a) la funzione costante k. Sia k un numero reale e consideriamo la funzione che ad ogni numero reale x associa k: x R k

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1 ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI ( E NON) E LORO GRAFICI (*) a) la fuzioe costate k. Sia k u umero reale e cosideriamo la fuzioe che ad ogi umero reale x associa k: x R k Tale fuzioe è detta fuzioe costate k; il suo codomiio è {k},il suo grafico è costituito da tutti i puti del piao di ordiata k {P(x, y) Π: x R e y=k} ={P(x, k)} x X ed è quidi la retta orizzotale di equazioe y=k. La fuzioe costate è cotiua. f(r) = {k} mi f = max f = k k y=k Ovviamete la fuzioe o è ivertibile Se k = 0 la fuzioe è la fuzioe x R 0 che è detta fuzioe ulla e ha per grafico la retta di equazioe y=0 coicidete co l asse delle ascisse b). La fuzioe costate a tratti o fuzioe a scala: è ua fuzioe defiita i u uioe di itervalli a due a due disgiuti ed è tale ei puti di uo stesso itervallo assume lo stesso valore b 1. la fuzioe f(r) ={-1, 1, 2} % 1 se x, 0 ] [ mi f = -1 ogi x < 0 è puto di ' miimo f :x R f (x) = 1 se x [ 0, 4[ ' max f = 2 ogi x 4 è puto di 2 se x [ 4,+ [ massimo (' è costate a tratti: il domiio R è uioe degli itervalli a due a due disgiuti ], 0[, [ 0, 4[ e [ 4,+ [ su ogi dei quali f è costate: La fuzioe o è cotiua (*) ---- tali apputi sarao itegrati a lezioe co l aggiuta dei limiti egli estremi del domiio che o appartegoo al domiio e ei puti di discotiuità 1

2 b 2. Ricordiamo che se x è u umero reale, co [x] è idicata la parte itera di x, cioè il più grade itero che risulta x: [x]= max {z Z: z x} La fuzioe parte itera è la fuzioe f: x R [x] Cosideriamo R come uioe di itervalli superiormete semiaperti, del tipo [z, z+1[, co z itero relativo: R = z, z +1 [ [ Ogi umero reale x appartiee ad u solo itervallo [z, z+1[ e risulta z Z [x]= z x [z, z+1[ Allora la fuzioe parte itera f: x R [x] è ua fuzioe costate a tratti perché è costate su ogi itervallio [z, z+1[ ; essa o è cotiua f :x R = f (x) = x [ ] = $ % '... se x [, +1[, N... 2 [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ se x 2, 1 1 se x 1, 0 0 se x 0,1 1 se x 1, 2 2 se x 2,3... se x [, +1[, N... ( ) f(r) è l isieme Z degli iteri relativi if f = if Z = - sup f = sup f Z = + ogi itero è puto di massimo relativo Il suo grafico è il seguete grafico a scala: z z -2 c). L applicazioe idetica. La fuzioe 2

3 i: x R i(x) = x è detta applicazioe idetica ; il suo codomiio è R ha per grafico la bisettrice del primo e terzo quadrate di equazioe y=x y=x i(r) =R if i = if R = - sup I = sup f R = + La applicazioe i è cotiua, strettamete crescete, ivertibile e coicide co la sua iversa: i -1 = i d). La fuzioe opposta della applicazioe idetica -i: x R - x ha per codomiio R e per grafico l isieme dei puti di coordiate (x, -x) e cioè la bisettrice del secodo e quarto quadrate di equazioe y=-x y= -x -i(r) = R if -i = if R = - sup i = sup f R = + La applicazioe -i è cotiua, strettamete decrescete, ivertibile e coicide co la sua ivers : (- i) -1 =- i e) La fuzioe valore assoluto. La fuzioe valore assoluto v: x R x [0, + [ ha per grafico è costituito dai puti del primo quadrate di coordiate (x, x) e dai puti del secodo quadrate di coordiate (x, -x); il suo codomiio è [0, + [ y= x v(r)= [0, + [ v è pari, cotiua, covessa, strettamete crescete i [0, + [, strettamete decrescete i ]-,0]. f) La fuzioe lieare. La fuzioe f: x R f(x) = m x è detta fuzioe lieare; essa gode delle segueti proprietà : if v = mi v = mi [0, + [ = 0 0 puto di miimo sup f = sup[0, + [ = + 3

