Il candidato risolva uno dei due problemi e 4 quesiti del questionario. la sua primitiva tale che ( 1) f ( 1)

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1 Sessioe ordiaria all estero caledario australe 005 MINISTERO DELL'ISTRUZIONE, DELL'UNIVERSITÀ E DELLA RICERCA SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Sessioe Ordiaria 005 Caledario australe SECONDA PROVA SCRITTA Tema di Matematica Il cadidato risolva uo dei due problemi e 4 quesiti del questioario. PROBLEMA F. Siao ioltre φ e Ф le curve rappresetative rispettivamete di f e F.. Nel piao riferito ad assi cartesiai, ortogoali e moometrici, si disegio φ e Ф;. si determiio le coordiate dei puti comui a φ e Ф e le equazioi delle tageti alle due curve i tali puti;. si determii l area della regioe fiita di piao delimitata dalle due curve e dalla retta Sia f e sia F la sua primitiva tale ce f 0. PROBLEMA Il triagolo ABC a il lato BC ce è il doppio di CA di lugezza k metre il triagolo rettagolo ABD, co D dalla parte opposta di C rispetto ad AB, a il cateto AB ce è il doppio di BD.. Si esprima l area del quadrilatero ADBC i fuzioe dell agolo ACB;. si determii il valore di ACB cui corrispode il quadrilatero di area massima;. di tale quadrilatero si determii area e perimetro.

2 Sessioe ordiaria all estero caledario australe 005 QUESTIONARIO. Prova ce fra tutti i cilidri iscritti i u coo circolare retto a volume massimo quello la cui altezza è la terza parte di quella del coo.. S idica la somma di termii i progressioe geometrica di primo termie / e ragioe S /. Calcola il lim. Ua piramide a la base quadrata e l altezza uguale a 0cm. Quati piai paralleli alla base dividoo la piramide i due parti i cui volumi soo el rapporto 7:? Quali soo le distaze di tali piai dal vertice della piramide? 4. Cosidera la cubica e illustra le variazioi ce itervegoo el suo grafico per l aggiuta ad di u termie k al variare di k ell isieme dei umeri reali. 5. Due lati di u triagolo misurao a e b. Determia il terzo lato i modo ce l area sia massima. 6. Calcola la derivata della fuzioe arcta arcta. Cosa puoi dire della fuzioe? E costate? Illustra il percé della tua risposta. 7. Spiega come utilizzeresti il teorema di Carot per trovare la distaza tra due puti accessibili ma separati da u ostacolo.. Quado ua fuzioe f è ivertibile? Come si può calcolare la derivata della fuzioe iversa f? Fai u esempio. Durata della prova: 6 ore. No è cosetito lasciare l Istituto prima ce siao trascorse ore dalla dettatura del tema. È cosetito l uso della calcolatrice o programmabile.

3 Sessioe ordiaria all estero caledario australe 005 PROBLEMA Sia f e sia F la sua primitiva tale ce F f. Siao ioltre φ e Ф le curve rappresetative rispettivamete di f e F. Puto Nel piao riferito ad assi cartesiai, ortogoali e moometrici, si disegio φ e Ф; Studiamo la fuzioe f Domiio: R /{} 0 ; Itersezioe asse delle ascisse: o ve e soo; Itersezioi asse delle ordiate: o ve e soo; Evetuali simmetrie: è ua fuzioe pari i quato f f ; Positività: f > 0 R /{} 0 ; Asitoti verticali: lim per cui 0 è asitoto verticale; ± 0 Asitoti orizzotali: lim ± per cui è esistoo asitoto orizzotale; Asitoti obliqui: o ve e soo vista la preseza dell asitoto orizzotale; Cresceza e decresceza: la derivata prima è '. Quidi ' > 0 (,0). I coclusioe la fuzioe f ( ) crescete i (,0) e strettamete decrescete i (, ) 0. è strettamete Cocavità e covessità: la derivata secoda è f '' > 0 (,0) ( 0, ) 4 per cui i ( 0) ( 0, ) presetato:, la fuzioe a cocavità verso l alto. Il grafico è sotto 6

