06 LE SUCCESSIONI DI NUMERI REALI

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1 06 LE SUCCESSIONI DI NUMERI REALI Ua successioe è ua fuzioe defiita i. I simboli ua f : A tale che f ( ) è ua successioe di elemeti di A. Se poiamo f ( i) ai co i,...,,..., ua successioe può essere rappresetata ella forma a, a,..., a,... detta forma esplicita della successioe. 2 I modo più compatto la stessa successioe può scriversi a. Gli elemeti a, a2,..., a,... si dicoo termii della successioe. Co la scrittura si idica l isieme dei valori della successioe. a ESEMPIO. a co a è ua successioe di umeri reali 2. a co a è ua successioe di umeri aturali 3. x, y co x, y è ua successioe di puti del piao 4. p co p proposizioi è ua successioe di proposizioi 5. X co X isiemi è ua successioe di isiemi 6. f co f fuzioi è ua successioe di fuzioi 7. Data la successioe 0 se dispari se pari, risulta a 0, Ci occuperemo solo di successioi di umeri reali, che altro o soo che particolari fuzioi reali defiite i. Per esse, allora, varrao tutte le cosiderazioi viste per le fuzioi reali. Di seguito e esamiiamo alcue. Date le successioi a e b, defiiamo successioe somma e differeza la successioe successioe prodotto la successioe a b a b a successioe quoziete la successioe co b 0 per ogi aturale. b Ioltre: a limitata superiormete : k ' a k ) ' a M M max a : 2) a M,

2 Roberto Mai Se a è limitata superiormete ) a e" e" sup a : 2) >0 ' e" a e" Se a o è limitata superiormete (iferiormete) si poe sup a Risulta, acora: ( if a ). a crescete (strett. cresc.) : a a ( a a ) a decrescete (strett. decresc.) : a a ( a a ) a mootoa (strett. mootoa) : a è crescete o decrescete (strett. cresc. o strett. decr.) ESEMPI,,,...,,... è strettamete decrescete e risulta max e if ,,,...,,... è strettamete crescete e risulta mi e sup ,,,...,,... o è é crescete é decrescete e risulta mi( ) e 2 3 max( ) 2 2,4,6,8,..., 2,... sup 2 è strettamete crescete o limitata superiormete e risulta mi 2 2 e Riscrivi le defiizioi di successioe limitata iferiormete, limitata, miimo di ua successioe e di estremo iferiore di ua successioe. Sia p è ua proposizioe che esprime ua certa proprietà. Si ha: a verifica defiitivamete la proprietà p : ' : a verifica la proprietà p SUCCESSIONI DEFINITE PER RICORRENZA Ua successioe si dice defiita per ricorreza se:. è assegato il primo termie 2. il termie a è defiito attraverso il termie a Le successioi di umeri reali 46

3 Roberto Mai ESEMPI. Sia d u umero reale; la successioe a a a d è defiita per ricorreza ed è detta successioe aritmetica di ragioe d 2. Sia q u umero reale; la successioe geometrica di ragioe q a a qa è defiita per ricorreza ed è detta successioe LIMITI DI UNA SUCCESSIONE DI NUMERI REALI Similmete a quato visto per le fuzioi, osservato che l uico puto di accumulazioe per è si ha: lim a lim a l : 0 ' : a l, la successioe si dice covergete : 0 ' : a, la successioe si dice divergete positivamete : 0 ' : a, la successio e si dice divergete egativamete Nei primi tre casi si dice pure che la successioe è regolare, el quarto che o è regolare. Cotiuao a valere i teoremi sui limiti studiati per le fuzioi. I particolare vale il TEOREMA (dell uicità del limite) Il limite di ua successioe, se esiste, è uico. Dim. Data la ua successioe a, suppoiamo per assurdo che lim a l e che lim a l2 l l2 l l, ad esempio l l 2. Posto 0, risulta: 2 ' : l a l 2. ' : l a l Preso max v, v 2, la. e la 2. soo verificate etrambe, per cui, teedo ache coto della scelta di, si ha che : l a l l2 a l2, che è assurdo. co TEOREMI (di esisteza). lim a l lim a l 2. lim a 0 lim a 0 Le successioi di umeri reali 47

4 Roberto Mai lim a 0 3. lim b 0 ' : b a lim a 4. limb ' : a b lim a 5. limb ' : b a lim a 0 6. lim ab 0 k 0 ' b k Prova a trascrivere per esercizio altri teoremi studiati per le fuzioi, el caso delle successioi. ALCUNI LIMITI FONDAMENTALI a lim 0 lim a lim a a 0 lim lim lim a lim se a 0 se a e lim lim e a lim 0 a 0! ESEMPI. La successioe aritmetica a a a d scrivere a a d, si ha lim a lim a ( ) d è divergete se d 0. Ifatti, osservato che è possibile se d 0. se 0 d Le successioi di umeri reali 48

5 Roberto Mai 2. Studiamo il limite della successioe geometrica a q a, si ha lim a lim q a TEOREMA (sulle successioi covergeti) Ogi successioe covergete è limitata Dim. Suppoiamo che lim a a a qa 0 a =0 se q a se q. a se q o esiste se q. Osservato che è possibile scrivere l, l umero reale. Allora, i base alla defiizioe di limite, si ha: 0 ' : l a l ciò sigifica che da u certo idice i poi tutti gli termii della successioe soo compresi fra l ed l. Restao fuori da questa limitazioe u umero fiito di termii che soo a, a 2,..., av. Cosideriamo, allora, l isieme fiito A a, a2,..., av, l, l esistoo h mi A e k max A. Per tali valori di h e k si ha h a k, se h l a l k, se. Proprio perché è fiito, I defiitiva tutti i termii della successioe soo compresi fra h e k, per cui la successioe è limitata. Euciamo, seza dimostrarlo, il seguete TEOREMA (fodametale sul limite delle successioi mootoe) Ogi successioe mootoa a è regolare. I particolare si ha: lim a sup a, se la successioe è crescete lim a if a, se la successioe è decrescete SUCCESSIONI ESTRATTE O SOTTOSUCCESSIONI Siao date ua successioe di umeri reali a e ua successioe di umeri aturali strettamete crescete k, ossia k k2... k k... co k. La successioe composta defiita come segue: k ak e quidi tale che a k si chiama successioe estratta dalla a. Le successioi di umeri reali 49

6 Roberto Mai ESEMPIO Siao date la successioe a successioe a k 2 ESERCIZIO Prova, per iduzioe su, che è estratta da a. k. Euciamo, lasciado la dimostrazioe per esercizio, il seguete e la successioe k 2 TEOREMA (sulle successioi estratte) Ogi successioe estratta da ua regolare è ach essa regolare ed ha lo stesso limite.. Allora la Coseguetemete, se da ua successioe è possibile estrarre due successioi regolari co limiti diversi, allora la successioe data o ha limite. ESEMPIO Cosidera la successioe,,3,,5,,7,,9, La se è dispari a ossia, i forma esplicita, se è pari a o è regolare, i quato si possoo estrarre da essa due sottosuccessioi bk a 2,3,5,7,9,... e c a k 2 lim lim(2 ) 0 lim lim bk c k. 2,,,, per le quali risulta: Le successioi di umeri reali 50