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1 Prof. Roberto Milizia, presso Liceo Scietifico E. Ferdiado Mesage BR) UNITA 8. IL CALCOLO COMBINATORIO.. Itroduzioe al calcolo combiatorio.. I raggruppameti. 3. Esercizi vari co i raggruppameti. 4. Il fattoriale di u umero. 5. Esercizi vari co i fattoriali. 6. I coefficieti biomiali. 7. Le proprietà dei coefficieti biomiali. 8. Esercizi co i coefficieti biomiali. 9. Le permutazioi semplici. 0. Le permutazioi co ripetizioe.. Problemi vari co le permutazioi.. Le disposizioi semplici. 3. Le disposizioi co ripetizioe. 4. Problemi vari co le disposizioi. 5. Le combiazioi semplici. 6. Le combiazioi co ripetizioe. 7. Problemi vari co le combiazioi. Per questi argometi ti cosiglio ache di effettuare questo collegameto:

2 Prof. Roberto Milizia, presso Liceo Scietifico E. Ferdiado Mesage BR). Itroduzioe al calcolo combiatorio. Il calcolo combiatorio è quella parte della matematica che permette di calcolare quati soo i possibili gruppi di vario tipo che si possoo formare co u certo umero di elemeti. Per esempio, quate coppie possibili si possoo formare co 3 uomii e 4 doe; i quati modi diversi si possoo mettere i fila 8 ragazzi; quate parole di 3 lettere diverse si possoo formare co 5 lettere dell alfabeto; i quati modi diversi si possoo estrarre due carte di spade da u mazzo di carte apoletae. Per risolvere problemi di questo tipo e molti altri acora bisoga itrodurre dei cocetti uovi raggruppameti, permutazioi, disposizioi e combiazioi), cooscere le loro proprietà e saperle applicare.. I raggruppameti. Dato u isieme A che cotiee elemeti, u isieme B che cotiee m elemeti, u isieme C che cotiee elemeti, e così via, si chiamao raggruppameti e si idicao co R, tutti i possibili gruppi di elemeti che si possoo otteere prededo come elemeto u elemeto di A, come elemeto u elemeto di B, come 3 elemeto u elemeto di C, e così via. Esempio. U ragazzo ha a disposizioe pataloi Nero e Blu) e 4 magliette Marroe, Rossa, Gialla, Verde). Stabilire i quati modi diversi si può vestire. I modi diversi di vestirsi soo i raggruppameti R che si possoo otteere. Al pataloe Nero può abbiare ua delle 4 magliette, per cui ha 4 possibilità. Ma ache al pataloe Blu può abbiare ua delle 4 magliette, per cui ha acora 4 possibilità. Quidi i diversi modi di vestirsi soo i tutto 8. R 4 8 Per idividuare tutti i possibili raggruppameti può essere utile rappresetare gli oggetti co u diagramma ad albero: pataloi Nero Blu magliette Ma Ro Gi Ve Ma Ro Gi Ve Seguedo le frecce dall alto i basso si ottegoo tutti gli 8 raggruppameti. Ne-Ma Ne-Ro Ne-Gi Ne-Ve Blu-Ma Blu-Ro Blu-Gi Blu-Ve

3 Prof. Roberto Milizia, presso Liceo Scietifico E. Ferdiado Mesage BR) 3 3. Esercizi vari co i raggruppameti. Esercizio. Ua mesa offre la possibilità di prazare scegliedo u primo piatto fra due possibilità, u secodo piatto fra tre e u cotoro fra due. Quati soo i pasti che si possoo realizzare abbiado tutti i piatti possibili? I vari pasti soo tutti i possibili raggruppameti. R 3 Esercizio. I ua scuola di ballo soo iscritti 7 uomii e doe. Quate soo le possibili coppie che si possoo formare? R 7 84 Esercizio 3. Nelle tre classi quite di ua scuola ci soo rispettivamete, 8 e 3 alui. Occorre madare al dirigete scolastico ua rappresetaza formata da u aluo di ciascua quita. Quate possibili rappresetaze si possoo formare? R Esercizio 4. Calcola quate sigle di tre caratteri si possoo formare poedo al primo posto ua delle 5 vocali, al secodo posto ua delle 6 cosoati e al terzo posto ua delle 0 cifre. R Esercizio 5. Calcola quate sigle di cique caratteri si possoo formare poedo al primo e al secodo posto ua delle 6 lettere dell alfabeto iglese, al terzo, quarto e quito posto ua delle 0 cifre decimali. Per es. BK304) R Esercizio 6. Calcola quate soo le possibili targhe automobilistiche che si possoo otteere. Ogi targa è formata da 7 caratteri, di cui i primi caratteri soo lettere dell alfabeto iglese 6), i successivi 3 caratteri soo cifre decimali 0) e gli ultimo caratteri soo acora lettere dell alfabeto iglese. Bisoga calcolare i raggruppameti: R

