15 - Successioni Numeriche e di Funzioni

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1 Uiversità degli Studi di Palermo Facoltà di Ecoomia CdS Statistica per l Aalisi dei Dati Apputi del corso di Matematica 15 - Successioi Numeriche e di Fuzioi Ao Accademico 2013/2014 M Tummiello, V Lacagia, A Cosiglio

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3 1 Successioi umeriche 1 Successioi umeriche Si cosideri ua fuzioe g) : N R che associa ad ogi umero aturale,, u umero reale g) Per esempio, g) = 1 geera la seguete sequeza di umeri reali: 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6, Graficamete: Figura 1 Successioe g) = 1 Si può ache visualizzare la sequeza dei puti { 1 } N sull asse delle ascisse i modo da evideziare soltato la progressioe di tali valori come elemeti di u itervallo reale Figura 2 Successioe g) = 1 Si osservi che i puti della sequeza { 1 } N covergoo al valore ite zero Defiizioe di successioe Si defiisce successioe ua fuzioe dall isieme dei umeri aturali N all isieme dei umeri reali R Ua successioe si deota come segue: {a 1, a 2, a 3, }, oppure {a } N, oppure co {a }, o, a volte, se o c è ambiguità e co u certo abuso di liguaggio, co a M Tummiello, V Lacagia, A Cosiglio 3

4 1 Successioi umeriche Esempio 11 {1, 2, 3, 4,,, } = {} N ; { 1, 1, 1, 1,, 1), } = { 1) } N ; {2 1, 2 2, 2 3, 2 4,, 2, } = {2 } N Ua successioe può ache essere defiita ricorsivamete esempio: {t } sia ua successioe defiita da: Ad t 1 = 1 e t +1 = 3 + t 2 Defiizioe di successioe mootoa Ua successioe si dice crescete decrescete) se, m N tali che < m allora a < a m a > a m ) Ua successioe si dice o decrescete o crescete) se, m N tali che < m allora a a m a a m ) Ua successioe che soddisfi ua delle precedeti proprietà è detta mootoa Esempio 12 La successioe { +1} è crescete Ifatti: a +1 a = + 1)/ + 2) / + 1) = + 1)2 + 2) = > 1 La successioe {a } = { 2! } è o crescete Ifatti: a +1 = 2+1 / + 1)! a 2 /! a 1 = 2 1 = 22 2 = a 2 e per 2 = 2+1! + 1)! 2 = 2 2! + 1)! 2 < 1 Delle successioi siamo iteressati a studiare il comportameto per Dobbiamo duque itrodurre il cocetto di ite di ua successioe Defiizioe di ite di ua successioe Ua successioe {a } N ammette ite L, e scriveremo a = L, 4 M Tummiello, V Lacagia, A Cosiglio

5 se ɛ > 0, ɛ N tale che ɛ allora: a L < ɛ I tal caso si dice che la successioe coverge al ite L 1 Successioi umeriche Come per le fuzioi da R i R, è possibile stabilire se ua successioe coverge direttamete dalla defiizioe di ite, oppure utilizzado le proprietà del ite di ua successioe Si osservi che è quasi sempre possibile associare ad ua successioe ua fuzioe da R i R che abbia lo stesso carattere e che, evetualmete, coverga allo stesso ite E possibile dimostrare che tutte le proprietà che abbiamo visto per i iti di fuzioi, come le regole sul ite di ua somma, oppure del prodotto di ua fuzioe per ua costate, il teorema del cofroto, ecc, ed escluso il teorema di de l Hôpital, per ovvi motivi, valgoo ache per i iti di successioi Ad esempio, 2 = x 2 = +, x quidi la successioe { 2 } o coverge el caso specifico diremo che essa diverge No è tuttavia sempre possibile operare i tale modo Ad esempio, la successioe { 1) } o ha u equivalete fuzioe reale da associare I questo caso, si può aalizzare il comportameto della successioe attraverso la defiizioe di ite e mostrare che la successioe { 1) } o coverge I particolare, metre la successioe {} è divergete, la successioe { 1) } si dice essere idetermiata oppure, più specificamete, oscillate Defiizioe di successioe itata Ua successioe {a } si dice itata se esiste u itervallo [a, b] R itato tale che: {a } [a, b] Nell esempio itroduttivo, la successioe covergete) { 1 } è coteuta ell itervallo [0, 1], così come la successioe { 1) } o co- vergete) è coteuta ell itervallo [ 1, 1] E duque importate NON cofodere i cocetti di itatezza e covergeza: esistoo successioi, come { 1) }, che soo itate ma NON soo covergeti Valgoo tuttavia i segueti teoremi: Teorema 11 Se ua successioe {a } ammette ite, ossia è covergete, allora {a } è itata I formule: Se a = L {a } è itata Si oti che l implicazioe è diretta ) e o vale il viceversa Ossia, NON è vero, i geerale, che se ua successioe è itata allora è covergete Se, tuttavia, si cosiderao successioi mootoe allora vale il seguete teorema M Tummiello, V Lacagia, A Cosiglio 5