4 Sessioe ordiaria all estero caledario australe 005 F F d d k. Impoedo ( ) f. La fuzioe F asitoto verticale 0 ed asitoto obliquo. Studiamo aaliticamete la fuzioe F Domiio: R /{} 0 ; F si ricava k da cui o è altro ce ua iperbole di e ritroviamo i risultati di cui sopra. F ; Itersezioe asse delle ascisse: 0 ± Itersezioi asse delle ordiate: o ve e soo; Evetuali simmetrie: o è ua fuzioe é pari é dispari; F ; Positività: > 0 < < 0 > Asitoti verticali: lim ± 0 per cui 0 è asitoto verticale; Asitoti orizzotali: lim ± per cui o esistoo asitoti orizzotali; ± Asitoti obliqui: ao equazioe m q co 4

5 Sessioe ordiaria all estero caledario australe 005 m q lim ± lim ± F lim ±, [ F m] lim lim ± ± Per cui l asitoto obliquo a equazioe Cresceza e decresceza: la derivata prima è F' F è strettamete crescete i ( 0) ( 0, ). Quidi la fuzioe,. F per cui i Cocavità e covessità: la derivata secoda è '' > 0 (,0) (,0) la fuzioe a cocavità verso l alto. Il grafico è sotto presetato: Il grafico sottostate mostra i uo stesso riferimeto cartesiao ambo i grafici: 5

6 Sessioe ordiaria all estero caledario australe Puto si determiio le coordiate dei puti comui a φ e Ф e le equazioi delle tageti alle due curve i tali puti; I puti di itersezioe si ricavao risolvedo il sistema seguete:,, 0 ' :, B A F f B A Le tageti i A e B alla curva f ao equazioi: m m B A co, B A m m da cui 4 4 Di seguito vegoo raffigurate le due tageti alla curva f

7 Sessioe ordiaria all estero caledario australe Le tageti i A e B alla curva F ao equazioi: m m B A co, B A m m da cui 4 Di seguito vegoo raffigurate le due tageti alla curva F Puto si determii l area della regioe fiita di piao delimitata dalle due curve e dalla retta 0 L area è raffigurata i verde ella figura sottostate:

8 Sessioe ordiaria all estero caledario australe L area vale: () l l l d d d S

9 Sessioe ordiaria all estero caledario australe 005 PROBLEMA Il triagolo ABC a il lato BC ce è il doppio di CA di lugezza k metre il triagolo rettagolo ABD, co D dalla parte opposta di C rispetto ad AB, a il cateto AB ce è il doppio di BD. Puto Si esprima l area del quadrilatero ADBC i fuzioe dell agolo ACB; C A B D AB Per ipotesi CB k, CA k, BD. Poiamo A CB ˆ. Il triagolo ABC a area S( ABC) AC CB si( ABC ˆ ) k si. Per il teorema di Carot il AB 4k k 4k cos k 5 4cos. L area del triagolo ADB vale lato AB misura AB k S( ADB) AB BD [ 5 4cos ]. Quidi l area del quadrilatero è 4 4 k 5k 5k π S ( ADCB) k si [ 5 4cos ] k [ si cos ] k si Puto si determii il valore di ACB cui corrispode il quadrilatero di area massima; 5 k 4 Sia f k si π 4 L area è massima quado si π π π π e cioè quado 5 e l area massima vale f π 5k 4 4 k k Puto di tale quadrilatero si determii area e perimetro. 5 4 S. L area, come già trovato al puto precedete, vale ( ABCD) k 4 9

10 Sessioe ordiaria all estero caledario australe 005 AB k AB k Il lato BD misura BD 5 metre AD AB BD I coclusioe il perimetro misura p k k ( ABCD) k k. 0

11 Sessioe ordiaria all estero caledario australe 005 QUESTIONARIO Quesito Prova ce fra tutti i cilidri iscritti i u coo circolare retto a volume massimo quello la cui altezza è la terza parte di quella del coo. Si cosideri la figura sottostate raffigurate i sezioe il coo circoscritto al cilidro. C G K F A D H E B Siao r ed il raggio di base e l altezza del coo rispettivamete. Poiamo KH co 0 < <. I triagoli CHB e FEB soo simili per cui CH : HB FE : EB e cioè : r : EB da cui r r EB da cui il raggio di base del cilidro è R HB EB r r. Il volume del KH πr. La massimizzazioe del volume la effettuiamo tramite derivazioe. La derivata prima del volume è: cilidro è V Cilidro ( π HE ) ' V Cilidro V V V ' Cilidro ' Cilidro ' Cilidro r 4 π π per cui r πr ( )( ) πr ( )( ) > 0 0 < < V πr ( )( ) < 0 < < V πr ( )( ) πr 0 Cilidro Cilidro πr '' '' Ioltre V ( ) V < 0 Cilidro massimo per e vale V Cilidro Cilidro 4πr π r 7 strettamete crescete i 0, strettamete decrescete i, per cui il volume del cilidro è.