4 Prof. Roberto Milizia, presso Liceo Scietifico E. Ferdiado Mesage BR) 4 4. Il fattoriale di u umero. Dato u umero aturale, si chiama fattoriale di e si idica co, il prodotto di tutti i umeri aturali da fio ad. Cioè: ) )... 3 Per esempio: Il fattoriale di u umero si può calcolare direttamete utilizzado ua calcolatrice scietifica. Per defiizioe si poe ache 0 Vedremo successivamete che tale defiizioe è giustificata. Proprietà del fattoriale: Per la dimostrazioe osserviamo che: ) )... 3 ) )... 3 Questa proprietà è molto utile per semplificare le frazioi o le espressioi che cotegoo fattoriali e per risolvere equazioi che cotegoo fattoriali Per esempio semplificare: Esercizi vari co i fattoriali. Semplificare: ) ) ) ) Semplificare: ) ) ) Risolvere l equazioe: 4 ) 4 ) 4 ; Risolvere l equazioe: 6 ) -) - ) 6 ) -) o accettabile perché o è u umero aturale; 6 3 accettabile

5 Prof. Roberto Milizia, presso Liceo Scietifico E. Ferdiado Mesage BR) 5 6. I coefficieti biomiali. Dati due umeri aturali e, co, si chiama coefficiete biomiale di su e si idica co il simbolo, la seguete espressioe: ) Esempio : ) Esempio : Le proprietà dei coefficieti biomiali. Per risolvere alcui problemi, coviee cooscere e utilizzare alcue proprietà dei coefficieti biomiali. Proprietà. detta formula delle classi complemetari) Per dimostrarla sviluppiamo il secodo membro fiché otteiamo u espressioe uguale al primo membro. ) ) ) ) Proprietà. detta formula di Stifel, matematico tedesco che visse itoro al 550) Per dimostrarla sviluppiamo il secodo membro fiché otteiamo u espressioe uguale al primo membro. ) ) ) ) ) ) )

6 Prof. Roberto Milizia, presso Liceo Scietifico E. Ferdiado Mesage BR) 6 8. Esercizi vari co i coefficieti biomiali. Esercizio. Calcolare: Esercizio. Calcolare: Esercizio 3. Calcolare: 0 Esercizio 4. Risolvere l equazioe: 8 6

7 Prof. Roberto Milizia, presso Liceo Scietifico E. Ferdiado Mesage BR) 7 9. Le permutazioi semplici. Dati elemeti distiti, a a a3... a, si chiamao permutazioi semplici di elemeti, i possibili gruppi che si possoo formare co tutti gli elemeti distiti, cosiderado diversi i gruppi che differiscoo tra loro per l ordie degli elemeti. Per es. il gruppo a a a3... a è diverso dal gruppo a a a3... a Il umero delle permutazioi semplici di elemeti distiti si idica co P ed è dato da: P ) )... 3 Dimostrazioe. Idichiamo gli elemeti distiti co Per formare le permutazioi semplici osserviamo che: quado scelgo il elemeto ho possibilità, quado scelgo il elemeto ho - possibilità, quado scelgo il 3 elemeto ho - possibilità, quado scelgo il terzultimo elemeto ho 3 possibilità, quado scelgo il peultimo elemeto ho possibilità, quado scelgo l ultimo elemeto ho solo possibilità. Quidi per formare tutti i possibili gruppi ho: ) - )... 3 possibilità. Perciò il umero di permutazioi semplici di elemeti distiti è dato da: P ) )... 3 L aggettivo semplici si riferisce al fatto che ella sequeza di elemeti essi soo tutti distiti e o ci soo elemeti che si ripetoo. a a a 3... a Esercizi co le permutazioi semplici. Esempio. Stabilire quate soo tutte le parole di tre lettere che si possoo formare co le lettere A, P, E. Le parole che si possoo formare soo le permutazioi semplici di tre elemeti. P Per trovare tutte le parole può essere utile rappresetare le lettere co questo diagramma ad albero: A P E P E E A A P E P A E P A Seguedo le frecce dall alto verso il basso si ottegoo tutte le possibilità. APE AEP PEA PAE EAP EPA

