Trasmissione del calore con applicazioni numeriche: informatica applicata

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1 Corsi di Laurea i Igegeria Meccaica Trasmissioe del calore co applicazioi umerice: iformatica applicata a.a. 5/6 Teoria Parte IV Ig. Nicola Forgioe Dipartimeto di Igegeria Civile e Idustriale icola.forgioe@ig.uipi.it; tel

2 Geeralità Sia data l equazioe differeziale ordiaria del primo ordie co f defiita e cotiua, co la propria derivata prima cotiua e limitata, i u isieme x a, b, y. Cosideriamo quidi il problema ai valori iiziali (IVP) (o di Caucy) dato da: y f x, y ya ya La soluzioe umerica di questo problema differeziale cosiste ell idetificare ua successioe di valori y i, (i = 0,, N) ce approssimio i valori ce la fuzioe y(x) assume i u isieme di puti x i, (i = 0,, N) ce, ad esempio, possoo costituire ua progressioe aritmetica x i = a + i, (i = 0,, N), i cui è detto passo. I geerale, il metodo umerico cosiste el ricavare, dati k valori iiziali della fuzioe, y 0, y,, y k-, i restati N-k+ tramite relazioi del tipo: La formula algebrica precedete defiisce u metodo a k passi, poicé è ecessario utilizzare k valori calcolati precedetemete per otteere y i+k. y f x, y,,,,, 0,, y F x y y y i N k ik f ik i i ik ( )

3 Geeralità Sulla base della equazioe ( ), è ecessario otare ce: la fuzioe F f idetifica il metodo umerico e dipede dalla fuzioe f(x,y); se a secodo membro o compare y i+k tra gli argometi, il metodo si dice esplicito, percé è possibile calcolare y i+k esplicitamete sulla base di valori già oti della y; altrimeti il metodo viee detto implicito; l errore di trocameto accumulato al passo i+k è dato da: ik ik ik i cui y(x i+k ) è il valore esatto della fuzioe y i x i+k ; l errore di trocameto accumulato è composto da due cotributi: l errore di trocameto locale, dovuto al fatto ce y i+k è ricavato tramite la forma discretizzata ( ) azicé tramite l equazioe differeziale origiaria; l errore trasmesso, derivate dagli errori preseti ei valori y i,, y i+k- ; l errore totale, commesso al passo i-esimo, cotiee, oltre ai cotributi citati, ace quello dell arrotodameto derivate dalla limitata precisioe ella rappresetazioe delle cifre sigificative dei umeri otteuti: Ei Ui y xi i cui i valori U i soo quelli della y ce risultao effettivamete dal calcolo umerico ed E i è l errore totale. e y y x

4 Geeralità Se ella ( ) facciamo uso dei valori esatti della y azicé delle loro approssimazioi, si a: y x F, x, y x, y x,, y x per cui si può defiire il residuo R(, x i+k ) i modo ce Ua proprietà importate ce deve essere posseduta dal metodo umerico è la cosisteza; ce si traduce el riciedere ce lim R, xik 0 0 La cosisteza è quidi ua proprietà formale del metodo umerico, il quale riciede ce le equazioi algebrice ce lo defiiscoo tedao alle equazioi differeziali origiarie el limite di piccoli icremeti. L ordie di accuratezza del metodo si ottiee dalla relazioe ik f ik i i ik,,,,,, y x F x y x y x y x R x ik f ik i i ik ik R x p, ik O ed i questo caso si dice ce il metodo è di ordie p. Nella precedete O( p ) (= ordie di p ) rappreseta ua fuzioe del tipo C p co C costate, evetualmete coteete ace addedi di ordie superiore.

5 Geeralità La covergeza del metodo è ivece ua proprietà della sua soluzioe. Il metodo è covergete se i i i 0 0 lime lim y y x 0 i 0,, N cioè se el limite di piccoli icremeti la soluzioe del metodo umerico tede alla soluzioe esatta. La cosisteza, sebbee sia u requisito importate, o garatisce la covergeza. I alcui casi è ecessario assicurarsi ce il metodo sia stabile, cioè ce o amplifici le perturbazioi ei dati iiziali e accumulate el calcolo. Per problemi lieari è possibile dimostrare ce dato uo scema cosistete, la stabilità è codizioe ecessaria e sufficiete per la covergeza (teorema di Lax). Questo teorema vale ace per le equazioi differeziali a derivate parziali.