12 Sessioe ordiaria all estero caledario australe 005 Quesito S idica la somma di termii i progressioe geometrica di primo termie / e ragioe /. Calcola il lim S La somma S di ua progressioe geometrica di primo termie a e ragioe q è: q S a. q S Ora lim lim lim 0. Quesito Ua piramide a la base quadrata e l altezza uguale a 0cm. Quati piai paralleli alla base dividoo la piramide i due parti i cui volumi soo el rapporto 7:? Quali soo le distaze di tali piai dal vertice della piramide? Cosideriamo la figura sottostate raffigurate ua piramide, supposta retta, a base quadrata di lato AB a ed altezza VH 0 cm : Il poligoo A ' B' C' D', otteuto sezioado la piramide retta ABCDV co u piao parallelo alla base, è simile al quadrato di base ABCD ed è quidi ac esso u quadrato di lato idica co H ' il puto i cui l altezza VH icotra la sezioe A ' B' b < a. Si A ' B' C' D'. Per u teorema di geometria euclidea ello spazio è oto ce, se si sezioa ua piramide co u piao parallelo alla base, la sezioe e la base soo poligoi simili e i lati di questi poligoi soo proporzioali alle distaze del loro piao dal vertice V. Dal parallelismo delle due basi discede ce

13 Sessioe ordiaria all estero caledario australe 005 VH ' co 0 < < 0 è altezza della piramide A ' B' C' D' V e ce l altezza del troco di piramide è HH ' 0. Quidi si a: V ( A B' C' D' V ) b a 0 : 0 b : a. Il volume della piramide A ' B' C' D' V è b ' metre il volume del troco di piramide di base ABCD ed altezza ' ( 0 ) è V troco ( 0 )( a b ab) HH R V V troco ( A' B' C' D' V ) 0 0 R 0 0 a b Tale rapporto può essere o a 0 a b b ( 0 )( 0 00) 7 R o , per cui il rapporto tra i volumi è 000 R. Impoedo 7 [ cm] metre impoedo 7 R ricaviamo R ricaviamo [ cm]. I coclusioe i piai paralleli alla 7 base ce dividoo la piramide i due parti i cui volumi soo el rapporto 7: soo due e il vertice della piramide dista da essi 00 [ cm] oppure 700 [ cm]. Quesito 4 Cosidera la cubica e illustra le variazioi ce itervegoo el suo grafico per l aggiuta ad di u termie k al variare di k ell isieme dei umeri reali. La cubica è defiita i R, iterseca l asse delle ascisse e delle ordiate ell uico puto ( 0,0), è positiva i (, ) orizzotale i (,0) 0, è strettamete crescete i tutto R e preseta u flesso a tagete 0 di equazioe 0. Il suo grafico segue:

14 Sessioe ordiaria all estero caledario australe 005 Studiamo come varia il grafico soprastate co l aggiuta di u termie k e separiamo lo studio per. k > 0 ;. k < 0 Se > 0 k la fuzioe diveta k ( k) ce come è defiita i R, iterseca l asse delle ascisse e delle ordiate ell uico puto ( 0,0), è positiva i (, ) crescete i tutto R e preseta u flesso a tagete obliqua i (,0) l aggiuta di u termie k per > 0 tramuta i flesso a tagete obliqua di equazioe 0, è strettamete 0 di equazioe k. Quidi k comporta ce il flesso a tagete orizzotale i (,0) k. Di seguito il grafico per k : 0 si Se < 0 k la fuzioe diveta k k ( k ) preseta tre itersezioi co l asse delle ascisse ei puti ( 0,0),(,0), ( k,0) ordiate i ( 0,0), è positiva i ( k, 0) ( k, ). Tale fuzioe è defiita i R, k ed ua sola co le, è strettamete crescete i k k,, e strettamete decrescete i k k,, preseta u massimo 4