8 Prof. Roberto Milizia, presso Liceo Scietifico E. Ferdiado Mesage BR) 8 Esempio. Stabilire i quati modi distiti si possoo mettere i fila cique pallie di colore diverso: Biaca, Rossa, Gialla, Verde, Blu. I modi distiti di metterle i fila soo le permutazioi di 5 elemeti. P Esempio 3. Stabilire i quati modi distiti si possoo mettere i fila 4 bambie e 3 bambii, suppoedo che l ordie o sia importate. Il umero totale di elemeti è 7. P Esempio 4. Stabilire i quati modi distiti si possoo mettere i fila 4 bambie e 3 bambii, suppoedo che prima ci siao tutte le bambie e poi tutti i bambii. P P4 P Esempio 5. Stabilire i quati modi distiti si possoo mettere i fila 4 bambie e 3 bambii, suppoedo che prima ci siao tutti i bambii e poi tutte le bambie. P P3 P Esempio 6. Stabilire i quati modi distiti si possoo mettere i fila 4 bambie e 3 bambii, suppoedo che le bambie devoo stare vicie tra loro, come ache i bambii. Le bambie possoo stare prima o dopo. P P P Esempio 7. Stabilire i quati modi distiti si possoo mettere i fila 4 bambie e 3 bambii, suppoedo che le bambie devoo stare vicie tra loro metre i bambii disposti a caso. Per formare il gruppo delle bambie le possibilità soo le permutazioi: P 4 4 Il gruppo delle bambie si può cosiderare u uico elemeto che può permutare co i 3 bambii e abbiamo acora altre P 4 4 possibilità. Perciò abbiamo i tutto queste possibilità: P P4 P Esempio 8. Stabilire i quati modi distiti si possoo mettere i fila 4 bambie e 3 bambii, suppoedo che i bambii devoo stare vicii tra loro metre le bambie disposte a caso. Per formare il gruppo dei bambii le possibilità soo le permutazioi: P 3 3 Il gruppo dei bambii si può cosiderare u uico elemeto che può permutare co le 4 bambie e abbiamo acora altre P 5 5 possibilità. Perciò abbiamo i tutto queste possibilità: P P3 P Esempio 9. Stabilire quati umeri di 6 cifre diverse si possoo formare utilizzado le cifre,4,6,7,8,9. P

9 Prof. Roberto Milizia, presso Liceo Scietifico E. Ferdiado Mesage BR) 9 Esempio 0. Stabilire quati umeri di 6 cifre diverse si possoo formare utilizzado le cifre 0,,4,6,7,8. Se calcoliamo P i questo risultato soo compresi ache i umeri che iiziao co 0 per es ) e questi si devoo escludere perché la prima cifra di u umero o può essere lo zero. Quati soo tali umeri? Soo tati quati soo i umeri di 5 cifre che si possoo formare co le 5 cifre diverse da zero. Cioè P Perciò i umeri effettivamete richiesti soo: P P Possiamo giugere direttamete al risultato utilizzado il metodo delle possibilità. Per il posto abbiamo 5 possibilità le 5 cifre decimali diverse da 0); Per il posto abbiamo acora 5 possibilità possiamo mettere lo 0 ma o la cifra già messa al primo posto); Per il 3 posto abbiamo 4 possibilità dobbiamo escludere le cifre già messe); Per il 4 posto abbiamo 3 possibilità. Per il 5 posto abbiamo possibilità. Per il 6 posto abbiamo sola possibilità. Il umero delle possibilità è perciò: P Esempio. Stabilire quati umeri di 6 cifre diverse, che iiziao co 9, si possoo formare utilizzado le cifre,4,6,7,8,9. Prima devo predere il 9, ed ho possibilità; poi predo gli altri 5: P 5 0 Esempio. Stabilire quati umeri di 6 cifre diverse, che iiziao co 98, si possoo formare utilizzado le cifre,4,6,7,8,9. Prima devo predere il 9, poi l 8 e poi gli altri 4: P 4 4 Esempio 3. Stabilire quati umeri dispari di 6 cifre diverse, si possoo formare utilizzado le cifre,4,6,7,8,9. Prima devo predere u umero dispari, scegliedolo fra ; poi devo predere gli altri umeri fra i 5 che soo rimasti. P 5 40 Esempio 4. Stabilire quati umeri pari di 6 cifre diverse, si possoo formare utilizzado le cifre,4,6,7,8,9. Prima devo predere u umero pari, scegliedolo fra 4; poi devo predere gli altri umeri fra i 5 che soo rimasti. P