6 Metodo di Eulero Il metodo di Eulero è uo dei più semplici metodi spesso adottati per l itegrazioe delle equazioi differeziali e, come abbiamo visto, è defiito da: Cosiderado ce y y f x y i i i, i x e, e facedo uso dell espasioe i serie di Taylor co il resto di Lagrage, si a: f x y y Si osserva ce 2 y x y x y x y, x x 2 i i i i i 2 R xi y R xi y 2 2,, Come si può otare dalla figura, il metodo di Eulero assume ce il valore della derivata della fuzioe sia quello calcolato all iizio del passo di avazameto. Questa scelta può essere migliorata assumedo per il valore della derivata ua media tra i valori all iizio e alla fie del passo (metodo di Eulero modificato). a ordie di accuratezza pari ad y Metodo di Eulero x i x i+ Soluzioe vera x

7 Metodo di Eulero modificato (o di Heu) Il metodo di Eulero modificato, ce può essere espresso ella forma predittore e correttore, ce è spesso usata ei metodi umerici per le equazioi differeziali: predittore correttore y y f x y (0) i i i, i Il passo del correttore può essere ripetuto iterativamete fio a raggiugere covergeza. Per il metodo di Eulero modificato si può dimostrare ce: (0) i, i i, i f x y f x y yi yi R xi y R xi y 2 2,, Il metodo di Eulero modificato, avedo ordie di accuratezza 2, forisce ua maggiore accuratezza rispetto al metodo di Eulero (ce a ordie di accuratezza ), ma a prezzo di u maggiore sforzo computazioale.

8 Metodo di Ruge-Kutta Questi metodi soo basati sull idea di utilizzare medie pesate delle variazioi icremetali di y sull itervallo x, i modo da fare sì ce la soluzioe otteuta sia i accordo co l espasioe i serie di Taylor fio ad u ordie prescelto, seza riciedere però il calcolo delle derivate di ordie maggiore al primo. I questo modo si possoo trovare metodi di Ruge-Kutta del secodo, terzo, quarto ordie e così via. Tutti gli scemi possoo essere ricodotti alla formula geerale: y i y f i xi, yi, dove f(x i,y i,) è detta fuzioe icremeto ce può essere iterpretata come pedeza media all itero dell itervallo [x i, x i+ ]. La fuzioe icremeto può essere scritta ella forma geerale (RK di ordie m) f a k a2 k2... am km

9 Metodo di Ruge-Kutta Uo degli scemi di R-K più utilizzati è quello del quarto ordie (classico) ce si basa sulle segueti relazioi: yi yi k 2k2 2k3 k4 6 i cui: k f x, y i 4 i i 3 k2 f xi, yi k 2 2 k3 f xi, yi k2 2 2 k f x, y k i Il metodo di R-K del quarto ordie forisce risultati esatti se la soluzioe è u poliomio del quarto ordie.

10 Equazioi differeziali ordiarie del primo ordie Metodi espliciti Metodi impliciti Metodi a k passi Metodi ad passo Metodo di Eulero Metodo di Eulero modificato (o di Heu) Metodo di Ruge-Kutta del 4 ord.

11 Soluzioe di sistemi di equazioi del primo ordie Molti problemi di igegeria riciedoo la risoluzioe di u sistema di equazioi differeziali del primo ordie, ivece ce la soluzioe di ua sigola equazioe. U sistema di equazioi può essere espresso ella forma geerica: dy dx dy2 dx... dy dx f x, y, y,..., y 2 f x, y, y,..., y 2 2 f x, y, y,..., y Cooscedo le codizioi iiziali i corrispodeza del valore iiziale di x, u sistema di questo geere può essere risolto co ua qualuque delle tecice viste per sigole equazioi del primo ordie. Per esempio co il metodo di Eulero, si a: 2 y, i y, i f x, y, i, y2, i,..., y, i y2, i y2, i f2 x, y, i, y2, i,..., y, i... y, i y, i f x, y, i, y2, i,..., y, i

12 Soluzioe di equazioi di ordie superiore al primo Ua tecica spesso utilizzata per risolvere equazioi di ordie superiore al primo cosiste el trasformarle i sistemi di equazioi del primo ordie, tramite opportue defiizioi. Nel caso, ad es., di equazioe diffreziale di ordie, dall equazioe poedo d y dx si ottiee il sistema di equazioi differeziali del primo ordie f x, y, y,, y 2 dy d y d y y y y y y dx dx dx dy y2 dx dy2 y3 dx... dy y dx dy f x, y, y2,..., y dx