n 2 n n dove a n è il coefficiente di

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1 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Sessioe Ordiaria CORSO DI ORDINAMENTO Questioario Quesito Sia p ( x ) u poliomio di grado. Si dimostri che la sua derivata -esima è p ( x )! a dove a è il coefficiete di a. Soluzioe Dato il poliomio p( x ) ax a x a x... ax a si ha che: () p ( x ) ax ( )ax ( )a x... a ( ) 4 p ( x ) ( )a x ( ) ( )ax ( ) ( )a x... a ( ) 4 5 p ( x ) ( ) ( )a x ( ) ( ) ( )ax ( ) ( ) ( 4 )a x... a ( ) p ( x ) ( ) ( ) ( ) ax ( ) ( ) ( ) a! a. ( ) Esame di Stato - ORD

2 Quesito Siao ABC u triagolo rettagolo i A, r la retta perpedicolare i B al piao del triagolo e P u puto di r distito da B. Si dimostri che i tre triagoli PAB, PBC e PAC soo triagoli rettagoli. Soluzioe Essedo PB perpedicolare al piao di ABC, PB è perpedicolare a qualsiasi retta passate per B apparteete al piao, quidi PB è perpedicolare ad AB e a CB, ciò vuol dire che i triagoli PAB e PBC soo triagoli rettagoli i B. Applicado il Teorema delle tre perpedicolari: Se dal piede di ua retta perpedicolare ad u piao si coduce la perpedicolare ad ua qualuque retta dello stesso piao, quest'ultima retta è perpedicolare al piao delle prime due, si dimostra che il triagolo PAC è retto i A. Ifatti, la retta BA, codotta dal piede B della perpedicolare r al piao, è perpedicolare alla retta AC del piao. Pertato, per il teorema sopraidicato, tale retta AC risulta perpedicolare al piao idividuato dalla retta BA e della retta PB. Ciò implica che il triagolo PAC è rettagolo i A. r P B A 9 C Soluzioe Applicado il Teorema di Pitagora al triagolo PAB si ha: PA AB BP Applicado il Teorema di Pitagora al triagolo PBC si ha: PC BC BP PC BC BP BC PA AB BC AB PA AC PA. Pertato avedo dimostrato che: PC AC PA che il triagolo PAC è rettagolo i A. Esame di Stato - ORD

3 Quesito Sia il grafico di f ( x ) e a? x. Per quale valore di x la retta tagete a i ; f ( x ) x ha pedeza uguale Soluzioe La pedeza della retta tagete i x è data dalla derivata della fuzioe f ( x ) el puto x. La derivata prima vale: I x f ( x ) e. Impoedo che: f I ( x ) si ha: x e ; e x ; x l ; l l x l, 4. Esame di Stato - ORD

4 Quesito 4 Si calcoli: lim 4x se x x Soluzioe lim 4x se x x? Forma idetermiata se lim 4x se lim 4 x x x x x Sostituedo si ottiee: Poedo t si ha che: se x t. x se lim 4 x x x lim 4 t set t 4 4. Esame di Stato - ORD 4

5 Quesito 5 U serbatoio ha la stessa capacità del massimo coo circolare retto di apotema 8 cm. Quale è la capacità i litri del serbatoio? Soluzioe Coviee trasformare l apotema del coo VT 8 cm 8 dm V Poedo l altezza del coo VH x, si ha che il raggio di base è : TH 8 x 64 x Il volume del coo, i fuzioe di x, è: V( x ) TH VH 64 x x cioè: V( x ) 64x x co x 8 I V ( x ) 64 x ; V I ( x ) ; 64 x 64 8 ; x di cui soltato V I ( x ) ; 64 x 8 ; x. 8 x è accettabile. 8 8 H T 8 La fuzioe volume del coo preseta allora u massimo i x Tale volume massimo vale: V( x ) , 7. 7 Pertato il serbatoio ha ua capacità 6,7 litri. Esame di Stato - ORD 5

6 Quesito 6 Si determii il domiio della fuzioe f ( x ) cos x Soluzioe cos x ; k x k co k Z. Esame di Stato - ORD 6

7 Quesito 7 Per quale o quali valori di k la fuzioe è cotiua i x = 4? h( x ) x k x x 4 x x 4 x 4 Soluzioe Affiché la fuzioe h ( x ) sia cotiua i 4 è ecessario e sufficiete che i limiti destro e siistro esistao, siao uguali e coicidao co il valore della fuzioe i x 4. Il valore della fuzioe i x 4 è: f (4 ) Il limite siistro vale: lim h( x ) lim x x 4 x4 x4 Il limite destro vale: lim h( x ) lim k x x 6k 9 x4 x4.. Pertato la fuzioe è cotiua i x 4 se e solo se: 6k 9 ; cioè se 9 k. 6 Esame di Stato - ORD 7

8 Esame di Stato - ORD 8 Quesito 8 Se e,, soo i progressioe aritmetica, qual è il valore di? Soluzioe Applicado la defiizioe di progressioe aritmetica si ha: Applicado la legge delle classi complemetari: k k Dovedo essere, la soluzioe accettabile è 7.

9 Quesito 9 Si provi che o esiste u triagolo ABC co AB, AC e ABC 45. Si provi altresì che se AB, AC e ABC, allora esistoo due triagoli che soddisfao queste codizioi. Soluzioe Per il I Triagolo, applicado il teorema dei sei si ha: AB sec AC se B ; ; se 45 sec sec se 45 da cui: sec se 45 che è u equazioe impossibile. 4,6 ; Per il II Triagolo, applicado il teorema dei sei si ha: AB sec AC se B ; se sec sec se da cui: sec se che ammette due soluzioi 4, 75 x 48,59 x,4 ; Esame di Stato - ORD 9

10 Quesito Si cosideri la regioe R delimitata da y x, dall asse x e dalla retta x 4 e si calcoli il volume del solido che essa geera ruotado di u giro completo itoro all asse y. Soluzioe Il volume del solido geerato da R ella rotazioe itoro all asse y è dato dalla differeza fra il volume del cilidro co raggio di base 4 e altezza il volume del solido otteuto facedo ruotare itoro all asse y il grafico di x y co y,. V r h b a 5 5 y 5 4 f ( y ) dx 4 y dx y dx Esame di Stato - ORD