4 f (x) f (0) = 0 e = m x 0 x f(hx) =hf(x) proprietà di omogeeità ( dim.: f(hx) = mhx = h mx = hf(x) ) f(x+y) =f(x) + f(y) proprietà di additività ( dim.: f(x+y) = m(x+y) = mx+my = f(x) +f(y)) f(hx+ky) = hf(x) +k f(y) proprietà di liearità (dim: f(hx+ky)=m(hx+ky) = hmx+kmy = hf(x) +kf(y)) la proprietà di liearità può essere dimostrata come cosegueza delle proprietà di additività e omogeeità: f(hx+ky) = f(hx)+f(ky) = hf(x) +kf(y). L applicazioe idetica e la sua opposta soo casi particolari di fuzioi lieari. Il grafico della fuzioe lieare è ua retta passate per l origie del riferimeto co coefficiete agolare m y = mx m>0 y = mx m <0 f(r) =R f(r) =R Strettamete crescete per m >1 Strettamete decrescete per m <1 Se m 0: if f = - e sup f = +, f ivertibile e per ogi y R è x = f 1 (y) = 1 m y. Pertato la fuzioe iversa di f è acora ua fuzioe lieare: f 1 : y R f 1 (y) = 1 m y Se m=0: la fuzioe è la fuzioe ulla f: x R f(x)=0 Allora: f(r) ={0}, mi f = sup f = 0 y = 0 per m =0 f(r) ={0} La fuzioe lieare è ua fuzioe cotiua. 4

5 g) La fuzioe (lieare) affie. La fuzioe f: x R f(x) = m x + è detta fuzioe affie, ma i alcui testi è chiamata fuzioe lieare. Proprietà f (0) = e f (x 2 ) f (x 1 ) x 2 x 1 = m x 1, x 2 R : x 1 x 2 f(hx+ky) = hf(x) +k f(y) se h+k = 1 proprietà di affiità Dimostriamo la proprietà di affiità: f(hx+ky) = m(hx+ky)+ = hmx+kmy + ( h+k) = hf(x)+h + kf(y)+k =h (mx+)+ k(my+) = = hf(x) +kf(y). Il grafico della fuzioe affie è la retta di equazioe y=mx+, parallela alla retta passate per l origie del riferimeto e avete coefficiete agolare m. Il umero è detto ordiata all origie: è l ordiata del puto i cui la retta icotra l asse delle ordiate y = mx+ m>0 Per m 0 f (R) = R if f = - sup f = + y = mx+ m <0 Strettamete crescete per m >1 Strettamete decrescete per m <1 Per m 0 : f (R) = R, if f = - sup f = +, f ivertibile e per ogi y R è x = f 1 (y) = 1 m y m. Pertato la fuzioe iversa di f è acora ua fuzioe laffie: f 1 : y R f 1 (y) = 1 m y m Per m=0 : f è la fuzioe costate ; allora f (R) ={}, mi f = sup f =. y = per m =0 f(r) ={} per m=0 mi f = max f = La fuzioe affie è ua fuzioe cotiua. L isieme delle fuzioi affii iclude come l isieme delle fuzioi lieari ( caso = 0) 5

6 h) La fuzioe poteza di espoete aturale ( e la fuzioe radice -sima). Fissato il umero aturale, la fuzioe f: x R f(x) = x N è detta fuzioe poteza di espoete o fuzioe poteza -esima: la variabile idipedete x è la base della fuzioe poteza, è l espoete della fuzioe poteza ed è fissato. Il codomiio, le proprietà e la tipologia di grafico dipedoo da, i particolare dall essere pari o dispari h 1 ) dispari f: x R f(x) = x R applicazioe di R su R caso particolare =1 : f: x R f(x) = x R applicazioe idetica f(r)= R if f =if x = - sup f = sup x = + f fuzioe dispari: f(-x) = (-x) = -x =f(x) Il grafico è simmetrico rispetto all origie O(0, 0) e passa per i due puti P(1,1) e P (-1, -1) f è strettamete crescete i R quidi ivertibile f è strettamete covessa i [0, + [ f è strettamete cocava i ]-, 0] f è ua fuzioe cotiua 6

