16 - Serie Numeriche

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1 Uiversità degli Studi di Palermo Facoltà di Ecoomia CdS Statistica per l Aalisi dei Dati Apputi del corso di Matematica 6 - Serie Numeriche Ao Accademico 03/04 M. Tummiello, V. Lacagia, A. Cosiglio, S. Piraio

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3 . Serie umeriche. Serie umeriche Si cosideri la successioe umerica {( ) } N. I primi termii della successioe soo {0.5, 0.5, 0.5,..., ( ) }. Si cosiderio adesso le somme dei primi termii della successioe e si idichio come segue: s = 0.5 s = s 3 = s = ( ) I termii idicati co s i soo chiamati somme parziali. Queste somme parziali costituiscoo esse stesse ua successioe che prede il ome di successioe delle somme parziali. La seguete defiizioe mostra come il cocetto di serie sia strettamete legato a quello di successioe delle somme parziali. Defiizioe di serie Sia a, a, a 3,..., a,... ua successioe di umeri reali. Si defiisce serie la successioe delle somme parziali {s } N defiita come: s = a s = a + a s = a + a + + a = k= a k Si defiisce, ioltre, somma della serie il seguete ite: s = a k = a k. def Si osservi che: () di solito, co la scrittura k= k= a i si usa riferirsi o solo alla i= somma della serie, ma ache alla serie stessa, ossia alla successioe delle somme parziali. Ioltre l idice i di a i è u idice muto, cioè può essere sostituito da k o da qualsiasi altro simbolo. Esso prede valori a partire dal primo valore della successioe {a }, quidi, il primo valore di i può ache essere diverso da. Il termie a i (co i geerico) viee detto termie geerale della serie. () La successioe delle somme parziali {s } è ua successioe el seso proprio del termie. Quidi ad essa si applicao tutte le defiizioi, i teoremi e le proprietà viste per le successioi. M. Tummiello, V. Lacagia, A. Cosiglio, S. Piraio 3

4 . Serie umeriche (3) Il carattere della serie è espresso dal carattere della successioe delle somme parziali. Essedo, ifatti, {s } ua successioe, questa può essere covergete, divergete o idetermiata. Questo implica ache che o ecessariamete la somma di ifiiti termii, ache tutti positivi, sia ifiita. I particolare, se al crescere idefiitamete di, s coverge ad S R, possiamo attribuire all espressioe u sigificato umerico scrivedo dicedo che la serie a + a + a a + = S a è covergete e che ha somma S. Se al crescere idefiitamete di, s è divergete, positivamete o egativamete, scriveremo rispettivamete a = + e a =. e diremo che la serie è divergete, positivamete o egativamete. Se s o coverge e diverge, diremo che la serie è idetermiata. Riguardo il puto (3), ad esempio, lo studio del carattere della serie geometrica permette di risolvere uo dei famosi paradossi di Zeoe, quello cotro il movimeto, o paradosso di Achille e della tartaruga. Il paradosso può essere descritto ei segueti termii. Achille e la tartaruga fao ua gara. Achille decide di dare u vataggio alla tartaruga, di ua certa distaza d. Ad ogi istate Achille dimezza la sua distaza dalla tartaruga. Quidi, questa distaza iizialmete sarà d poi diveterà d/, poi, acora d/4 e così via. Eppure visto che possiamo cotiuare a dividere all ifiito la distaza tra i due, la coclusioe di Zeoe è che Achille o raggiugerà mai la tartaruga. Vediamo, tuttavia, che utilizzado la teoria delle serie, è possibile mostrare che Achille raggiugerà la tartaruga e lo farà dopo avere percorso ua piccola distaza. Ifatti se la distaza tra i due si dimezza ad ogi istate, la distaza percorsa da Achille sarà: s = d s = d + d s 3 = d + d + d 3. s = d ( ) k= ( ) E evidete che s = d rappreseta lo spazio complessivo percorso da Achille prima di raggiugere la tartaruga. Calcoliamo 4 M. Tummiello, V. Lacagia, A. Cosiglio, S. Piraio