10 Prof. Roberto Milizia, presso Liceo Scietifico E. Ferdiado Mesage BR) 0 0. Le permutazioi co ripetizioe. Dati elemeti, di cui α uguali tra loro, uguali tra loro, ecc, si chiamao permutazioi co ripetizioe di elemeti, di cui α ripetuti, ripetuti ecc, i possibili gruppi che si possoo formare co tutti gli elemeti dati, cosiderado diversi i gruppi che differiscoo tra loro per l ordie degli elemeti.,,..) Le permutazioi di elemeti, di cui α, ripetuti, si idicao co P e si calcolao co la formula:,,..) P... Esempio. Stabilire quate soo le parole di tre lettere che si possoo formare co le lettere: O, R, O. Siccome le lettere soo tre e la O si ripete volte, le parole che si possoo otteere soo le permutazioi di 3 elemeti, di cui ripetuti, e si scrive: ) 3 6 P 3 3 Esempio. Stabilire quate soo le parole di 5 lettere che si possoo formare co le lettere: T, A, T, T, O. Siccome le lettere soo 5 e la T si ripete 3 volte, le parole che si possoo otteere soo le permutazioi di 5 elemeti, di cui 3 ripetuti, e si scrive: P ) 5 0 Esempio 3. Stabilire quate soo le parole di 5 lettere che si possoo formare co le lettere: M, A, M, M, A. Siccome le lettere soo 5, la M si ripete 3 volte, la A si ripete volte, le parole che si possoo otteere soo le permutazioi di 5 elemeti, di cui 3 ripetuti e ripetuti, e si scrive: P ,) 5 Esempio 4. Stabilire quate soo le parole che si possoo formare utilizzado tutte le lettere segueti: M, A, T, E, M, A, T, I, C, A. Siccome le lettere soo 0, la M si ripete volte, la A si ripete 3 volte, la T si ripete volte, le parole che si possoo otteere soo le permutazioi di 0 elemeti, di cui ripetuti, 3 ripetuti e ripetuti, e si scrive:,3,) P

11 Prof. Roberto Milizia, presso Liceo Scietifico E. Ferdiado Mesage BR) Dimostrazioe della formula. Cosideriamo elemeti, di cui α uguali tra loro. Se cosideriamo le permutazioi semplici di elemeti distiti, abbiamo: P ma se cosideriamo le permutazioi co ripetizioe di elemeti, di cui α ripetuti, alcui gruppi di elemeti coicidoo, perciò le permutazioi co ripetizioe soo di meo delle permutazioi semplici. Di quate volte soo miori? Di tate volte quate soo le permutazioi dell elemeto che si ripete, cioè di α. Perciò abbiamo: ) P ) P P e quidi P Se all itero degli elemeti alcui di essi si ripetoo α volte, altri si ripetoo volte, ecc, co u ragioameto simile si trova che:,,..) P...

