetrale di distribuzioi di caratteri che o possoo essere misurati esattamete (ad esempio, i caratteri psicologici graduabili) oppure qualora o si possa far riferimeto alla distribuzioe ormale, proprio grazie alla sua capacità di essere rappresetativa della posizioe della distribuzioe ache i preseza di valori estremi otevolmete diversi da tutti gli altri. La mediaa, duque, miimizza i costi complessivi ed è soprattutto resistete ai valori estremi: rappreseta, ifatti, u idice per decisioi che implicao costi elevati ei casi estremi.