5 questo ite el modo seguete: d k= ( ) k = d = d = d [ ) ] k ( ) ( ) = k= ( ( + ) ( ) ( ) = ( ) (. Serie umeriche ( ) = = d + = d = d. Quidi, Achille raggiugerà la tartaruga appea avrà percorso lo spazio che le aveva dato di vataggio. Icidetalmete, abbiamo dimostrato che: ( ) =. Questa serie appartiee ad ua classe più ampia di serie covergeti dette serie geometriche... La serie geometrica. Cosideriamo la serie + x + x + x x k + = x k essedo x u umero reale arbitrario. Dal fatto che i termii della serie soo i progressioe geometrica di ragioe x, la serie prede il ome di serie geometrica. È evidete che il comportameto o carattere della serie dipede dal valore di x. Se x = la serie diviee la somma di ifiiti e pertato S =. Coseguetemete, essedo k= S = +, la serie è divergete. + Se x, S, per ua ota formula sulle progressioi geometriche (che si ricava ragioado come ell esempio precedete sul paradosso di Zeoe), assume l espressioe S = + x + x + x x = x x = x x x Se x <, poichè + x = 0, S coverge a + e quidi la serie coverge. Se x >, poichè a +. + x = + e x x x = x x + x = +, la serie diverge M. Tummiello, V. Lacagia, A. Cosiglio, S. Piraio 5 + )

6 . Serie umeriche Se x, + x o esiste e di cosegueza la serie geometrica è idetermiata. Esempio. Cosideriamo la serie di Megoli = k (k + ) k= di cui la somma parziale di ordie è + S = k (k + ) = ( k ) = k + = k= ( ) + k= ( ) = + Essedo il ( S = ) = la serie cosiderata è covergete ed ha somma. ( ) = + serie.. Prima osservazioe. Date m serie, a (), a (),..., a (m), tutte covergeti co rispettive somme S (), S (),..., S (m), la ( c a () + c a () ) + + c m a (m) combiazioe lieare delle serie date attraverso le costati reali c, c,..., c m, è covergete ed ha per somma la combiazioe lieare, attraverso le stesse costati, della somma delle sigole serie, ossia c S () + c S () + + c m S (m) Idicado co S (), S (),..., S (m), le somme parziali di ordie delle serie date, la somma parziale S della serie combiazioe lieare è S = c S () + c S () + + c m S (m) 6 M. Tummiello, V. Lacagia, A. Cosiglio, S. Piraio

7 . Serie a termii di sego costate Passado al ite per + si ha S = c + + S() + c + S() + + c m + S(m) = = c S () + c S () + + c m S (m) c.v.d..3. Secoda osservazioe. Sia data la serie a + a + + a + Se i essa sopprimiamo i primi p termii si ottiee ua uova serie a p+ + a p+ + + a p+ + a cui si da il ome di resto di ordie p della serie data. Le due serie differiscoo per u umero fiito di termii. Possiamo quidi dire che: Il resto di ordie p di ua data serie a è ua uova serie che ha lo stesso carattere della serie data. Se la serie data è covergete co somma S, il suo resto di ordie p è ua serie covergete co somma uguale a S (a + a + + a p ) Viceversa se il resto è covergete co somma R, la serie data è covergete co somma R + a + a + + a p. Serie a termii di sego costate Itediamo affrotare lo studio delle serie i cui termii soo tutti dello stesso sego, che suppoiamo o egativo. Teorema.. Ua serie a termii o egativi è covergete o divergete e ha per somma l estremo superiore dell isieme umerico costituito dai valori distiti assuti dalla somma parziale S. Dimostrazioe.Essedo per ipotesi gli a 0 allora la successioe delle somme parziali è o decrescete e quidi, richiamado il teorema sui iti delle successioi mootoe, il ite di S esiste ed è fiito o +. Teorema. (Criterio del cofroto). Siao serie a termii o egativi. Se defiitivamete a c b a e b due M. Tummiello, V. Lacagia, A. Cosiglio, S. Piraio 7

8 . Serie a termii di sego costate essedo c ua costate reale positiva, allora dalla covergeza della serie della serie b segue la covergeza della serie a segue la divergeza della serie a, dalla divergeza Dimostrazioe.Idichiamo co S e T le somme parziali di ordie, rispettivamete, della prima e della secoda serie. Dall ipotesi che a c b segue che b. Passado al ite si ha Pertato se T è fiito ache il ite di S è fiito e di co- + segueza la serie S c T S c T + + a è covergete; se di T è + e di cosegueza la serie S è + ache il ite + b è divergete Esempio. Cosideriamo la serie armoica geeralizzata co α > 0. α Nel caso i cui 0 < α è evidete che α Essedo la serie armoica divergete ache la serie data, co 0 < α < è divergete. Dimostreremo più avati che la serie, co α >, è covergete. α Teorema.3 (Criterio del cofroto ella forma di ite). Siao a e b due serie a termii positivi. Se esiste fiito e diverso a da zero il le serie date hao lo stesso carattere. + b 8 M. Tummiello, V. Lacagia, A. Cosiglio, S. Piraio