12 Prof. Roberto Milizia, presso Liceo Scietifico E. Ferdiado Mesage BR). Le disposizioi semplici. Dati elemeti distiti a a a3... a e u umero aturale, si chiamao disposizioi semplici di elemeti di classe, tutti i gruppi di elemeti distiti che si possoo formare co gli elemeti dati, cosiderado diversi i gruppi che differiscoo tra loro per l ordie degli elemeti. Il umero delle disposizioi semplici di elemeti di classe si idica co D, e si calcola co la formula: D, ) )... ) ) )... ) Cioè D, è il prodotto di umeri iteri cosecutivi decresceti da i giù. Dimostrazioe. Idichiamo gli elemeti co: a a a 3... a Quado scelgo il elemeto ho possibilità; osservare la somma +) quado scelgo il elemeto ho - possibilità; osservare la somma ) quado scelgo il 3 elemeto ho - possibilità; osservare la somma 3 ) quado scelgo il elemeto ho - possibilità. osservare la somma ) Quidi per otteere tutte le disposizioi ho complessivamete )... - ) possibilità e si scrive D, )... - ) Esempio. Date 3 lettere distite A, B, C e il umero 3, le disposizioi semplici delle 3 lettere, di classe, soo tutti i possibili gruppi di lettere che si possoo formare co le 3 lettere date. Essi soo: AB AC BA BC CA CB e si scrive: D 3, 6 Osservare che quado scelgo la a lettera ho 3 possibilità e quado scelgo la a lettera ho possibilità; quidi per scegliere tutti i gruppi ho i tutto 3 6 possibilità. Per trovare tutte le possibili disposizioi può essere utile rappresetare le lettere co questo diagramma ad albero: A B C B C A C A B Seguedo le frecce dall alto verso il basso si ottegoo le disposizioi semplici di classe. Esempio. Date le 4 lettere distite A, B, C, D e il umero 4 3, le disposizioi semplici delle 4 lettere, di classe 3, soo tutti i possibili gruppi di 3 lettere che si possoo formare co le 4 lettere date.

13 Prof. Roberto Milizia, presso Liceo Scietifico E. Ferdiado Mesage BR) 3 Osservare che quado scelgo la a lettera ho 4 possibilità, quado scelgo la a lettera ho 3 possibilità e quado scelgo la 3 a lettera ho possibilità; quidi per otteere tutti i gruppi ho i tutto possibilità. Perciò risulta D ,3 Per trovare tutte le possibili disposizioi coviee utilizzare il diagramma ad albero: A B C D B C D A C D A B D A B C C D B D B C C D A D A C B D A D A B B C A C A B Seguedo le frecce dall alto verso il basso si ottegoo le disposizioi semplici di classe 3: ABC ABD ACB ACD ADB ADC BAC BAD BCA BCD BDA BDC CAB CAD CBA CBD CDA CDB DAB DAC DBA DBC DCA DCB Proprietà. D, ) ) Dimostrazioe: D, )... - ) )... - ) ) ) Questa proprietà è utile i alcui casi per calcolare le disposizioi. Per esempio calcolare: D 6, E più comodo utilizzare la calcolatrice calcolado: D 6, ) 7 Esercizio. Ad u toreo di scacchi partecipao ragazzi e ai primi tre classificati verrao assegate le medaglie d oro, d argeto e di brozo. Quate soo le possibili classifiche delle prime tre posizioi? Le possibili classifiche soo le disposizioi di elemeti di classe 3. D ,3 Esercizio. Stabilire quate sigle di 5 caratteri distiti si possoo formare utilizzado le lettere dell alfabeto italiao. per es. CRBHA). Le sigle richieste soo le disposizioi di elemeti di classe 5. D ,5 Esercizio 3. Stabilire quate sigle di 5 caratteri distiti si possoo formare i modo tale che i primi due caratteri siao due diverse cifre decimali e gli altri 3 caratteri siao 3 diverse lettere dell alfabeto italiao. per es. 03BHA). Per i primi posti si possoo usare le 0 cifre decimali, perciò: D 0, Per gli altri 3 posti si possoo usare le lettere dell alfabeto italiao, perciò: D ,3 Ad ogi disposizioe di cifre può corrispodere ua disposizioe di tre lettere, per cui le disposizioi totali richieste soo: D D D T 0,,3

