Risoluzione del compito n. 2 (Gennaio 2017/2)

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1 Risoluzioe del compito. (Geaio 017/ PROBLEMA 1 Trovate tutte le soluzioi (z, w, co z, w C,del sistema { i z + w =0 z + z + w +1=0;. Dalla prima equazioe, w = i z e quidi w = iz, che sostituito ella secoda ci dà z + z( +i+1=0, ua equazioe di secodo grado i z che risolviamo: z = i ± 1+i 4 = i ± +i A questo puto cerchiamo le radici di +i, u umero che ha modulo 4 e che scriviamo +i ( =4 1 + i. Duque ha argometo π/ e ha quidi radici di modulo e argometo π/(+π. Allora le radici soo ±(1 + i e z = i ± ( 1+i = i + 1 i. A questo puto troviamo i corrispodeti valori di w = i z : dato che se z = a + ib allora i z = b ia otteiamo le due soluzioi (z,w del sistema:. e z = 1 z = i, w = i, w = 1 + i + 1+ i. Risoluzioe del compito. 11

2 PROBLEMA Cosiderate la fuzioe x + x + 1+x. a Studiate la fuzioe, specificado se e perché è cotiua, se e perché è derivabile, determiadoe domiio, sego, asitoti e itervalli di mootoia e tracciadoe il grafico. b Determiate per quali valori di k>0 la fuzioe f k (x =x + x + k/ 1+x è m o o t o a s u t u t t o R. I tre addedi che compogoo f soo fuzioi cotiue defiite su R, quidi f è defiita su R ed è cotiua; ioltre (a parte il valore assoluto i x 0 =0sooache derivabili, quidi f è certamete derivabile i tutti i puti trae zero, e vedremo poi se è o meo derivabile ache i zero. Dato che il terzo addedo tede a zero all ifiito abbiamo lim f(x = lim (x x =, lim x x e ioltre lim [f(x x] = lim x x f(x = lim (x + x =+, x + x + =0, lim [f(x x] = 1+x lim x + x + 1+x =0 duque f ha due asitoti obliqui, la retta di equazioe y = x a e la retta di equazioe y = x a + (qui sotto, a destra u igradimeto vicio a x = 0per vedere l agolo. Per x 0è f(x =x + 1+x > 0, duque f è positiva su [0, + [. Ivece per x<0 abbiamo f(x > 0 x + 1+x > 0 x + x +> 0. 1 Risoluzioe del compito.

3 Ua soluzioe dell equazioe x + x+ = 0 è x = 1, e dividedo per x ( 1 = x+1 abbiamo x + x +=(x +1(x x +; dato che x x + è sempre positivo, abbiamo quidi che f(x < 0 per x< 1 e f(x > 0perx> 1 : il puto 1 è l uico zero di f. Passiamo alla derivata: abbiamo per x 0 4x 1 (1 + x se x<0 f (x = 4x (1 + x se x>0; i particolare f (x 1perx 0 e f (x perx 0 +,edessedo f cotiua per x = 0 da u corollario del Teorema di de l Hôpital ricaviamo f (0 = 1, f +(0 = e i particolare f ha i zero u puto agoloso. Oserviamo che per x<0 la derivata è sempre positiva, duque f cresce. Per x>0 osserviamo che da (x 1 0 segue 1+x x e quidi 4x (1 + x = x 1+x 1 1+x 1 1=<, duque f è strettamete crescete ache per x 0 e i coclusioe è crescete su tutto R. Avremmo potuto ache procedere così, sempre per x>0: f (x > 0 > 4x (1 + x +6x +x 4 > 4x. Per x 1 basterebbe a siistra il solo termie 6x,eper x piccolo basta ; mostriamo che +6x > 4x x (che si verifica immediatamete, è ua disequazioe di secodo grado e allora + 6x + x 4 > +6x > 4x. La secoda parte è più delicata: abbiamo f k(x = 1 kx (1 + x se x<0 kx (1 + x se x>0 epermaeche f è c r e s c e t e p e r x 0, quidi perché f sia mootoa su tutto R occorre che kx (1 + x 0 x >0. Risoluzioe del compito. 1

