9 LIMITI DI SUCCESSIONI NUMERICHE

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1 9 LIMITI DI SUCCESSIONI NUMERICHE Iiziamo ora ad esamiare gli argometi veri e propri di questa prima parte del corso, i cui svilupperemo gli strumeti per giugere a descrivere soddisfacetemete le proprietà delle fuzioi e dei loro grafici. Questo verrà fatto, come caratteristico ei metodi dell Aalisi Matematica, riducedo problemi complicati a problemi più semplici, la cui soluzioe richiede lo sviluppo di ozioi basilari. Il primo cocetto che studieremo sarà quello di limite di ua successioe, e poi di ua fuzioe). Defiizioe Sia {a } R ua successioe; {a } è ifiitesima quado ε > 0 m N : m a ε; ovvero i valori di a si avviciao a 0 quado diveta grade ); {a } coverge a L R quado {a L} è ifiitesima: ε > 0 m N : m a L ε ovvero i valori dia a si avviciao a L; quidi {a } è ifiitesima è equivalete a dire che {a } coverge a 0). NOTAZIONE: scriveremo a L. { Esempio. ) 3 } è ifiitesima: dato che N o è limitato l Archimedeità di R), 2 fissato ε > 0 m N : m 3 2ε, ovvero 3 ε, per cui, se m ) 3 2m m ε. Teorema. UNICITÀ: se {a } coverge a L allora L è uivocamete determiato) a L, a L L L. Dimostrazioe Sia ε > 0. m, m N : max{m, m } a L ε, a L ε. Allora L L L a + a L 2ε. Questo dice che deve essere L L 0, ovvero L L. Defiizioe Se a L allora L viee chiamato il limite della successioe {a }, e si deota co uo dei simboli lim a lim a lim a. + Defiizioe Itoro di L R: ogi isieme che cotiee u itervallo di cetro L o ridotto ad u puto. 30

2 Proposizioe. {a } R, L R. Allora a L itoro I m N : m si ha a I Dimostrazioe Sia a L. Fissiamo I itoro di L. Allora ε > 0 : L z ε z I. Per def. di limite m N : m a L ε, quidi a I. Viceversa: si prede I {z : L z ε}. Allora a I a L ε. Esempio. importate) Sia z R co z <, allora z 0. Dimostrazioe Dato che / + ) 0, sia m N : m si ha Quidi per m, z + che + z. +. Sia ora C m z m. Proviamo per iduzioe z C m. Ifatti per m si ha u idetità. Supposto che z C/ si ha Duque z è ifiitesima. z + z z z C + C C +. OSSERVAZIONE: se {a } è ifiitesima e b C a, allora ache {b } è ifiitesima. Defiizioe SUCCESSIONI REALI DIVERGENTI Ua successioe reale {a } si dice positivamete divergete se M > 0 m N : m a > M. a è arbitrariamete grade quado è grade ). Ua successioe reale {a } si dice egativamete divergete se M > 0 m N : m a < M. Nei due casi scriveremo a + e a, e lim a + lim a. Defiizioe INTORNI DI + E ) Gli itori di + soo i sottoisiemi di R il cui complemetare è sup. limitato; gli itori di soo i sottoisiemi di R il cui complemetare è if. limitato. Ovvero, u itoro di + è u qualsiasi sottoisieme di R 3

3 che cotiete ua semiretta [x, + ); u itoro di è u qualsiasi sottoisieme di R che cotiete ua semiretta, x]. ESEMPI: R \ {0}, {x R : x 2 > 2} soo itori di + e ; ], 0[, R \ N soo itori di ; [, + [ è itoro di + ; R \ Z o è itoro e di + e di. OSSERVAZIONE. Co la otazioe degli itori si può dare u uica defiizioe: sia {a } ua successioe reale e L R. Allora lim a L scriveremo ache a L) itoro I di L m N : m x I. Defiizioe {a } si dice oscillate se o è e covergete e divergete. ESEMPI: ) a, a!, a soo divergeti basta otare che a per cui dato M > 0 basta predere m [M] +...); 2) a α α > 0) è divergete; 2) ) è oscillate; 3) ) è oscillate )...); 4) se z allora {z } è oscillate. OSSERVAZIONE: Sia a > 0 o a < 0, allora {a } è ifiitesima { a } è divergete a + e ei due casi). I geerale, se {a } 0 allora si può solo dire che { a } o coverge, ma può essere divergete o oscillate: a ) a 0 e a + a 0 e a 0 e a ) è oscillate. 32