9 . Serie a termii di sego costate Dimostrazioe.Ifatti posto a = l 0, per la defiizioe + b di ite fiito, esiste, posto ɛ = l, defiitivamete la relazioe l a 3 b l l b a 3 l b da cui che implica la tesi. I particolare l b se l 0 dalla covergeza della se l 0 dalla divergeza della a 3 l b b segue la covergeza della b segue la divergeza della Ua cosegueza del criterio del cofroto ella forma di ite (.3) è la seguete: Sia a ua serie a termii o egativi ed esista u α R + : + α a = l allora () se l [0, + [ e α > la serie data è covergete; () se l ]0, + [ e α la serie data è divergete. Vediamo alcui esempi sulle serie e sui criteri di covergeza fio a qui sviluppati. Esempio. Determiare il carattere della serie La serie cosiderata, scritta ella forma 3. serie armoica geeralizzata co α = 3. diverge positivamete. 3, coicide co la a ; a. Pertato la serie data Esempio.3 Determiare il carattere della serie l() 3. M. Tummiello, V. Lacagia, A. Cosiglio, S. Piraio 9

10 . Serie a termii di sego costate essedo l 3 3 > Utilizzado il criterio del cofroto, deduciamo che la serie data è divergete perchè miorata da ua serie divergete. Esempio.4 Determiare il carattere della serie ( ) +. Essedo ( ) + ( ) > = cosiderato che la serie miorate diverge positivamete, ache la serie data diverge positivamete. Esempio.5 Determiare il carattere della serie Cofrotiamo la serie co ) ( + e ) (e., cosiderado il ite di a e = + = l e = Essedo α = la serie data ha lo stesso comportameto della serie, pertato è covergete. Esempio.6 Determiare il carattere della serie l( + ). L espressioe del termie geerale della serie suggerirebbe di cofrotare la serie co la serie di termie geerale, tuttavia pas- sado al ite essedo α = l( + ) = 0 + e l = 0, il criterio o permette di desumere il carattere della serie data. Se ivece cofrotiamo co la serie, 0 M. Tummiello, V. Lacagia, A. Cosiglio, S. Piraio

11 . Serie a termii di sego costate ci rediamo coto che la serie è divergete. Ifatti = + l( + ) + l( + ) = + Esempio cos Determiare il carattere della serie Il termie geerale della serie è ifiitesimo. Ifatti cos 5 = cos = = 0 3 Il ite del secodo addedo è zero i quato prodotto di ua successioe ifiitesima e di ua successioe defiitivamete itata cos. Cofrotiamo la serie data co la serie cos 5 3 = cos = + 0 = 3 Pertato la serie data è covergete. Esempio.8 Determiare il carattere della serie +. Essedo La serie data è maggiorata dalla serie geometrica di ragioe. Pertato dalla covergeza della secoda segue la covergeza della serie data. Esempio.9 Determiare il carattere della serie. Si vede immediatamete che la serie è divergete, perchè?.. Criterio della radice e criterio del rapporto. Itroduciamo due criteri che ci permettoo di desumere il carattere di ua M. Tummiello, V. Lacagia, A. Cosiglio, S. Piraio