14 Prof. Roberto Milizia, presso Liceo Scietifico E. Ferdiado Mesage BR) 4 Esercizio 4. Stabilire quate sigle di 5 caratteri distiti si possoo formare i modo tale che i primi due caratteri siao due diverse lettere dell alfabeto italiao e gli altri 3 caratteri siao 3 diverse cifre decimali. per es. AR307). Per i primi posti si possoo usare le lettere dell alfabeto italiao, perciò: D 0 40, Per gli altri 3 posti si possoo usare le 0 cifre decimali, perciò: D 0, Ad ogi disposizioe di lettere può corrispodere ua disposizioe di tre cifre, per cui le disposizioi totali richieste soo: D D D T, 0,3 Esercizio 5. Stabilire quate sigle di 5 caratteri distiti si possoo formare i modo tale che ogi sigla sia formata da u gruppo di due diverse lettere dell alfabeto italiao e da u gruppo di 3 diverse cifre decimali. per es. AR307 oppure 307AR). Per il gruppo di lettere si possoo usare le lettere dell alfabeto italiao, perciò: D 0 40, Per il gruppo di cifre si possoo usare le 0 cifre decimali, perciò: D ,3 Ad ogi disposizioe di lettere può corrispodere ua disposizioe di tre cifre, per cui le disposizioi divetao: D D D , 0,3 Ioltre il gruppo di lettere può precedere il gruppo di cifre, o viceversa. Perciò bisoga moltiplicare per il umero di disposizioi calcolato prima, otteedo le disposizioi totali richieste: D T Esercizio 6. Stabilire quati umeri di 4 cifre diverse si possoo formare co le 0 cifre decimali. Se calcoliamo D 0, i questo risultato soo compresi ache i umeri che iiziao co 0 per es. 083) e questi si devoo escludere perché la prima cifra di u umero o può essere lo zero. Quati soo tali umeri? Soo tati quati soo i umeri di 3 cifre che si possoo formare co le 9 cifre diverse da zero. Cioè D ,3 Perciò i umeri effettivamete richiesti soo: D T D0,4 D9, Possiamo giugere direttamete al risultato utilizzado il metodo delle possibilità. Per il posto abbiamo 9 possibilità le 9 cifre decimali diverse da 0); Per il posto abbiamo acora 9 possibilità possiamo mettere lo 0 ma o la cifra già messa al primo posto); Per il 3 posto abbiamo 8 possibilità dobbiamo escludere le cifre già messe); Per il 4 posto abbiamo 7 possibilità. Il umero delle disposizioi richieste è perciò: D

15 Prof. Roberto Milizia, presso Liceo Scietifico E. Ferdiado Mesage BR) 5 Le disposizioi co ripetizioe. Dati elemeti distiti e u umero aturale qualsiasi, si chiamao disposizioi co ripetizioe di elemeti di classe, tutti i gruppi di elemeti, ache ripetuti più volte, che si possoo formare co gli elemeti dati, cosiderado diversi i gruppi che differiscoo tra loro per l ordie degli elemeti. Le disposizioi co ripetizioe di elemeti di classe si idicao co e si calcolao co la formula: ' D, ' D, Dimostrazioe. Idichiamo gli elemeti co: a a a3... a Avedo a disposizioe elemeti, e dovedo formare gruppi di elemeti ache ripetuti, quado scelgo il elemeto ho possibilità, quado scelgo il elemeto ho acora possibilità,.. quado scelgo il elemeto ho acora possibilità, per cui il umero di disposizioi co ripetizioe di elemeti di classe è dato da: D ',... Esercizio. Stabilire quate sigle di 3 lettere si possoo formare co le lettere A, B, C, D, E. Siccome le lettere o devoo essere ecessariamete distite, ma possoo essere ache uguali, si tratta di disposizioi co ripetizioe di 5 elemeti di classe 3. ' 3 D ,3 Esercizio. Stabilire quati umeri di 6 cifre si possoo formare co le cifre,, 3. Siccome le cifre o devoo essere ecessariamete distite, si tratta di disposizioi co ripetizioe di 3 elemeti di classe 6. ' 6 D ,6 Esercizio 3. Stabilire quati soo i umeri di 7 cifre tutte dispari. Le cifre dispari soo:, 3, 5, 7, 9 e soo 5. I umeri di 7 cifre tutte dispari soo le disposizioi co ripetizioe di 5 elemeti di classe 7: ' 7 D ,7 Esercizio 4. Stabilire quati soo i umeri di 3 cifre tutte pari. Le cifre pari soo: 0,, 4, 6, 8 e soo 5. Siccome i umeri o possoo iiziare co lo 0, quado scelgo la a cifra ho solo 4 possibilità. Quado scelgo la a cifra ho 5 possibilità e quado scelgo la 3 a ho acora 5 possibilità. Perciò i umeri richiesti soo: ' D

