Probabilità e Statistica (cenni)

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1 robabilità e Statistica (cei) remettiamo la distizioe tra i due cocetti: Defiizioe: dato il verificarsi di u eveto si defiisce la probabilità per l eveto cosiderato il rapporto tra il umero dei casi favorevoli all'eveto (cioè i casi i cui l eveto si verifica positivamete) e il umero di tutti i casi possibili. Questa defiizioe è attribuita a Laplace e quidi ache idetificata defiizioe classica di Laplace. Defiizioe: si defiisce statistica la scieza che studia dal puto di vista quatitativo e qualitativo le modalità (attraverso formule matematiche) i cui ua realtà feomeica può essere sitetizzata e quidi compresa. E ovvio che i due cocetti illustrati soo collegati, ma o rappresetao lo stesso sigificato, ifatti: la statistica aalizza la frequeza co cui si ripetoo determiati di eveti; la probabilità da u valore per stimare se u determiato eveto tra ua serie di possibilità Osservazioe può verificarsi. E ovvio però che u eveto co frequeza maggiore rispetto u altro ha probabilità maggiore di verificarsi. arte prima: la probabilità er calcolare al probabilità premettiamo alcue regole per determiare i casi possibili e e cati favorevoli per u eveto. Richiamiamo il cocetto di fattoriale di u umero. Defiizioe: se è u itero positivo si defiisce fattoriale e si idica co! il prodotto dei primi Osservazioe umeri iteri positivi. I formule Si poe per defiizioe 0! ( )( )...!

2 4! ! ! Disposizioi semplici Defiizioe: dato u isieme costituito da elemeti, si defiisce disposizioe semplice u raggruppameto di almeo u elemeto per l ordie degli elemeti k < oggetti, tale che due raggruppameti differiscao per Dato u isieme di elemeti allora le possibili disposizioi semplici soo date dalla formula ( )( )... ( ) D, k k + Quati modi vi soo di pescare 4 carte da u mazzo seza reiserire le carte estratte? Soluzioe E u problema di disposizioi semplici, i quato per le 4 carte estratte si deve cosiderate sia l ordie i cui vegoo disposte sia il loro valore, pertato: ermutazioi Nel caso i cui D 40, k o si hao più disposizioi semplici poiché si devoo cosiderare tutti gli elemeti dell isieme e o ua sua parte, pertato i questo caso si cosiderao tutti i gruppi che si possoo formare cosiderado tutti gli elemeti assegati che ovviamete soo tutti formati dagli stessi elemeti, quidi la caratteristica che distigue i vari raggruppameti è soltato l ordie di disposizioe. I questo caso allora si parla di permutazioi.

3 Dato u isieme di elemeti allora le possibili permutazioi soo date dalla formula Disposizioi co ripetizioe D ( )( )...!, Defiizioe: si defiisce disposizioe co ripetizioe di k < elemeti di u isieme, il raggruppameto el quale u elemeto può essere cosiderato più volte. DR..., k k Quati gruppi si possoo formare co u mazzo di carte pescadoe ua alla volta e reiseredola? Soluzioe DR 4 40, Quati soo i raggruppameti che si possoo formare co u mazzo di 40 carte tali che o cotegao disposizioi semplici Soluzioe DR ,4 D40, Illustriamo il sigificato del esempio precedete co ua verifica pratica. Sia dato l isieme I {,,3,4 } Allora D I, DR I, {,3,4,,3,4,3,3,34,4,4,43 } {,,3,4,,,3,4,3,3,33,34,4,4,43,44 } Da ciò si può otare che DR I, D I, + {,,33,44 } Combiazioe semplice

4 Defiizioe: dato u isieme I di elemeti si defiisce combiazioe semplice u raggruppameto di k < tale che due combiazioi semplici differiscao per almeo u elemeto. I formula: ( )... ( k ) + C. k k! Quati odi vi soo di pescare 4 carte distite da u mazzo di 4 carte? Soluzioe L ordie o è importate poiché i gruppi formati dalle stesse carte soo equivaleti (e vao cotati ua volta soltato). E importate che i raggruppameti siao distiti dal puto di vista delle carte che li compogoo. robabilità C ! U eveto è costituito da u affermazioe per la quale, a seguito di u osservazioe, sia possibile stabilire se essa sia vera o falsa. Se E ed E soo due eveti: E E E E rappreseta il caso i cui etrambi gli eveti si verificao. rappreseta il caso i cui almeo uo dei due eveti si verifica. Se [ E E E ] segue E, cioè i due eveti soo icompatibili. E E Dato u eveto e cosiderati tutti i casi possibili, possiamo distiguere due possibilità: i casi favorevoli, cioè tra tutti i casi possibili cosidero soltato quelli che verificao ua certa affermazioe; i casi sfavorevoli, cioè tra tutti i casi possibili soo quelli che o verificao ua certa affermazioe. Defiizioe: si defiisce probabilità di u eveto il rapporto tra i casi favorevoli e i casi possibili.