4 Questa si può riscrivere i vari modi: 1 kx (1 + x (1 + x k x (1 + x kx. (A (B Partiamo dal modo (A: il umero k deve essere duque miore o uguale di tutti i valori della fuzioe g(x =(1+x /x per x>0, quidi deve essere miore o uguale del miimo di g (che esiste dato che g è cotiua e tede a + sia per x 0 + che per x +, e lo cerchiamo: g(x = 1 x +x + x, g (x = 1 x ++x = x4 +x 1 x. Posto x = t, e ricordiamoci che ci iteresserao solo valori o egativi di t, abbiamo e quidi per x>0 t +t 1 > 0 t>1/ g (x > 0 x 4 +x 1 > 0 x > 1/ x>1/. Duque g ha miimo per x =1/, tale miimo vale mi g = g(1/ = 16 9 e quidi la fuzioe f k è m o o t o a s u t u t t o R se e solo se k 16 /9. Proviamo ora co la strada (B: vediamo quali fra le (semirette di equazioe y = kx o itersecao mai la curva di equazioe y =(1+x. È chiaro che il massimo coefficiete agolare k è quello della semiretta tagete, che ora cerchiamo. Se questa è tagete i u puto x k,deveessere (1 + x k = kx k (la curva e la semiretta si toccao per x = x k eache (1 + x k x k = k (si toccao co lo stesso coefficiete agolare. valore di k dato dalla secoda abbiamo Sostituedo ella prima equazioe il (1 + x k =4x k(1 + x k 1+x k =4x k x k =1/ che risostituito ella secoda equazioe ridà k =16/ =16 /9. 14 Risoluzioe del compito.

5 PROBLEMA Cosiderate le fuzioi f(x =cos(x + x 5 cos(x + x 4 se(1 + x e x g(x =cos(x + x 5 cos(x + x 4 +se(1+x e x. a Scrivete lo sviluppo di Taylor di ordie 6 della fuzioe f,cetratoi x 0 =0. 1/ 1 b Determiate per quali α R coverge ( α dx. f(x c Determiate per quali β R la fuzioe 1/ ( g(x β ha itegrale i seso geeralizzato covergete vicio a x 0 =0. Iiziamo co lo sviluppo di Taylor: epertato f(x = cos(x + x 5 =1 1 (x + x 5 + o(x + x 5 =1 x6 x8 + o(x 9 =1 x6 + o(x6 cos(x + x 4 =1 1 (x + x 4 + o(x + x 4 =1 x4 x6 + o(x 6 1+x e x =1+x 1 x x4 x6 6 + o(x6 = x4 x6 6 + o(x6 se(1 + x e x = x4 x6 6 + o(x6 (1 x6 +o(x6 (1 x4 x6 +o(x 6 ( x4 x6 6 +o(x6 = x 4 + x6 +o(x 6. Per quato riguarda l itegrale, per far le cose per bee dovremmo assicurarci che il deomiatore sia positivo i ]0, 1/] e i particolare o si aulli altro che i zero: osserviamo che f(0 = 0 e che f (x =(x+4x se(x +x 4 (x +5x 4 se(x +x 5 +x( e x 1 cos(1+x e x : per 0 <x 1/ abbiamo [x >x > 0, 4x > 5x 4 > 0] (x +4x > (x +5x 4 > 0, π/ >x + x 4 >x + x 5 > 0 se(x + x 4 > se(x + x 5 > 0 0 e quidi (x +4x se(x + x 4 (x +5x 4 se(x + x 5 > 0. Risoluzioe del compito. 15

