Teorema delle progressioni di numeri primi consecutivi con distanza sei costante

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1 Teorema delle progressioi di umeri primi cosecutivi co distaza sei costate A cura del Gruppo Eratostee - Co la collaborazioe di Eugeio Amitrao ( Coteuti dell articolo: Titolo Euciato Richiami Dimostrazioe Cosiderazioi importati Geeralizzazioe del teorema Coclusioi Riferimeti Pag.

2 Euciato Cosideriamo le segueti due progressioi co distaza sei: 1) a 6 1 a 5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59,... N 2) b 6 1 b 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61,... N Le progressioi estratte da a e b di umeri primi cosecutivi, o possoo superare il umero di quattro termii, ad eccezioe della prima progressioe estratta di a formata dai primi cosecutivi 5, 11, 17, 23, 29 costituita da cique termii. Richiami Tutti i umeri primi, trae il 2 e il 3, ma ache i semiprimi seza fattori 2 e 3, soo di forma 6 1. Tali umeri soo chiamati umeri sexy e deriva dal latio sex (sei). Costruedo le due coloe di umeri di ciascua forma, otteiamo la seguete Tabella: Note Gemelli Gemelli Gemelli = 55 Primo + semiprimo Gemelli 6 35 = Primo + semiprimo Gemelli = 77 Primo + semiprimo = 511 Primo + semiprimo Gemelli = Primo + semiprimo Gemelli = Primo + semiprimo = 517 Primo + semiprimo = 713 Primo + semiprimo = Primo + semiprimo Gemelli Gemelli = 523 Primo + semiprimo = = 1111 Etrambi semiprimi = Primo + semiprimo = 719 Primo + semiprimo Gemelli = = 529 Primo + semiprimo Gemelli Tab.1 Coppie di umeri ella forma 6 1 2

3 Le ifiite coppie 6 1 e 6 1 soo le ifiite coppie di Che Jigru le quali possoo essere divise i 3 categorie: 1) Coppie formate da due umeri primi (primi gemelli); 2) Coppie formate da u primo e u semiprimo; 3) Coppie formate da due semiprimi; Nel 1966, Che dimostrò che ogi N pari, sufficietemete grade, è la somma di due umeri primi oppure è la somma di u umero primo e di u semiprimo formato dal prodotto di due primi. Nella sua dimostrazioe, Che o specifica quale sia il valore miimo di N. Nella ostra tabella (Tab. 1) basata sulle forme 6 1 il primo umero N somma di due umeri primi etrambi maggiori di 2 e 3 è il 12 costituito dalla somma dei umeri primi 5 e 7 ( ), metre il umero N miimo che sia somma di u primo e di u semiprimo è il 48 costituito dalla somma di 23 (primo) e 25 (semiprimo), ifatti, tutti gli altri N precedeti (18, 24, 36) soo somme di due umeri primi gemelli. Ua curiosità è che tutti gli N ricavati dalla tabella (Tab. 1) soo multipli di 12 e ciò è dovuto dalla forma geerale della somma: Dimostrazioe Come si ota dalla tabella (Tab. 1), i semiprimi si distribuiscoo i eguale misura i etrambe le coloe, iterrompedo qualsiasi successioe di umeri primi. Teedo coto che i umeri della stessa coloa differiscoo di 6 uità dal precedete e dal successivo vogliamo qui dimostrare che la massima sequeza di umeri primi co differeza costate tra di loro è sempre formata da quattro umeri primi, trae la sola sequeza iiziale 5, 11, 17, 23, 29. Il umero 5 è il capofila della progressioe a 6 1, e el ostro caso è proprio N il umero 5 a dimostrare la ostra tesi oltre a giustificare la prima progressioe costituita da cique termii. Ifatti, elle due coloe della tabella (Tab. 1) si presetao umeri semiprimi multipli di cique, proprio ogi cique righe. Ad ogi è associato u umero ella forma 6 1 e u secodo umero ella forma 6 1. Ogi cique righe, il umero è multiplo di 5. ( 5, 10, 15, 20, 25,...), quidi i questi casi possiamo scrivere 5 k k N. 3

4 Per oguo di questi multiplo di 5 cosideriamo due umeri p q N, tali che: 1) p 1 2) q 1 Per qui avremo la seguete associazioe: k p q Possiamo verificare co ua semplice dimostrazioe che quado è u multiplo di 5 lo soo ache i umeri 6p 1 e 6q 1. 1) 6p 1 2) 6q 1 6 p 1 6 6q 1 6 5k p 1 5k 1 5k k k 5 5 6k 1 5k q 1 5k 1 multiplo 5k k k 5 5 6k 1 di multiplo di 5 5 Co questa semplice dimostrazioe abbiamo verificato che per ogi 5k (multiplo di 5, ella coloa 6 1 della riga precedete e ella coloa 6 1 della riga successiva, compaioo sempre semiprimi multipli di 5. Poiché è multiplo di 5 ogi cique righe, è evidete che ache elle coloe 6 1 e 6 1 ci sarà u multiplo di 5 ogi cique righe. I defiitiva le quattro righe rimaeti possoo ospitare al più 4 umeri primi. Come abbiamo già visto, il umero 5 è il capofila della progressioe a 6 1, N ed è l uico multiplo di 5 ad essere ache u umero primo, per cui la progressioe 5, 11, 17, 23, 29 può essere l uica ad essere costituita da cique termii. 4

