La base naturale dell esponenziale

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1 La base aturale dell espoeziale Beiamio Bortelli 7 aprile 007

2 Il problema I matematica, ci è stato detto, la base aturale della fuzioe espoeziale è il umero irrazioale: e =, Restao, però, da chiarire le segueti questioi: Problema. Primo: quad è che ua base è aturale? Secodo: perché la base aturale degli espoeziali è proprio il umero irrazioale e? Terzo: el formulare ua risposta al quesito, è possibile utilizzare esclusivamete matematica semplice - aritmetica, geometria e geometria aalitica, evitado ivece, ad esempio, le derivate - i modo che il lavoro sia compresibile ad ua persoa co u livello di alfabetizzazioe matematica medio? Il primo quesito o viee chiarito, se o ituitivamete, perché, i termii formalmete rigorosi, coivolge la ozioe di derivata. Il secodo, ivece, perché il umero di Nepero viee defiito mediate il cocetto di limite. Ifatti, preso u umero aturale grade a piacere, si dimostra che: e + ) L approssimazioe è tato più buoa quato più è grade, cioè el limite di tedete all ifiito. Ciò o toglie che, co u po di pazieza, o si riesca a formulare ua risposta, ache se o rigorosamete formalizzata, limitadosi all uso della geometria aalitiva, evitado il ricorso esplicito al cocetto di derivata. Ed è ciò che ho provato a fare qui.. Quado ua base è aturale? Normalmete io iizio esplorado il problema, vado u po a ruota libera, lasciadomi guidare dalle cose che a u dato mometo attirao la mia attezioe. Questa parte, ifatti, è la meo formalizzata. Predo i cosiderazioe la possibilità di più basi, limitadomi però a basi comuque positive e guardo come l adameto dell espoeziale è ifluezato dalla base:

3 y 4 fx) = a x a > fx) = x fx) = a x a < 0 4 Registro ua prima proprietà: Proprietà. A secoda che risulti a >, oppure a <, l adameto è strettamete crescete o decrescete. Se però, come i figura, si predoo due basi l ua il reciproco dell altra, i due adameti soo simmetrici, essedo ifatti, co b = a : b x = a x Allora posso restrigere ulteriomete il campo e cosiderare a >. A questo puto metto a cofroto due espoeziali co basi molto diverse: y 4 fx) = 0 x x fx) = + 0 )x 0 4 x Posso cofrotare i loro adameti i corrispodeza del puto P 0 = 0, ), comue a qualsiasi espoeziale, e vedo che, co base molto grade, ache la fuzioe è molto ripida, metre co base piccola, la fuzioe cresce poco. Il grado di crescita della fuzioe lo posso stabilire i due maiere: il valore di raddoppiameto, oppure la pedeza.

4 .. Il valore di raddoppiameto Il valore di raddoppiameto è quel valore che, aggiuto alla variabile, determia il raddoppio della fuzioe. Registro ua secoda proprietà: Proprietà. Per la fuzioe espoeziale il valore di raddoppiameto è costate. Ifatti si ha: a x+χ = a χ a x = a x co χ = log a Il valore dipede dalla base ed è compreso ell itervallo 0 +, dove il valore + corrispode ad ua base uitaria o si raddoppia mai) ed il valore zero ad ua base ifiita. Allora ua base aturale avrà ecessariamete u valore di raddoppiameto itermedio tra questi due estremi. Purtroppo o ho alcu elemeto per decidere u valore piuttosto che u altro! Secodo logica, mi verrebbe da riteere itermedio u valore di raddoppiameto uitario. Mi accorgo, però, che esso corrispode alla base e o alla base e. Per la base, detto u aturale,, si ha ifatti: 0 = + = Il valore di raddoppio della base e è ivece log e = 0, e o ho alcu elemeto per cosiderare aturale questo valore... La pedeza La pedeza della fuzioe espoeziale i u puto dato la posso valutare attraverso l icliazioe della retta tagete l espoeziale i quel puto: la tagete dell agolo che la retta forma ell itersezioe co l asse x. Questo paragrafo o è strettamete ecessario e può essere saltato dal lettore. 4