15 Sessioe ordiaria all estero caledario australe 005 relativo i obliqua i (,0) k k k, u miimo relativo i k k, k ed u flesso a tagete 0 di equazioe k k. Quidi l aggiuta di u termie k per k < 0 comporta ce il flesso a tagete orizzotale i ( 0,0) si tramuta i flesso a tagete obliqua di equazioe k k, così come per k > 0, ed ioltre comporta ce la fuzioe preseta due estremi relativi, u massimo relativo i k k k, e u miimo relativo i k k, k, cioè la cubica o è più strettamete crescete i tutto R, caratteristica questa sia di ce di k co k > 0, ma preseta ace ua stretta decresceza i k k,. Di seguito il grafico per k : Quesito 5 Due lati di u triagolo misurao a e b. Determia il terzo lato i modo ce l area sia massima. Sia δ l agolo tra i due lati del triagolo. L area del triagolo vale si absi δ S ed è massima se δ e cioè se δ 90 cioè quado il triagolo è rettagolo. Quidi per il teorema di Pitagora il terzo lato misura c a b. 5

16 Sessioe ordiaria all estero caledario australe 005 Quesito 6 Calcola la derivata della fuzioe arcta arcta. Cosa puoi dire della fuzioe? E costate? Illustra il percé della tua risposta. La fuzioe arcta arcta è defiita per R /{ 0} ' 0. La derivata prima è: Essedo la derivata prima ulla, la fuzioe è costate egli itervalli di esisteza (, 0) e ( 0, ), e il valore della costate può essere trovato valutado la fuzioe i u puto qualsiasi dei due itervalli (, 0) e ( 0, ), ad esempio i ( 0, ) e (,0) arcta ( ) arcta arcta arcta π π π 6 π π π 6 I coclusioe la fuzioe è costate a tratti e vale. I questo caso π se ( 0, ) arcta arcta. π se (, 0) Quesito 7 Spiegare come utilizzare il teorema di Carot per trovare la distaza tra due puti accessibili ma separati da u ostacolo. Cosideriamo la figura seguete raffigurate la geometria del problema: Essedo A e B accessibili da u geerico puto C, è possibile misurarli sperimetalmete e idiciamo co BC a, AC b le relative distaze di B ed A da C; ioltre co u goiometro è 6

17 Sessioe ordiaria all estero caledario australe 005 possibile misurare l agolo γ. Cooscedo due lati e l agolo compreso, tramite il teorema di Carot si misura c a b abcos( γ ). Quesito Quado ua fuzioe f è ivertibile? Come si può calcolare la derivata della fuzioe iversa f? Fai u esempio. Ua fuzioe f è ivertibile i u itervallo [a,b] se è biiettiva, cioè iiettiva e suriettiva. Iiettiva sigifica ce per ogi (, ) del domiio vale f f (detto i parole povere la fuzioe mappa distiti elemeti del domiio i distiti elemeti del codomiio). Suriettiva sigifica ce per ogi elemeto del codomiio esiste (almeo) u elemeto del domiio tale ce f (cioè ogi elemeto del codomiio è immagie di almeo u elemeto del domiio). Praticamete ua fuzioe f è ivertibile i u itervallo [a,b] se strettamete mootoa i [a,b]. I geerale detta g l iversa di f, la derivata di g, per u oto teorema ce recita La derivata di ua fuzioe iversa è uguale al reciproco della derivata della fuzioe diretta (purcé quest ultima derivata o sia ulla) è g'. Si fa otare ce le due derivate ce f ' compaioo ella formula si itedoo calcolate i due puti ce si corrispodoo. Ad esempio la fuzioe f 0 è ivertibile i quato strettamete crescete i tutto R. Riscrivedo la fuzioe f 0 come l ( 0 ) ( ) l0 f e e si ricava ce la sua derivata è ( ) l0 e l0 l0 0 f ' ce risulta essere strettamete positiva i tutto R. f 0 i Calcoliamo la derivata della fuzioe iversa di 0. L iversa di f 0 è g log 0 e a 0 corrispode 0 per cui g ' ( 0 ) f ' ( 0) l derivata di g è g log 0 l0. Cotrolliamo se il valore calcolato è corretto. La ' e g '( 0 ) come già trovato. l0 l