6 Poi 0 > 1+x e x > 1 e 1/4 > 1 4 1/4 =1 > π/ cos(1 + x e x > 0, ma ache x( e x 1 > 0 duque f (x > 0. I particolare f rimae positiva i ]0, 1/] e il primo itegrale è improprio solo i zero. Allora essedo f(x =x 4 + o(x 4 per il criterio del cofroto asitotico il primo itegrale coverge se e solo se 4α <1 ossia α<1/4. Per il secodo itegrale o dobbiamo preoccuparci troppo, dato che si tratta di studiarlo solo vicio a zero (ma come vedremo u miimo di preoccupazioe ci vuole, e usado i calcoli già fatti abbiamo g(x = (1 x6 + o(x6 (1 x4 x6 + o(x 6 + ( x4 x6 6 + o(x6 = x6 + o(x6. I particolare g(x/x 6 1/ > 0 per x 0, quidi g ha lo stesso sego di x 6 (ossia è positiva per 0 <x x 0 abbastaza piccolo, e il secodo itegrale è improprio solo i zero. Per il criterio del cofroto asitotico, coverge se e solo se 6β<1 ossia β<1/6. 16 Risoluzioe del compito.

7 PROBLEMA 4 Sia per ogi ( ( 1 a =log log. +1 a Calcolate lim a. + b Studiate la mootoia di {a }. c Determiate se a coverge e, se sì, calcolate la somma della serie. d Determiate per quali valori di α R coverge la serie α a. Etrambi gli argometi dei logaritmi tedoo a 1, duque chiaramete a 0. Abbiamo ( ( ( a = log + log = log +1 1 ( +1( 1 ( ( = log = log la fuzioe è crescete, quidi ache 1 che ioltre è positiva. Allora 1/( 1 è decrescete, quidi ache 1 + 1/( 1, ma il logaritmo è crescete ed a,che è composizioe di ua fuzioe crescete ed ua decrescete, è decrescete. Ioltre /( 1 1 quidi a 0. Dato che ( a = log 1+ 1 = o(1/ 1, per il criterio del cofroto asitotico la serie a coverge. Osserviamo che si tratta di ua serie telescopica: poedo per ( 1 b = log abbiamo a = b +1 b,duque +1 a k = [b k+1 b k ]= b k b k = b +1 b = log +1 log 1 k= k= k= k= che tede per + a log(1/ = log, la somma della serie. Che sia ua serie telescopica si può capire provado a calcolarsi le prime somme parziali: [ a + a = log 4 log ] [ + log log 1 ] = log 4 log 1 e e a questo puto dovrebbe essere evidete. Abbiamo già osservato che a 4 + a + a = log 4 5 log 1 lim + a 1/ =1, quidi α a α = che coverge se e solo se α>1 ossia α<1. 1 α Risoluzioe del compito. 17

8 Esercizio 1. Ua soluzioe dell equazioe z = 8i z è (A +i. (B i. (C 1 i. (D Nessua delle altre è corretta. Ricordado che z 0, l equazioe si riscrive z =8i. Ua delle radici cubiche di 8i è i che ha modulo e argometo π/, le altre due avrao argometo che differisce da questo per π/, duque avrao argometo π/6 e 5π/6. Le tre risposte forite hao modulo, e +i ha argometo 5π/6. Esercizio. Sia f(x =se(x log(1 x. Quale tra le segueti affermazioi è vera? (A f (0 =, f iv (0 = 4. (B f (0 =, f iv (0 = 6. (C f (0 = 1/, f iv (0 = 1/6. (D f (0 =, f iv (0 = 4. Abbiamo se x = x x 6 + o(x4, log(1 x = x x x + o(x quidi ello sviluppo di Taylor del prodotto compaioo i termii (termii i x x x4 6 + o(x4. Ma lo sviluppo di Taylor di ua fuzioe f è composto dai termii f (i (0x i /i!, quidi f (0! eduque f (0 =, f iv (0 = 4. = 1, f iv (0 4! = 1 6 Esercizio. Sia S = {x R : log(x 4 8x +16 0}. Allora: (A ] 5, [ S. (B [, 5] S. (C if S =. (D S R +. Ricordado che l argometo del logaritmo deve essere positivo, e che il logaritmo è egativo prima di 1, la disequazioe equivale a 0 <x 4 8x < (x 4 1. Duque x 4 deve essere compreso fra 1 e 1 ma diverso da zero, ossia { x { x 4 1 x 4 x 5 x [ 5, [ ], ] [, [ ], 5]. 18 Risoluzioe del compito.