5 y 4 fx) = e x 0 4 x La pedeza o è affatto costate, ma cambia da puto a puto, divetado sempre più grade. Registro ua terza proprietà: Proprietà. La pedeza della fuzioe espoeziale i u puto dato è direttamete proporzioale al valore della fuzioe i quel puto. Ifatti, se el puto P 0 = 0, ) l equazioe della tagete è: y = mx + q allora el puto P = c, a c ) la ricavo facedo il seguete cambio di variabile: X = x c Y = a X = a c y Nelle uove variabili il puto P ha le coordiate 0, ) per cui l equazioe della tagete è: Y = mx + q Svolgedo si trova: y = a c mx + q e quidi si coferma la proprietà. A questo puto mi limito a cosiderare la pedeza i u puto prescelto e scelgo il puto P 0 = 0, ). Osservo che ache la pedeza dipede dalla base ed è compresa ell itervallo 0 +, dove il valore zero corrispode ad ua base uitaria o sale mai) ed il valore + ad ua base ifiita. Ma allora la base aturale avrà el puto P 0 ua pedeza itermedia tra questi due estremi. 5

6 Devo solo escogitare u criterio ragioevole co il quale discrimiare u dato valore dagli altri, cercado qualche proprietà particolare. Siccome la pedeza è i proporzioe co la fuzioe stessa, il criterio ragioevole è quello di fare i modo che la costate di proporzioalità sia uitaria. E poiché ell origie la fuzioe espoeziale è essa stessa uitaria, allora, secodo questo criterio, ache la pedeza della tagete ell origie è uitaria. Registro, ifatti, questa proprietà iteressate: Proprietà 4. Per l espoeziale a base aturale, la pedeza della retta tagete l espoeziale i u suo qualsiasi puto, coicide co il valore della fuzioe ello stesso puto.. Perché la base aturale degli espoeziali è proprio il umero irrazioale e? Per rispodere a questa domada devo calcolare la pedeza della retta tagete l espoeziale el puto P 0. Purtroppo, co la semplice geometria aalitica, si riesce a trovare l equazioe della tagete solo per alcue curve molto semplici, quali la circofereza e l iperbole, ma o per l espoeziale, per il quale bisoga per forza fare u calcolo approssimato. Devo dire che ho fatto diversi tetativi ed alla fie ho trovato più produttivo approssimare la tagete co la secate... Approssimazioe della tagete co la secate L idea è questa: predo tre puti dell espoeziale e ci faccio passare due secati: l ua co pedeza leggermete maggiore e l altra leggermete miore. Come puti predo: P 0 = 0, ), P =, a), P =, a ). 6

7 y 4 fx) = e x r r r 0 4 x Come rette secati predo: r : retta passate per P 0 e per P, co coefficiete agolare: m = a r : retta passate per P 0 e per P, co coefficiete agolare: m = a a Dal cofroto tra m ed m, osservo che il primo ha valore maggiore, quidi ottego: m m m Ma so che m è uitario, quidi deduco che deve essere: a > Ho u primo risultato che, però, devo migliorare. Il lettore dimostri che r è ache la retta tagete u iperbole passate per i puti P 0 e P, e per il puto improprio, 0); metre r è ache la retta tagete u iperbole passate per i puti P 0 e P, e per il puto improprio +, 0). Calcoli, ioltre, l equazioe della circofereza passate per i tre puti dati e l equazioe della retta tagete alla circofereza el puto P 0... Approssimazioe co P più vicio a P Itedo, ora, ripetere lo stesso procedimeto, ma co il puto P più vicio a P. Per far questo dimiuisco il valore dell ascissa del puto, portadola da a, e poi a e così via. Pogo cioè: x =, co aturale maggiore di. I puti divetao: P 0 = 0, ), P = x, a x ), P = x, ). a x 7

8 La retta r ha ora coefficiete agolare: m = ax x La retta r, ivece, ha coefficiete agolare: m = ax x a x Ottego acora: m m m Il lettore dimostri che, ora, r è la retta tagete l iperbole passate per i puti P 0 e P, e per il puto improprio, 0); metre r è la retta tagete l iperbole passate per i puti P 0 e P, e per il puto improprio +, 0). So che: m =, quidi deduco che: Svolgo i passaggi e trovo: a x x > a x x a x < a > x + ) x a < x ) x Ma essedo x =, la prima equazioe diveta: a > + ) La secoda equazioe, ivece diveta: a < + e poiché queste equazioi valgoo per qualsisi valore di, cocludo che, per ogi aturale maggiore di deve essere: + ) < a < + ) + ) ) 8

9 Più grade è, allora, più si ha: a + ) Ma questo sigifica che la base aturale dell espoeziale è proprio il umero di Neper. 9