7 Fuzioe radice -sima, dispari come iversa di f(x) = x La fuzioe poteza -sima f: x R f(x) = x R per dispari è ivertibile. Allora ogi y f(r)= R è immagie di u solo x R idicato co f -1 (y) ( cotro immagie di y) L iversa f -1 f -1 : y R x = f -1 (y) R associa ad ogi y f(r)= R l uico x di cui y è immagie, cioè l uica a soluzioe dell equazioe y= f(x), cioè dell equazioe y= x. Poiché y= x x= y = f -1 (y) la fuzioe iversa è f -1 : y R x = y R Essa è chiamata fuzioe radice -sima, per dispari ed è ua applicazioe strettamete crescete di R su R perché iversa di ua fuzioe di R su R strettamete crescete; il suo grafico è simmetrico del grafico di f rispetto alla bisettrice del 1 e 3 quadrate x rosso, x verde Co u cambio di deomiazioe delle variabili idichiamo tale fuzioe co g: x R g(x) = x R fuzioe radice -sima, per dispari g(r)= R if g = - sup g = + g strettamete crescete g strettamete covessa i ]-, 0] g strettamete cocava i [0, + [ g è ua fuzioe cotiua 7

8 h 2 ) pari f: x R f(x) = x [0, + [ applicazioe di R su [0, + [ f(r)= [0, + [ mi f =mi x = 0 sup f = sup x = + 0 puto di miimo f è ua fuzioe pari: f(-x) = (-x) = x =f(x) quidi f o è ivertibile Il grafico è simmetrico rispetto all asse delle ordiate f è strettamete crescete i [0, + [ f è strettamete decrescete i ]-, 0] f strett. covessa: ( 1 t) x 1 + tx 2 ( ) < 1 t ( ) x 1 + tx 2 t ] 0,1[ f è ua fuzioe cotiua Nota: per pari, y= f(x) cioè y= x, ha pery>0, due soluzioi: x= y > 0 e x= - y < 0. y= x 8

9 Fuzioe radice -sima, pari, come iversa della restrizioe di f(x) = x a [0, + [ La fuzioe poteza per pari o è ivertibile. Se però si cosidera la sua restrizioe all itervallo [0, + ), si ottiee ua fuzioe strettamete crescete e quidi ivertibile h: x [0, + [ h(x) = x [0, + [ h= f [0, + [ restrizioe di f a [0, + [ y= x h h applicazioe stretta mete crescete di [0, + [ su [0, + [ x= La cotroimmagie h -1 (y) di y [0, + [ mediate la restrizioe h è la soluzioe o egativa di y = x, cioè x= y La fuzioe iversa di h è la fuzioe: h -1 : y [0, + [ x = y [0, + [ detta fuzioe radice -sima per pari. Essa è ua applicazioe stretta mete crescete di [0, + [ su [0, + [ Co u cambio di deomiazioe delle variabili idichiamo tale fuzioe co y = x g g: x [0, + [ g(x) = [0, + [ fuzioe radice -sima pari g( [0, + [)= 0, + [ mi g = 0 sup g = + g strettamete crescete g strettamete cocava g è ua fuzioe cotiua 9

10 i) La fuzioe poteza di espoete itero egativo z= - Sia z = -, co N. Si poe x z = x = 1 per ogi umero reale x 0. Poiché la poteza x z ha x seso solo se la base è o ulla, la fuzioe poteza di espoete z ha per domiio R- {0} f: x R - {0} f(x) = x z =x - le proprietà della fuzioe dipedoo dalla scelta di, i particolare dall essere dispari o pari i 1 ) dispari f: x R - {0} f(x) = x - 1 ]0, + [ = R - {0} y x f(r- {0})= R - {0} if f =if x - = - sup f = sup x - = o 1-1 fuzioe dispari: f(-x) = (-x) - = -x - =f(x) Il grafico è simmetrico rispetto all origie O(0, 0) e passa per i due puti P(1,1) e P (-1, -1) f ivertibile f strettamete decrescete e strettamete cocava i ]-, 0] f strettamete decrescete e strettamete covessa i ]0, + [ f è ua fuzioe cotiua i 2 ) pari f: x R- {0} f(x) = x ]0, + [ f(r-{0})=]0, + [ if f =if x - = 0 sup f = sup x - = + fuzioe pari: f(-x) = (-x) - = x - =f(x) f o ivertibile Il grafico è simmetrico rispetto all asse delle ordiate f strettamete crescete e strettamete covessa i ]-, 0[ f strettamete decrescete e strettamete covessa i ]0, + [ f è ua fuzioe cotiua 10

