Esercizi: lezione I.

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1 Aalisi matematica I, ICI Esercizi: lezioe I. Federica Dragoi Massimi e miimi di isiemi umerici. Esercizio 1. Calcolare l estremo superiore e l estremo iferiore dei segueti isiemi e dire i quali casi esistoo il massimo e il miimo: A = {x R 4 < x 2 9}; A = {x R 4 x 2 < 9}; A = {x Q x 2 5}; A = {x Z x 2 5}; A = {x Q x 3 2}; A = {x Z x 3 2}; A = {p 2 p N}; A = {p 2 p Z}; A = {p 3 p N}; A = {p 3 p Z}. Osservazioe 1. Z e N soo isiemi discreti quidi la loro itersezioe co itervalli limitati da sempre origie ad u isieme composto da u umero fiito di puti. Gli isiemi composti da u umero fiito di puti hao sempre massimo e miimo. Se cosideriamo l itersezioe di Q co u itervallo limitato tale cosiderazioe o è più vera perchè Q è deso i R. 1

2 Esercizio 2. Calcolare l estremo superiore e iferiore di A = { 1 N} +3 e dire se esistoo massimo e miimo. Traccia svolgimeto. 1. Verificare che a = 1 +3 è decrescete. 2. La successioe è decrescete quidi sup A = a 0 = 1 e if A è dato dalla 3 successioe quado si avvicia a +, quidi if A = Dimostrare che if A = 0 sfruttado la defiizioe di estremo iferiore come massimo dei miorati. Ciò equivale a dimostrare che o esiste u umero ε > 0 tale che ε < a, per ogi N. Si suppoe che u tale umero esista e si trova come cotraddizioe che l isieme dei umeri aturali è limitato (assurdo!). Esercizio 3. Calcolare l estremo superiore e iferiore di A e dire se esistoo massimo e miimo, ei segueti casi: A = { 1 N, 0}; A = {( 1) 1 N}. +1 Campi di esisteza. Esercizio 4. Determiare i campi di esisteza della segueti fuzioi: (x + 5) 3 ; (x 3) 3 2 ; l(ta x); si x ; l si x ; l 10 10x2. 2

3 Fuzioi iverse. Esercizio 5. Dimostrare che f(x) = x è ivertibile, calcolare algebricamete l iversa e il relativo grafico (sia tramite l espressioe algebrica dell iversa che tramite la riflessioe rispetto alla I bisettrice). Esercizio 6. Determiare domiio e codomiio i modo che f(x) = x sia ivertibile. Determiare la fuzioe iversa e disegare il grafico sia per riflessioe rispetto alla I bisetrice che direttamete usado l espressioe algebrica trovata. Esercizio 7. Disegare i grafici delle fuzioi trigoometriche iverse egli opportui itervalli di ivertibilità. Disequazioi co i grafici. Esercizio 8. Risolvere le segueti disequazioi utilizzado il metodo grafico: x 4 x 0; 3x 2 6x 5 > 0; 2x x 1; x x 3 < 0. Disequazioi irrazioali, espoeziali e logaritmiche. Per risolvere ua disequazioe del tipo f(p (x)) f(q(x)) se la fuzioe è iiettiva e crescete si può risolvere la disequazioe P (x) Q(x). Se la fuzioe è iiettiva ma decrescete si deve ivertire il sego della disequazioe. Esempio 1. U primo esempio è il caso i cui f(x) = λx co λ > 0 i cui la fuzioe è crescete e quidi, come oto, o si iverte il sego della disequazioe. Nel caso g(x) = λx co λ < 0, la fuzioe è acora biettiva ma decrescete e quidi come oto se moltiplichiamo pe u umero egativo il verso della disequazioe si iverte. Esempio 2. U altro esempio è dato dal caso dell espoeziale e del logaritmo co base tra 0 e 1 ( i tale caso la relativa fuzioe è decrescete) e co base maggiore di 1 (i tale caso ivece la fuzioe è crescete). 3

4 Schema equazioi irrazioali: dispari: Poichè f(x) = x i tale caso è biettiva e crescete, le soluzioi dell equazioi irrazioale P (x) Q(x) coicidoo co le soluzioi di P (x) [Q(x)] pari: I tale caso f(x) = x è crescete solo per x 0. Risolvere le corrispodeti disequazioi irrazioali diveta più delicato. È ecessario stare atteti al campo di esisteza della radice (P (x) 0) e imporre Q(x) 0 per applicare f(x) e ifie vedere cosa accade quado ivece abbiamo Q(x) < 0. I defiitiva si ottiee che: Le soluzioi di P (x) Q(x) coicidoo co le soluzioi del sistema P (x) 0 Q(x) 0 P (x) [Q(x)] Le soluzioi di P (x) Q(x) coicidoo l uioe delle soluzioi dei due segueti sistemi { Q(x) 0 P (x) [Q(x)] { P (x) 0 Q(x) < 0 Esercizio 9. Risolvere le segueti disequazioi irrazioali: 3 x(x 1) > x 1; 4x 2 1 < x 3. 4

5 Esercizio 10. Risolvere le segueti disequazioi espoeziali e logaritmiche: ( 1 3) (1 12x)x < 3; e x 1 < e x ; l ( x) 1; log 1 (3x 2x 2 ) < 0; 2 e x e x 2 (usare la sostituzioe t = e x e risolvere l equazioe fratta così otteuta); (x+1) x2 1 > 1 (scrivere 1 = (x+1) 0 e risolvere i due sistemi corrispodeti rispettivamete al caso i cui l espoeziale i base a = x + 1 è crescete e decrescete). Testi di riferimeto: M. Bertsch, R. Dal Passo. Elemeti di Aalisi Matematica. P. Marcellii, C. Sbordoe. Esercitazioi di Matematica, vol 1, parte prima. 5