9 { a log( e x+bcos x se x 0 Esercizio 4. Data la fuzioe f(x = a x +1 be x +1 sex>0 valori di a, b R è derivabile su tutto R?, per quali (A a =e, b = e +1. (B a = 6 e b per ogi b R. e +1 (C a = e, b = 1 e. (D a = e 4 e +, b = e +1 4 e +. Osserviamo itato che per x>0è x +1 = x + 1, quidi o c è alcu problema per x 0 ; i zero abbiamo f(0 = lim f(x =a + b, lim x 0 f(x =a b +1. x 0 + Se vogliamo che f sia derivabile, deve essere ache cotiua, quidi a + b =a b +1 a +1=b. Poi per x 0 abbiamo f (x = { a b se x e x se x<0 a 6b e x se x>0 quidi lim x 0 f (x = a e, lim f (x =a 6b. x 0 + Per u corollario del Teorema di de l Hôpital, dato che questi limiti esistoo, f sarà derivabile i zero se e solo se i limiti coicidoo, quidi (ricordado la codizioe per la cotiuità a e =a 6b =a (a +1= a =e b = a +1 = e +1 Esercizio 5. Al mare, u gruppo di ragazzi orgaizza u lugo toreo di beach-teis i cui oguo gioca i coppia co u qualsiasi altro ragazzo cotro ua qualuque coppia formata dai giocatori rimaeti. (I altre parole, ogi coppia possibile gioca ua partita cotro ciascua delle altre coppie possibili. Se i ragazzi i tutto soo sette, quate partite dura il toreo?. (A 105. (B 5!. (C 7!. (D 5. Le coppie che si possoo formare soo ( 7 =7 6/ = 1. Scelta ua coppia, restao solo 5 ragazzi, quidi le altre coppie possibili soo 5 4/ = 10. La coppia A giocherà Risoluzioe del compito. 19

10 quidi 10 partite, lo stesso la coppia B e così via. Il prodotto 10 1 cota però due volte ogi partita (la coppia A gioca cotro B e la coppia B gioca cotro A, quidi il umero di partite è 10 1/ =5 1 = 105. Soluzioe alterativa: per giocare ua partita occorroo quattro ragazzi; allora per cotare ( le partite prima cotiamo i gruppi di quattro che possiamo scegliere (e soo 7 4 =5,poidatocheiquattroragazzi ABCD giocao tre partite (a secoda se A è i coppia co B, C o D moltiplichiamo per. Si può osservare che el caso geerale di ragazzi le partite soo ( ( ( /= 4. Esercizio 6. L itegrale 1 1/4 log xdx vale (A log. (B log. (C log 1. (D 4 log 1. Ua primitiva di log x si può trovare sostituedo x = t, oppure itegrado per parti 1 log x, o ache osservado che log x = 1 log x e ricordado a memoria ua primitiva del logaritmo. I ogi modo 1 1/4 log xdx= 1 [ ] 1 x log x x = 1 1/4 1 1 ( 4 log = log. Esercizio 7. La fuzioe x se x è iiettiva (A su tutto R. (B solo egli itervalli su cui il seo è crescete. (C solo egli itervalli su cui il seo è decrescete. (D su essu itervallo I R. La fuzioe x sex è cotiua, defiita sull itervallo R e ha derivata cosx 1 > 0 duque è strettamete crescete, quidi è iiettiva su R. 0 Risoluzioe del compito.