11 l) La fuzioe poteza co espoete o itero α Ricordiamo che se α è u umero reale o itero x α ha sigificato per ogi x 0 se α è positivo, ha sigificato per x> 0 se α è egativo. Pertato il domiio e il codomiio della fuzioe poteza di espoete α f: x f(x) = x α dipedoo dal sego di α α>0 f: x [0, + [ f(x) = x α [0, + [ f([0, + [) = [0, + [ f è fuzioe strettamete crescete di [0, + [ su [0, + [ f è ua fuzioe cotiua α>1 0< α<1 f strett. covessa se α>1 f strett. cocava se 0<α<1 α<0 f: x ]0, + [ f(x) = x α ]0, + [ f(]0, + [) = ]0, + [ f è fuzioe strettamete decrescete di ]0, + [ su ]0, + [ f è strettamete covessa f è ua fuzioe cotiua 11

12 m) La fuzioe espoeziale di base a >0 e a 1 Se è a >0, a x ha sigificato per ogi valore reale dell espoete x ed è u umero positivo. Allora la fuzioe x a x ha per domiio tutto R e i suoi valori a x soo umeri positivi. I particolare se a = 1, è a x = 1 per ogi x reale e allora la fuzioe x R a x = 1 x =1 è la fuzioe costate 1. A ssumiamo a >0 e a 1. La fuzioe f: x R a x ]0, + [ è detta fuzioe espoeziale di base a; essa ha per domiio R e per codomiio ]0, + [: f(r) = f([0, + [), if f =if a x = 0 sup f = sup a x = + Proprietà della fuzioe espoeziale idipedeti dalla scelta della base 1. f a (0) =1 (a 0 =1) 2. f a (1) =a (a 1 =a) 3. f a (x+y) = f a (x) f a (y) (a x+y = a x a y ) 4. f a (x-y) = f a (x)/ f a (y) (a x-y = a x / a y ) Le proprietà di mootoia della fuzioe dipedoo dall essere a >1 o 0< a<1. 1 caso : base a > 1 y =a x fuzioe strettamete crescete di R su ]0, + [: 1 0 fuzioe strettamete covessa fuzioe cotiua 2 caso : base 0< a < 1 y =a x fuzioe strettamete decrescete di R su ]0, + [: fuzioe strettamete covessa 1 f fuzioe cotiua 0 12

13 Come cambia il grafico al variare della base a i ]1, + [ f(x)= (4/3) x ; g(x)=2 x ; h(x)=3 x ; i(x)= 4 x Al crescere della base a il grafico della fuzioe espoeziale si distacca dalla retta y=1 e cresce più rapidamete i [0, + [, metre i ]-, 0] cresce meo rapidamete e si avvicia sempre di più all asse delle ascisse y=1 X Y=2 X Y=3 X -5 0, , ,0625 0, ,125 0, ,25 0, ,5 0,

14 Come cambia il grafico al variare della base a i ]0, 1[? Cofrotiamo i grafici delle fuzioi espoeziali di base 1/2 e di base 1/3 f: x R 1 x x! $! 1$ # e g: x R g(x)= # " 2% " 3% Al decrescere della base a il grafico della fuzioe espoeziale si distacca dalla retta y=1 divetado più ripido i ]-, 0], metre i [0,+ ] e si avvicia sempre di più all asse delle ascisse X Y=(1/2) X Y=(1/3) X , , , , , ,5 0, ,25 0, ,125 0, ,0625 0, , , , , , , , ,

15 Relazioe tra i grafici di f: x R a x ]0, + [ e g: x R (1/a) x ]0, + é f(x)= (2) x g(x)= (1/2) x I due grafici soo simmetrici l uo dell altro rispetto all asse delle ordiate: Ifatti: g(-x) =(1/a) -x = a x = f(x) 15