16 Prof. Roberto Milizia, presso Liceo Scietifico E. Ferdiado Mesage BR) 6 Esercizio 4. Stabilire quate coloe bisogerebbe giocare al totocalcio per essere sicuri di fare 4. Per giocare la schedia si hao a disposizioe i 3 simboli:, X,. Per ogua delle 4 partite coteute ella schedia si hao 3 possibilità. Quidi tutte le possibilità soo le disposizioi co ripetizioe di 3 elemeti di classe 4. I pratica ua coloa sarebbe come ua sigla di 4 caratteri, ache ripetuti, che si possoo formare co gli elemeti:,, X. Quado scelgo il elemeto della coloa ho 3 possibilità; Quado scelgo il elemeto della coloa ho 3 possibilità;.. e così via fio al 4 elemeto della coloa. ' 4 Numero di coloe = D 3, Siccome ogi coloa costa 0,50, si spederebbero , ,50

17 Prof. Roberto Milizia, presso Liceo Scietifico E. Ferdiado Mesage BR) 7. Le combiazioi semplici. Dati oggetti distiti e u umero aturale, si chiamao combiazioi semplici di oggetti di classe, e si idicao co, tutti i possibili gruppi che si possoo formare co C, degli oggetti dati, cosiderado diversi i gruppi che differiscoo tra loro per qualche elemeto ma o per il loro ordie. Per esempio il gruppo ABCR e il gruppo ABCS soo due combiazioi diverse perché differiscoo per u elemeto; il gruppo ABCR e il gruppo ABRC soo la stessa combiazioe, perché o differiscoo per alcu elemeto ma solo per l ordie degli elemeti. Esempio. Date le 3 lettere distite A, B, C e il umero aturale 3, le combiazioi semplici delle 3 lettere di classe soo: AB AC BC e si scrive: C 3 Si può osservare che C3, D3, 3, I ogi combiazioe, permutado i elemeti i tutti i modi possibili, che soo P, si ottegoo le disposizioi semplici di 3 oggetti di classe, che soo D 3 6 Perciò il prodotto tra le C 3, e le P deve essere uguale a D 3,. D3, C3, P D3, C3, P 3, Esempio. Date le 4 lettere distite A, B, C, D e il umero aturale 3 4, le combiazioi semplici delle 4 lettere di classe 3 soo: ABC ABD ACD BCD e si scrive: C 4 Si può osservare che C4,3 D4, 3 4,3 I ogi combiazioe, permutado i 3 elemeti i tutti i modi possibili, che soo P 3 3 6, si ottegoo le disposizioi semplici di 4 oggetti di classe 3, che soo D 43 4 Perciò il prodotto tra le C 4, 3 e le P 3 deve essere uguale a D 4, 3. D4,3 C4,3 P3 D4,3 C4,3 P 3 4,3

18 Prof. Roberto Milizia, presso Liceo Scietifico E. Ferdiado Mesage BR) 8 Caso geerale. I geerale, dati oggetti distiti e u umero aturale, il umero delle combiazioi semplici di oggetti di classe è dato da: C, D, P )... ) Dimostrazioe. Per dimostrarlo suppoiamo di aver idividuato tutte le combiazioi semplici di oggetti di classe ; sia C, il loro umero. I ogi combiazioe, permutado i elemeti i tutti i modi possibili, che soo P, si ottegoo le disposizioi semplici di oggetti di classe, che soo )... - ) Perciò il prodotto tra le C, D,. C, e le P D, C P deve essere uguale a, D, P D,. )... )