12 . Serie a termii di sego costate serie data a termii o egativi o positivi per cofroto co la serie geometrica. Teorema.4 (Criterio della radice sotto forma di ite). Sia a ua serie a termii o egativi. Se esiste + a = l segue che la serie data è covergete per l <, la serie data è divergete per l >. Dimostrazioe.Dimostriamo che se esiste allora la serie Dall ipotesi che che a è covergete. + + a = l < a = l segue per la defiizioe di covergeza ɛ > 0 (ɛ) : > (ɛ) l ɛ < a < l + ɛ Essedo la precedete vera per qualuque ɛ, i corrispodeza di u valore di ɛ tale che l + ɛ < esiste (ɛ) tale che per ogi > (ɛ) si ha a < l+ɛ < ossia defiitivamete a < (l+ɛ), per cui la serie data a è maggiorata da ua serie geometrica di ragioe 0 < l + ɛ <. Pertato dalla covergeza della secoda segue la covergeza della serie data. Esempio.0 ( ) Determiare il carattere della serie. + La codizioe ecessaria per la covergeza di ua serie è verificata ( ) l = e + = e l + + = = e + l = e + ( l) = e = 0 Applichiamo il criterio della radice ( ) a = = + + <, N Di cosegueza la serie data è covergete. M. Tummiello, V. Lacagia, A. Cosiglio, S. Piraio

13 . Serie a termii di sego costate Esempio. Determiare il carattere della serie Applichiamo il criterio della radice. a = e = e = e La serie è covergete. e. e, N Esempio. Determiare il carattere della serie a = > 5 >, N La serie data è divergete. Esempio.3 Determiare il carattere della serie l. a = l l, N La serie data è divergete. D altrode si vede chiaramete che il termie geerale della serie o è ifiitesimo. Esempio.4 ( ) + si Determiare il carattere della serie, x > 0. (x) Applichiamo il criterio della radice ella forma di ite ( ) + si + si = = + (x) + x x Di cosegueza, impoedo la codizioe di covergeza a = l < si ha + x < x > M. Tummiello, V. Lacagia, A. Cosiglio, S. Piraio 3

14 . Serie a termii di sego costate ossia per x > la serie data è covergete. Per x < la serie è divergete. Per x = segue che a = + si > Applicado il criterio della radice, ci rediamo coto che la successioe che geera la serie o è ifiitesima. Essedo ua serie a termii positivi o covergete, possiamo affermare che per x = la serie diverge. Teorema.5 (Criterio del rapporto sotto forma di ite). Sia a ua serie a termii positivi. a + Se + a a + Se + a a + Se + a = l < allora la serie è covergete. = l > allora la serie è divergete. = ulla si può dire sul carattere della serie. Dimostrazioe.La dimostrazioe è simile a quella codotta el caso del criterio della radice i forma di ite. Esempio.5 Determiare il carattere della serie Applichiamo il criterio del rapporto a +!. = + ( + )! a ( + ) (+)! = + ( + )!! ( + ) = (+) ( + ) ( + ) ( + ) = + ( ) + e < La serie è covergete. Esempio.6 Determiare il carattere della serie Applichiamo il criterio del rapporto. a + a = (a ) +, a >. (a )(+) + ( + ) + (a ) = + + (a ) (a ) ( + ) + 4 M. Tummiello, V. Lacagia, A. Cosiglio, S. Piraio

15 . Serie a termii di sego costate La serie coverge per a < ossia per < a <, la serie diverge per a > ossia per a >. Per a = il criterio utilizzato o da idicazioi. Ricorriamo allora al criterio del cofroto. Per a = la serie diviee + maggiorata dalla serie +. Pertato per a = la serie coverge... Esercizi di riepilogo. Di seguito vegoo proposti alcui esercizi svolti. Esercizio. Determiare il carattere della serie geerale sella serie ( ) si + = è ifiitesimo. Ma + ( ) + si = = ( + la serie data ha lo stesso carattere della = ) si. si Il termie = 0 l = 0 si = l che è covergete. Esercizio. Determiare il carattere della serie, co x > 0. xl x l = e l l x = ( e l ) l x = l x La serie data è covergete per l x > ossia per x > e, è divergete per l x ossia per 0 < x e. Esercizio.3 Determiare il carattere della serie 4 + ( + )! ( + ) + 4! = 4 + 4!. ( + ) + = 4 ( + La serie data è divergete per il criterio del rapporto. ) + 4 e > M. Tummiello, V. Lacagia, A. Cosiglio, S. Piraio 5