16 m 1 ) Ivertibilità della fuzioe espoeziale e defiizioe di logaritmo log a y per y>0 La fuzioe espoeziale f: x R a x ]0, + [ a > 0 e a 1 è strettamete mootoa e quidi ivertibile: y ]0,+ [= f (R) x R : y = a x y ]0,+ [= f (R) i altre parole: esiste ua sola soluzioe di y = a x Per ogi umero positivo y, il umero x = f -1 (y) di cui y è immagie è la soluzioe dell equazioe a x = y Si coviee di idicare tale soluzioe co il simbolo log a y detto logaritmo i base a di y f -1 (y)= log a y y= a x y= a x 1 Perciò : 0 x= log a y x= log a y 0 y > 0 e y = a x y > 0 e x = log a y Esempi: o 3 x = 9 ha per soluzioe 2, poiamo allora 2 = log 3 9; o 2 x = 1/8 ha per soluzioe -3,, poiamo allora -3 = log 2 (1/8); o 7 x = 5 ha ua sola soluzioe e la idichiamo co log 7 5 DUE MODI EQUIVALENTI DI LEGGERE IL log a y Sia a>0 e a 1 e y>0. Per defiizioe di logaritmo: 1. log a y, è la soluzioe x dell equazioe espoeziale a x = y ; 2. log a y, è l espoete x che occorre dare alla base a per avere il umero y Esempi: 1. log 3 27 è la soluzioe dell equazioe espoeziale 3 x = 27 e quidi vale 3: log 3 27 = 3 ; 2. log 3 27 è l espoete da dare alla base 3 per avere l argometo 27 quidi: log 3 27 = 3. 16

17 Dalla 2.: a log a b = b b > 0, log a a b = b b R (1) Alcui valori fodametali del logaritmo, o dipedeti dalla base a: log a 1= 0 a ]0,1[ ]1, + [ log a a =1 a ]0,1[ ]1, + [ (2) Proprietà del logaritmo: log a (x y) = log a x + log a y x > 0 e y > 0 log a x y = log a x log a y x > 0 e y > 0 log a x b = blog a x x > 0 e b R Esempi di applicazioe delle proprietà el calocolo del logaritmo: log = log 2 ( 4 32) = log og 2 32 = 2 +5 = 7 log = log 2 1 log = 0 7 = 7 Formula per il cambiameto di base del logaritmo log b x = log a x log a b x > 0 e b > 0 e b 1 Esempio di applicazioe : log 4 8 = log 2 8 log 2 4 =

18 m 2 ) Iversa della fuzioe espoeziale La fuzioe espoeziale f: x R a x ]0, + [ è strettamete mootoa e quidi ivertibile; y= a x y= a x 1 0 x= log a y x= log a y 0 l iversa è la fuzioe f -1 : y ]0, + [ x R : a x = y cioè f -1 : y ]0, + [ log a y R che è chiamata fuzioe logaritmo di base a. ) La fuzioe logaritmo di base a >0 e a 1. La fuzioe logaritmo di base a >0 e a 1 è la fuzioe g: x ]0, + [ log a x R, iversa della fuzioe espoeziale: il grafico è il simmetrico del grafico della fuzioe espoeziale rispetto alla bisettrice y=x del 1 e 3 quadrate e passa per il puto (1, 0) g è ua applicazioe di ]0, + [ su R, g( ]0, + [)= R, = if x ]0,+ [ log a x, Il suo grafico (i blu ell immagie seguete ) + = sup log a x x ]0,+ [ 18

19 La fuzioe logaritmo eredita le proprietà di mootoia della fuzioe espoeziale, di cui è l iversa, quidi è ua applicazioe di ]0, + [ su R strettamete crescete se a>1, strettamete decrescete se a<1. Per la (3), idipedetemete dalla base a, è : g(1) = 0 e g(a) = a 1 caso: base a > 1 y= log a x fuzioe strett. crescete fuzioe strett. cocava fuzioe cotiua 0 1 x= a y 1 caso: base 0< a < 1 fuzioe strett. decrescete fuzioe strett. covessa fuzioe cotiua y= log a x 0 x 1 x y= log a x 19

20 Come varia il grafico al variare della base a Se a >1: il grafico, che cade el 1 e 4 quadrate, è al di sotto della retta y=x e al crescere della base a il grafico della fuzioe logaritmo cresce meo rapidamete i [1, + [ allotaadosi dalla bisettrice y =x, metre i ]0, 1] cresce più rapidamete e si avvicia sempre di più all asse delle ordiate Se 0 < a <1: il grafico, che cade el 1 e 4 quadrate, è al di sopra della retta y= -x e al decrescere della base a il grafico della fuzioe logaritmo decresce meo rapidamete i [1, + [ allotaadosi dalla retta y = - x e decresce più rapidamete i ]0, 1], avviciadosi sempre di più all asse delle ordiate Relazioe tra i grafici di f: x R f(x)= log a x ]0, + [ e g: x R g(x) = log 1 ax ]0, + [ Ifatti I due grafici soo simmetrici l uo dell altro rispetto all asse delle ordiate 20