5 Cosiderazioi importati Oltre alla prima eccezioale progressioe di cique umeri primi sopra acceata, ci soo i gruppi 41, 47, 53 e 59 ella prima coloa, e 61, 67, 73 e 79 ella secoda coloa; e così via per i gruppi successivi. Sebbee le progressioi di quattro termii siao sempre più rare al crescere di, perché frammetate dai semiprimi multipli di 7, di 11 e così via, potrebbero essere molto importati i ua futura possibile dimostrazioe della cogettura delle ifiite coppie di umeri primi gemelli; Se le coppie di umeri primi gemelli fossero di umero fiito, dopo l ultima coppia di gemelli dovrebbe verificarsi ua delle due codizioi: 1) Tutti i primi successivi si disporrebbero tutti sulla prima coloa, e quidi diverrebbero tutti di forma 6 1; 2) Viceversa, tutti ella secoda coloa, e quidi tutti di forma 6 1; 3) U primo e u semiprimo ella stessa riga; Dopo tale ipotesi di ultima coppia di gemelli, diciamo i posizioe k, i semiprimi si altererebbero perfettamete tra prima e secoda coloa, come segue: k Gemelli k+1 Primo Semiprimo k+2 Semiprimo Primo k+3 Primo Semiprimo k+4 Semiprimo Primo I questo modo diveta impossibile, per lo stesso, la formazioe di ua uova coppia di gemelli oltre la presuta ultima coppia. Ma questo ragioameto per assurdo rede impossibile la soluzioe egativa della cogettura delle ifiite coppie di umeri primi gemelli. Poiché le forme 6 1 sembrao dividere gli ifiiti umeri primi e i loro prodotti (semiprimi) per etrambe le coloe i parti pressoché uguali, comuque ifiiti ella prima coloa e ifiiti ella secoda coloa; Se così fosse, sarebbe egata l ipotesi di ifiiti umeri primi gemelli. I realtà, esiste ua rigorosa regolarità che ega l equipartizioe: 5

6 Tutti i prodotti tra umeri primi apparteeti alla stessa coloa ricadoo ella secoda coloa, metre tutti i prodotti di umeri primi apparteeti a coloe diverse ricadoo ella prima coloa. Ad esempio 55 e 77: presete ella secoda coloa e , co 5 e 11 preseti ella prima coloa; presete ella prima coloa e co 7 e 11 preseti i etrambe le coloe; Se veisse dimostrata, tale regolarità cozzerebbe gravemete cotro il ragioameto per assurdo sul umero fiito di primi gemelli e sarebbe quidi maggiormete garatita l ifiità per tedete all ifiito. Geeralizzazioe del teorema Ritorado ai gruppi di umeri primi successivi co distaza 6 tra u umero del gruppo e il successivo, utilizzado ua dimostrazioe aaloga, si può geeralizzare facilmete il teorema el seguete modo: Per ogi p umeri c è sempre u multiplo di p, a partire da p ella sua coloa e dal primo multiplo di p ell altra coloa. Questa relazioe può essere usata come crivello limitato alle due sole coloe; tutto ciò che rimae alla fie soo tutti i umeri primi ad eccezioe del 2 e del 3. Ioltre, elle due coloe o figurao semiprimi multipli di 2 o di 3. Coclusioi Vorremmo cocludere quest articolo, elecado di seguito alcui lavori importati sulle progressioi di primi che i qualche modo, il ostro articolo potrebbe trovare dei legami: Teorema di Gree-Tao (Be Gree e Terece Tao [*1] ), u estesioe del Teorema di Szemeré di sulle progressioi lughe di primi. Teorema di Goldsto, Yildirim e Pitz sugli itervalli brevi più desi di umeri primi cosecutivi, rispetto agli itervalli vicii di uguale lughezza ma meo desi. [*1] Terece Tao è u giovae matematico australiao, ecomiato el 2006 co la medaglia Fields al Cogresso Modiale di Matematica di Madrid. 6

7 Questi teoremi, le cosiderazioi sulle forme 6 1; possoo i qualche modo cofermare ulteriormete le ostre proposte di dimostrazioe delle cogetture di Goldbach e delle ifiite coppie di umeri gemelli (Rif. 1, Rif. 2 e Rif. 3), magari utilizzado le forme 6 1 come filo rosso che lega questo lavoro, le PAP, e i teoremi sopra idicati. Ioltre, quest articolo potrebbe essere utile per compredere meglio la distribuzioe dei umeri primi. Di cosegueza, magari alla luga, u passo i avati sull ipotesi di Riema, che oggi è uo dei pricipali temi di ricerca matematica. (Rif. 2) Riferimeti 1) Sezioe.1: Articoli su Goldbach Pagia Articoli del Gruppo Eratostee; 2) Sezioe.2: Articoli su Riema Idem. 3) Sezioe.6: Articoli sui Numeri Primi Idem; 7