5 casi casi favorevoli possibili Il umero è u valore compreso tra 0 e, ioltre si ha 0 eveto mai verificato eveto certo Se defiiamo co l eveto cotrario a quello defiito dall affermazioe vale la seguete relazioe: Cioè dato u eveto A la cui probabilità di realizzarsi sia, la probabilità che si realizzi l eveto cotrario A è (cioè tutti i casi possibili meo la probabilità favorevole, si ottiee allora la egazioe di A, quidi la probabilità che o si verifichi l eveto A ma la sua egazioe, cioè l eveto cotrario). Osservazioe Dati u eveto E, allora deve essere: ( E) + ( E ) Relazioi fodametali della probabilità Dati due eveti E, si ha: se E soo icompatibili ( E E ) ( E ) ( ) + E se E soo eveti compatibili ( E E ) ( E ) + ( E ) ( E ) E E E, allora la probabilità dell eveto E E vale E E, allora la probabilità dell eveto E E vale Defiizioe: due eveti E si defiiscoo stocasticamete idipedeti se il verificarsi di E o ifluisce sulla probabilità di verificarsi di E. Cioè:

6 ( E E ) ( ) / E ( E E ) ( ) / E ( E E ) ( E ) ( ) E E è idipedete da E E è idipedete da E E è idipedete da E Se due eveti E soo stocasticamete dipedeti se il verificarsi di E dipede dall eveto E. Allora: ( E E ) ( E ) ( E ). / E arte Secoda: statistica Defiizioe: dato u isieme di valori { x x, x,..., }, 3 x si defiisce media, e i geere lo si idica x il valore otteuto dalla somma di tutte le quatità diviso il loro umero. x x + x x Osservazioe Dato u isieme di valori, la media cerca di rappresetare co u uico valore la distribuzioe di tutti gli elemeti presi i cosiderazioe. Defiizioe: dato u isieme di valori { x x, x,..., } i,...,. Defiizioe: dato u isieme di valori { x x, x,..., } ( x) x i per i,...,. Defiizioe: dato u isieme di valori { x x, x,..., }, 3 x si defiisce scarto il valore x x i per, 3 x si defiisce scarto quadratico il valore, 3 x si defiisce variaza il valore: ( x x) i σ. i

7 ( ) xi x i ( x x) + ( x x) ( x x) Oppure i forma estesa σ. Defiizioe: dato u isieme di valori { x x, x,..., } quadratico medio) il valore, 3 x si defiisce deviazioe stadard (o scarto ( x x) i σ. i ( ) xi x i ( x x) + ( x x) ( x x) Oppure i forma estesa σ. Osservazioe Si può idetificare il sigificato della deviazioe stadard come il raggio di u cerchio, il cui cetro è dato dalla media, i questo modo all itero di questo cerchio si trovao all icirca il 65% della distribuzioe dei valori che cocorroo a determiarla. Osservazioe Nel caso che sia piccolo, gli studi di statistica propogoo la formula così corretta s i ( x x) i ( x x) + ( x x) ( x x) dove s è detta variaza campioaria e restituisce valori migliori i ambito di stima statistica. Calcolare la deviazioe stadard peri il seguete isieme di valori : { 46,57,63,4,5,6,49,53,39,59,45,5,56,46 } xi x x i x ( x x) i 46 50, -4, 7,64

8 57 50, 6,8 46, ,,8 63, , -8, 67,4 5 50, 0,8 0, , 0,8 6, , -,, ,,8 7, , -, 5, , 8,8 77, , -5, 7, ,,8 3, , 5,8 33, , -4, 7,64 ( x x) + ( x x) + + ( x ) 968,4... x ( x x) + ( x x) + + ( x x) 64,56... ( x x) + ( x x) + + ( x x)... 8,03 ( x) + ( x x) ( x x) x 8.3 ertato σ 8, 30, poiché è piccolo calcoliamo ache s 8, 3.