16 3. Serie co ifiiti termii egativi e serie assolutamete covergeti Esercizio.4 Determiare il carattere della serie ( + ) + (( + ))! ()! = = ( + ) ( + ) ()!. ( + ) ()! ()!( + ) () = ( + ) = e + = 0 La serie data è covergete per il criterio del rapporto. 3. Serie co ifiiti termii egativi e serie assolutamete covergeti tipo 3.. Serie a segi alteri e criterio di Leibiz. Le serie del ( ) a predoo il ome di serie a segi alteri. Teorema 3. (Criterio di Leibiz). Sia (a ) ua successioe a termii o egativi, o crescete. Se a = 0 allora la serie + ( ) a è covergete. Esempio 3. Studiare la serie ( ) + ( ). È u serie a segi alteri. Per stabilire che è covergete dobbiamo verificare se soo vere le ipotesi del criterio di Leibiz. () a = = () (a ) è o crescete? + + se e solo se + + eleviamo primo e secodo membro ad ( + ) + ( + ) ( + ) ( ) ( + = + ) Ifatti per le proprietà del fattoriale si ha (( + ))! = ( + )! = ( + )!( + ) = ()!( + )( + ) 6 M. Tummiello, V. Lacagia, A. Cosiglio, S. Piraio

17 3. Serie co ifiiti termii egativi e serie assolutamete covergeti Teuto coto che ( + ) < e < 3 la precedete relazioe è verificata 3. Pertato la serie è covergete. No ci occuperemo di serie a segi alterati ulteriormete, poiché il ostro obiettivo è aalizzare serie fuzioi e, i particolare, serie di poteze. Da questo puto di vista, le serie assolutamete covergeti risultao molto più importati di quelle a segi alterati. 3.. Serie assolutamete covergeti. Spesso si icotrao serie che presetao ifiiti termii positivi ed ifiiti termii egativi ma che o presetao la struttura ordiata delle serie a segi alteri. Per stabilire la covergeza di tali serie itroduciamo il cocetto di assoluta covergeza. Sia a ua serie a termii di sego qualsiasi, cosideriamo la serie a, ossia la serie avete per elemeti i valori assoluti degli elemeti della serie data. Vale il seguete teorema: Teorema 3.. Se la serie è covergete. a è covergete la serie a Attezioe: il teorema esprime ua codizioe sufficiete, ossia l essere la a sia covergete. Esempio 3. a covergete o implica che ecessariamete la serie Cosideriamo la serie ( ), ossia la serie armoica a segi alteri, sappiamo che tale serie è covergete. Se cosideriamo la serie dei valori assoluti ( ) otteiamo la serie che sappiamo essere divergete. M. Tummiello, V. Lacagia, A. Cosiglio, S. Piraio 7

18 3. Serie co ifiiti termii egativi e serie assolutamete covergeti Itroduciamo la seguete defiizioe. Ua serie la serie a si dice assolutamete covergete se è covergete a dei valori assoluti dei suoi termii. Evidetemete, per quato detto, ua serie assolutamete covergete è covergete. Ogi serie a termii di sego costate covergete è assolutamete covergete. Si lascia come esercizio di dimostrare che: 3.3. Criteri di covergeza assoluta. Lo studio della covergeza assoluta di ua serie a si riduce allo studio della covergeza della serie a, che è ua serie a termii positivi, cui, quidi, si applicao tutti i teoremi studiati per le serie a termii positivi. I particolare, el teorema del rapporto dovremo calcolare il a + + a metre, el criterio della radice, dovremo cosiderare il a. + Chiaramete, potremo ache applicare il criterio del cofroto, cofrotado a co ua qualche serie a termii positivi b. Esempio 3.3 Determiare il carattere della serie + ( + ) x = + + ( + ) x, x R. ( + ) x = x Ne segue che la serie data è assolutamete covergete per x <. Nel caso sia x = si ha ( ( + ) ) = + Ne segue che la serie o coverge per x Esempio 3.4 Studiare la serie ( ) + x, x R. 8 M. Tummiello, V. Lacagia, A. Cosiglio, S. Piraio

19 3. Serie co ifiiti termii egativi e serie assolutamete covergeti Vediamo per quali valori di x la serie è assolutamete covergete x, x R Applichiamo il criterio della radice ella forma di ite x + = x + = x Impoiamo la codizioe di covergeza x < ossia x <. Pertato per < x < la serie dei valori assoluti è covergete, per cui per tali valori la serie data è assolutamete covergete e quidi coverge. Per x = la serie data diviee ( ) + che sappiamo essere covergete. Per x = la serie data diviee ( ) + ( ) + = che diverge egativamete. = + M. Tummiello, V. Lacagia, A. Cosiglio, S. Piraio 9