4 0 SUCCESSIONI MONOTONE Ua classe di successioi che soo particolarmete semplici, soo quelle mootoe ovvero che come fuzioi reali soo mootoe). Si possoo defiire usado la struttura iduttiva dei umeri aturali come segue. Defiizioe Ua successioe reale) {a } è mootoa) o decrescete se a a + per ogi ; ua successioe reale) {a } è mootoa) o crescete se a a + per ogi ; ua successioe reale) {a } è mootoa) strettamete crescete se a < a + per ogi ; ua successioe reale) {a } è mootoa) strettamete decrescete se a > a + per ogi. NOTA: {a } è successioe reale) o decrescete a a m, m co m. Ifatti se m allora a a + a +2 a m a m ; quidi: {a } è successioe reale) o crescete a a m, m co m, e aalogamete per le altre defiizioi NOTA limitatezza delle successioi mootoe): {a } o decrescete a a 0 {a } iferiormete limitata aalogamete {a } o crescete {a } superiormete limitata). NOTA calcolo di if/sup, max/mi): ) se {a } è ua successioe o crescete allora esiste il max{a k : k N} a 0, e se {a } è ua successioe o decrescete allora esiste il mi{a k : k N} a 0. Per brevità scriveremo d ora i poi max{a k } i luogo di max{a k : k N} e così via; 2) se {a } è ua successioe o crescete allora esiste il mi{a } M se e solo se esiste u umero aturale tale che M a m per ogi m. Ifatti da quello che abbiamo appea otato si ha a m a se m, quidi se è tale che a M il miimo) allora si ha a m M se m, quidi si deve avere a m M, altrimeti la defiizioe di miimo o è soddisfatta. Aalogamete, se {a } è ua successioe o decrescete allora esiste il max{a } M se e solo se esiste u umero aturale tale che M a m per ogi m. 3) dall osservazioe precedete si ha che se {a } è ua successioe strettamete crescete allora o ha massimo e se {a } è ua successioe strettamete decrescete allora o ha miimo. Esempio. La successioe a è strettamete decrescete, quidi si ha max{a } a i questo caso a 0 o è defiita e quidi partiamo da ) e o esiste mi{a }. Abbiamo già visto che if{a } 0. 33

5 LIMITI DI SUCCESSIONI MONOTONE Teorema. Sia {a } mootoa o decrescete allora {a } o oscilla e lim a sup a ; sia {a } mootoa o crescete allora {a } o oscilla e lim a if a. Dimostrazioe caso o crescete) sia L if a. Se mostriamo che L L m t.c. m si ha L a < L, allora L lim a. Per def. di if m t.c. a m < L. Per la o cresceza di {a }, si ha a a m m, e quidi L a a m < L m. Corollario Importate. Ogi successioe mootoa limitata coverge i R. Il umero di Nepero Studiamo ora ua importate successioe. Proveremo che è mootoa e limitata, e che quidi coverge. Il suo limite è la costate di Nepero: { e sup + ) } : N \ {0}. Stima: 2.7 < e < Teorema. La successioe a Dimostrazioe CRESCENZA) È a + ) ) k k ; k0 a + + ) + + ) + + k + ) k. k0 + ) è strettamete crescete e limitata. Perchè sia a < a + basta duque vedere che k, ) ) + ) k k k + ) k. Dimostriamolo per iduzioe su k. Per k 0 si ha ) ) + 0 ) ) 0. Suppoiamo ora che k, e che valga ) k k ) + k 34 + ) k.

6 Allora k0 ) k k! k! k)! k! k + ) k )! k + )! k k ) k + ) k k k ) + k + ) k + ) k k + )! k + ) k )! k + 2)! + ) k k + )! k + ) k! + k)! + ) k k + 2) ) + k + ) k + ) k k + 2) ) + k + ) k, ovvero ). LIMITATEZZA) Vediamo che a + ) 3, ovvero ) k k 3. Notiamo alcue cose: ) i), k k k k! Ifatti iduzioe su k ) per k 0 si ha u idetità ; suppoedo che si abbia ) k k k ), otteiamo: k )! )! k k k! k)! k! k + ) k )! k + )! k k ) k + ) k k k k + ) k )! k k! 35

7 Quidi a ; maggioriamo questa somma co u altra più facile da calcolare, k! k0 usado la seguete osservazioe: ii) k si ha k! 2 k, ifatti k! k k ) k. Duque si ha a k! + 2 k + 2 j. k0 k Questa somma si può calcolare facilmete: iii) sia a ; allora a j a, ifatti basta ricordare che a j0 a ) a) + a + a a ). I particolare a /2) j0 j 2 j /2) 2) /2) 2 2. j0 j0 Tirado le somme a < 3 Corollario. e lim +. ) 36