6 1 Successioi umeriche Teorema 12 Se ua successioe {a } è mootoa e itata allora la successioe {a } è covergete, ossia ammette ite L Si osservi che, ache i questo caso, o vale l implicazioe opposta Ifatti esistoo successioi, come { 1 2 ) }, oppure { 1) +1 1 )}, che soo covergeti, ma NON soo mootoe, sebbee itate si veda la figura 3 di seguito) Figura 3 Successioe { 1 2 ) } Abbiamo visto che uo strumeto molto utile per calcolare il ite di fuzioi è il metodo di del Hôpital Esistoo due teoremi, che euciamo di seguito, i quali rappresetao l equivalete del metodo di del Hôpital per i iti di successioi Teorema 13 Primo teorema di Cesàro) Siao {a } e {b } due successioi che tedoo a zero per Suppoiamo ioltre che {b } sia crescete o decrescete Se esiste allora a a +1 b b +1 a a +1 b b +1 a = b Teorema 14 Secodo teorema di Cesàro) Sia {b } ua successioe di umeri positivi egativi) che diverge positivamete egativamete) crescedo decrescedo) Sia ioltre a u arbitraria successioe Se esiste a a +1 b b +1 allora a a +1 b b +1 a = b 6 M Tummiello, V Lacagia, A Cosiglio

7 2 Successioi di fuzioi Esercizio 11 Dimostrare, usado il secodo teorema di Cesàro, che: k=1 1 k l) = 1 2 Successioi di fuzioi Si cosideri la seguete successioe {a } = {x } N co x R E evidete che, fissato x = x 0, la successioe {a } diveta ua ormale successioe umerica, di cui possiamo studiare il carattere covergete, divergete, oscillate, itata) ed evetualmete calcolare il ite co i metodi già visti Il modo di studiare ua successioe come {a }, i geerale, cosiste el studiare il comportameto per i diversi valori che la variabile x R può assumere Nel caso specifico, se 1 < x 1 la successioe sarà covergete Ifatti, i questo caso, la successioe risulta itata: {a } [ 1, 1] Ioltre, per x [0, 1] essa è mootoa: a +1 a = x+1 x = x < 1 Duque per x [0, 1] la successioe è itata e mootoa decrescete) duque covergete e tede al ite L=0 Per x ] 1, 0[ la dimostrazioe sfrutta il fatto che il termie esimo della successioe può essere scritto come a = 1) x, ossia come il prodotto di due successioi, ua oscillate 1) e ua, x, tedete a zero teuto coto che 0 < x < 1) Duque la successioe pure tederà a zero poiché 1 0 = +1 0 = 0) Nel caso i cui x = 1, {a } si riduce alla successioe oscillate { 1) } che duque o coverge Ifie per x > 1 o x < 1 la successioe è ilitata e quidi per cotroomiale del teorema 11) o è covergete Ua rappresetazioe grafica della successioe {x } è riportata i figura 4 per diversi valori di x I geerale possiamo cosiderare la successioe vista sopra come ua successioe di fuzioi dove ad ogi umero aturale è associata ua fuzioe f x) el ostro esempio f x) = x ) Siamo ora proti per ua defiizioe formale di successioe di fuzioi Defiizioe di successioe di fuzioi Sia I R u itervallo reale Per ogi N si cosideri ua fuzioe f : I R Il simbolo {f x)} N idica la successioe di fuzioi {f 1 x), f 2 x), f 3 x),, f x), } M Tummiello, V Lacagia, A Cosiglio 7

8 2 Successioi di fuzioi Figura 4 Successioe {x } per diversi valori di x R Come visto ell esempio precedete, per ogi x I fissato per esempio x = 3, oppure x = 2), la successioe di fuzioi diveta ua successioe umerica co u comportameto specifico covergete, divergete, ecc) Si ipotizzi che per ogi x I fissato) la corrispodete successioe umerica {f x)} sia covergete e che teda ad u ite L x Questo ite, duque, dipederà dal valore assegato alla variabile x, ossia L x = fx) I altri termii, metre ua successioe umerica tede ad u umero reale L, ua successioe di fuzioi quado coverge) coverge ad ua fuzioe reale fx) Defiizioe di covergeza putuale Sia I R e {f x)} ua successioe di fuzioi f : I R Diremo che la successioe {f x)} coverge putualmete su I alla fuzioe f : I R e scriveremo f x) = fx), se x I e ɛ > 0, M N M dipedete da x e ɛ) tale che > M allora f x) fx) < ɛ Esempio 21 La successioe di fuzioi f : R R co f x) = k, co k costate fuzioi costati) covergoo alla fuzioe costate fx) = k La successioe di fuzioi f : R R co f x) = x coverge alla fuzioe fx) = 0 x R La successioe di fuzioi {f x)} = {x } N si veda l esempio itroduttivo) coverge x ]0, 1] alla fuzioe { 0 se x ] 1, 1[ fx) = 1 se x = 1 8 M Tummiello, V Lacagia, A Cosiglio

