Disposizioni semplici

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1 Disposizioi semplici Calcolo combiorio D, K ( ) ( )...( K+ ) co 0< K Di elemeti e K (umero urale) si dicoo disposizioi semplici di elemeti di classe K i raggruppameti otteuti scegliedo K elemeti tra gli dispoibili, i modo che due raggruppameti siao distiti quado differiscoo per almeo uo dei compoeti oppure per l ordie secodo il quale soo alliei.. Quate soo le disposizioi di 0 elemeti di classe 3? : D 0,3 0(0 ) (0 ) 0i 9i 8 70 tre ftori. Sei persoe hao a disposizioe qutro sedie, i quati modi diversi le possoo occupare? : D 6, i i i ftori 3. Nella corsa-tris dell ippica gli scommettitori devoo idoviare i cavalli che arrivao al, al e al 3 posto. Suppoedo che partao 8 cavalli, quati soo i possibili ordii di arrivo? : D 8,3 8(8 ) (8 ) 8i 7i tre ftori. I quati modi diversi possoo sistemarsi i ua libreria sette libri scelti tra veti dispoibili? : D 0,7 i i i i i i ftori 5. Quate soo le disposizioi di otto elemeti di classe cique? : D 8,5 i i i i ftori 6. Quati umeri di tre cifre possoo formarsi co le cifre,, 5, 6 e 7? : D 5,3 i i 5(5 )(5 ) ftori

2 Permutazioi semplici Calcolo combiorio Di elemeti si dicoo permutazioi semplici tutti i raggruppameti otteuti scegliedo tutti gli elemeti dispoibili, i modo che due raggruppameti siao cosideri distiti quado differiscoo solo per l ordie secodo il quale essi soo alliei. Duque le permutazioi semplici di elemeti distiti corrispodoo alle disposizioi degli elemeti di classe. P D, ( ) ( )...( + ) ( )( ) iiii 3i i! Il simbolo! si legge ee ftoriale. Per defiizioe valgoo: 0! ;!.. Calcolare il umero di aagrammi che possoo formarsi co le lettere della parola ROMA : P! i 3i i.. Sei persoe hao a disposizioe sei sedie. I quati modi diversi le possoo occupare?: P 6 6! 6i 5i i 3i i Quati aagrammi che iiziao co la lettera M possoo essere composti co le lettere della parola MELA? : (si trta di permutazioi di tre elemeti) P 3 3! 3i i 6.. Scrivere tutti i umeri formi dalle cifre,, 3 o ripetute : P 3 3! 3i i 6. [e soo: 3, 3, 3, 3, 3, 3 ] 5. I quati modi si possoo trovare disposte le carte di u mazzo da 0? Soluzioe : P 0 0!. 6. I quati modi diversi si possoo sistemare i ua fila di sedie 5 ragazzi e 6 ragazze, co la codizioe che i ragazzi stiao tutti vicii tra loro così come ache le ragazze? Soluzioe: Si trta di u prodotto fra due permutazioi semplici, ua riferita ai 5 ragazzi e l'altra alle 6 ragazze; per cui abbiamo: P 5 * P 6 5! * 6! 0 *

3 Calcolo combiorio 3 COMBINAZIONI SEMPLICI Di elemeti distiti, si dice «combiazioe semplice» degli elemeti presi a a qualuque gruppo coteete degli elemeti di. Poiché D, ( )( )...( + ) allora: C, C, si idica ache come D, P ( )( )...( + )! e si legge «su»:!!( )! è detto ache ordie e classe.. Quate cartelle occorre giocare al gioco del lotto per avere la certezza di vicere u tero? Si trta di trovare il umero delle combiazioi semplici di 90 elemeti presi a 3 a 3 perché soo vicitori tutti i gruppi coteeti 3 dei umeri estrti i qualsiasi ordie. COEFFICIENTI BINOMIALI C ! 90, Il simbolo si chiama coefficiete biomiale per il ruolo che ha elle formule del biomio di Newto. ALCUNE PROPRIETÀ.!! 0 0!( 0)!! Il umero di combiazioi semplici di elemeti presi a a è uguale al umero di combiazioi di elemeti della classe, detta Proprietà di simmetria : Dimostrazioe:! K!( K)! e per K risulta!. ( )! Risulta quidi: 5 5 5! 5 5 5! 5! ; !5!!!!! 5 5 5! 5! 0 3! 3! 3!! 3. Formula di STIEFEL Questa formula risulta utile per compredere alcui aspetti dei coefficieti biomiali di Newto. Per risulta:

4 + + E acora: + FORMULA DEL BINOMIO DI NEWTON Calcolo combiorio La formula permette di cooscere lo svolgimeto della poteza ( a + b) co itero positivo. Per defiizioe risulta: ( a + b) ( a + b)( a + b)...( a + b) per volte. Per calcolare questo prodotto per prima cosa occorre predere u termie per ciascu biomio ftore e moltiplicarli tra di essi. Il geerico risulto di questa operazioe è il seguete: aabbb... ab... ba Se i questo prodotto il ftore b compare volte allora il ftore a comparirà volte e il tutto potrà essere espresso come: a b Per calcolare il risulto totale è ecessario sommare i risulti di tutti i possibili prodotti come questo, ovvero per tutti i valori di. Per u determio il umero dei ftori i cui b compare volte è uguale al umero di combiazioi semplici di elemeti presi a a, cioè. ( a + b) a a b a b... ab b Oppure: ( a + b) a b 0 Esempio: ( ) a + b a a b a b a b ab b a 5a b 0a b 0a b 5 ab b IL TRIANGOLO DI TARTAGLIA Il triagolo di Tartaglia è costituito da ua successioe di umeri dei quali il primo è l ultimo di ogi riga è, e ciascu altro è uguale alla somma dei due umeri immediamete adiaceti ella riga precedete Si dimostra come i umeri coteuti ella -esima riga (co 0 ) coicidoo co i coefficieti biomiali dello svolgimeto di ( a + b). Ifti, se + è il grado di u do biomio e la sua posizioe, i base alla formula di STIEFEL risulta: + + cioè, il coefficiete di posizioe di u biomio di grado + è uguale alla somma dei coefficieti di posizioe e della stessa posizioe del biomio di grado. Se è la riga ( 0per la prima) e la posizioe vale il triagolo di Tartaglia.

5 . Risolvere la seguete equazioe : Calcolo combiorio 5 x x x + x Dal sigifico di coefficiete biomiale sappiamo che la variabile x deve verificare le segueti disuguagliaze: x 3, x -, x - 3 > x e uralmete essere u umero urale. Sviluppiamo i tre coefficieti biomiali preseti e semplifichiamo l espressioe. ( ) x x ( x ) ( x ) ( x ) ( x )( x 3) x x x 3 + x x 6 x 8 x. Il 3!! 3! 6 6 valore otteuto è accettabile e rappreseta l uica soluzioe dell equazioe.. Determiare il umero urale che verifica la seguete uguagliaza : D, 6 D, 5. I simboli che figurao ell uguagliaza rappresetao disposizioi semplici e quidi deve risultare : D, 6 D, 5 ( -) ( -) ( -3)( ) ( - 5) ( -) ( -) ( -3)( ) > Determiare il quito termie dello sviluppo della seguete poteza x Il quito termie si ottiee co. Il termie è: 8 3 x 8 x 3 x ( x ) ( x ) 3 ( x ) 3 ( x ) 3 ( x ) + 3 ( x ) x x 3 x x 5 x ( x ) 3 ( x ) x 7 x 8 x e cioè: ( x ) 6 x 3. x! x x