9 2 Successioi di fuzioi U iteressate risultato dello studio delle successioi di fuzioi è quello relativo alla successioe: { 1 + x ) } N Si dimostra ifatti che 1 + x = e ) x DimostrazioePossiamo calcolare il precedete ite come fatto, i precedeza per i iti di fuzioi Prima di tutto osserviamo che, se il ite esiste, allora: 1 + x ) = e l[1+ x ] Quidi possiamo itarci a calcolare il ite all espoete di e: [1 l + x ] Se poiamo y = x, ossia, = x, allora avremo che x fiito y y = 0 Possiamo quidi calcolare il precedete ite come u usuale ite di ua fuzioe ella variabile y per y 0 Ifatti, sostituedo otteiamo: l [1 + x ] x l [1 + y] = l [1 + y] = x y 0 y y 0 y l[1+y] dove abbiamo sfruttato il ite otevole y 0 y 1 + ) x = e l[1+ ] x = e x = x 1 = x, = 1 Duque Nella figura 5, riportata di seguito, è rappresetata la successioe {f x)} = { 1 + x ) } per x { 05, 05, 10, 15} Per la successioe tede a degli asitoti questa espressioe è impropria visto che è ua variabile discreta, però rede l idea) rappresetati dalle rette tratteggiate di colore verde Si oti che tali rette orizzotali ao equazioe y = e 05, y = e 05, y = e, y = e 15, rispettivamete Questo risultato ha importati applicazioi pratiche i diversi ambiti Ad esempio, i ambito ecoomico fiaziario, esso cosete di defiire il cocetto di capitalizzazioe cotiua degli iteressi Si ipotizzi che la remuerazioe per u ivestimeto sia δ = 3% Se ivesto 1e, dopo u ao potrò riscuotere il capitale iiziale 1e) più gli iteressi su 1e, ossia 1 δ = 1 3% = = 003e Quidi il valore del mio ivestimeto, come mostrato graficamete el paello i alto di figura 6, dopo u ao sarà: V 1) = M Tummiello, V Lacagia, A Cosiglio 9

10 2 Successioi di fuzioi Figura 5 Rappresetazioe della successioe di fuzioi { 1 + x ) } per x { 05, 05, 10, 15} U altra possibilità cosiste ell ivestire 1eper 6 mesi, riscuotere capitale e iteressi maturati, e reivestire la somma otteuta per altri 6 mesi E ovvio che se per u ao riscuoto il 3% di iteressi, per 6 mesi 05 ai) riscuoterò 003/2e Pertato: V 05) = Reivestedo tutto) questo capitale per altri 6 mesi, guadagerò il 3% = 15% di iteressi su tutto) V 05) Quidi, i totale dopo u 2 ao riscuoterò: V 1) = V 05) V 05) = V 05) ) = 2 2 = ) ) = ) Questo calcolo è riportato graficamete el paello i basso di figura 6 Si può ripetere l esercizio appea visto dividedo l ao i =3 quadrimestri, =4 trimestri, =6 bimestri, =12 mesi, =52 settimae, =365 giori e così via Quidi sarà: V 1) = ) 3 quadrimestrale) 3 10 M Tummiello, V Lacagia, A Cosiglio

11 2 Successioi di fuzioi Figura 6 Rappresetazioe grafica del valore di u ivestimeto al tasso del 3% auo dopo u ao paello i alto) e co scadeza semestrale paello i basso) V 1) = V 1) = V 1) = V 1) = ) 4 trimestrale) ) 12 mesile) ) 365 gioraliero) ) -periodale) La domada è: se ipotizziamo sia possibile ua capitalizzazioe degli iteressi cotiua, cioè co il periodo 1 0 per, il capitale fiale dopo u ao) sarà fiito o ifiito? I altri termii, ci si deve M Tummiello, V Lacagia, A Cosiglio 11

12 2 Successioi di fuzioi chiedere se la successioe di fuzioi { {f δ)} N 1 + δ ) } sia covergete o divergete Come abbiamo visto, questa successioe è covergete e coverge al valore e δ Quidi, el ostro caso, il capitale dopo u ao di capitalizzazioe cotiua degli iteressi sarà pari a: V 1) = e 003 e 12 M Tummiello, V Lacagia, A Cosiglio