Corso di Teoria dei Circuiti 1 - II modulo

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1 Uiversità di Roma La Sapieza - Sede di Latia - Laurea i Igegeria dell Iformazioe Corso di Teoria dei Circuiti 1 - II modulo Docete: Fabio Massimo Frattale Mascioli : Esempi di Sequeze e di Circuiti TD Sequeze otevoli, periodicità delle sequeze, filtro i media mobile, simulatore TD di circuito aalogico. 1

2 SEGNALI A TEMPO DISCRETO: SEQUENZE I segali a tempo-discreto (TD) soo matematicamete rappresetati co ua sequeza di umeri: x[] oppure X = {x[]}, - < < ( itero). Nel caso i cui la sequeza derivi dal campioameto di u segale aalogico x a (t) si ha : x[] = x a (T) co T periodo di campioameto 2

3 Rappresetazioe grafica di u segale TD (sequeza umerica x[]): x[] X[0] X[-1] X[+1] X[-2] X[+2] X[+3] X[-3] X[+4] X[-4] X[+5] X[-5] X[+6] X[+7] 3

4 SEQUENZE NOTEVOLI: 1. Impulso uitario [] [] = 1 = 0 0 altrove Proprietà del campioameto dell impulso uitario: Ua sequeza arbitraria può essere rappresetata come ua somma di impulsi ritardati e scalati 4

5 Esempio: x[] 2 x[-3] = -2; x[-2] = -1; x[-1] = 1; x[0] = 2; x[1] = -1; x[2] = 2; x[ ] 2 [ 3] [ 2] [ 1] 2 [ ] [ 1] 2 [ 2] I geerale: x[ ] x[ k] [ k] k 5

6 2. Gradio uitario u[] u[] = < 0 Proprietà: k = - k u[ ] = ; (somme accumulate) I alterativa, u[] può essere espresso come somma di impulsi ritardati: 1 2 u... 6

7 Si può verificare che valgoo le due relazioi segueti: u k k0 u u 1 e quidi è possibile defiire famiglie di sequeze mediate le operazioi di somme accumulate e di differeza fiita, così come avviee per i segali a tempo cotiuo tramite le operazioi di itegrazioe e di derivazioe. 7

8 3. Rampa uitaria r k u k 1 u r r r[]

9 4. Espoeziale reale x A A, reali Le sequeze espoeziali soo fodametali ello studio dei sistemi lieari (soluz. equaz. diff.). Adameti possibili: x[] x[] -1 < < 0 A 0 < < 1 A 9

10 x[] x[] = 1 = -1 x[] x[] >1 < -1 10

11 5. Espoeziale complesso x A A, complessi A j e j A e j Formula di Eulero: e cos j se x A j( ) e A cos j A si f pulsazioe (rad/campioe) 2 fase iiziale frequeza x[] ha u iviluppo idetico all adameto dell espoeziale reale decrescete costate crescete 11

12 Casi particolari: = 1 (espoeziale complesso puro): j Ae coseo reale: cos e e 2 j j seo reale: se e j j e 2 j 12

13 0 2 Proprietà 1 dell esp. complesso (idistiguibilità i frequeza): Sostituedo al posto di 0 si ottiee ua sequeza idetica a quella di parteza : =1 j 2 j j2 0 0 e e e Questa proprietà vale per tutte le pulsazioi 0 2r, co r itero. Ciò sigifica che ci si può limitare a cosiderare per ( e quidi f) u itervallo di lughezza 2 (1), per esempio: oppure f 1 oppure 0,5 f 0,5 (valore pricipale) Si può dire che le alte frequeze si hao per itoro a, le basse per itoro a 0 e 2. 13

14 0 0 = 0, 2 0 = /3, 7/3 0 = /6, 13/6 0 =, 3 Grafici della sequeza cos( 0 ) per diversi valori di 0 14

15 PERIODICITÀ DI UNA SEQUENZA La sequeza x[] si dice periodica di periodo N se risulta: x x N per qualuque valore di N Periodo Importate è il caso dell espoeziale complesso, per il quale vale la seguete proprietà. 15

16 Proprietà 2 dell espoeziale complesso (periodicità el TD): No tutti gli espoeziali complessi soo periodici Secodo la defiizioe di sequeza periodica, deve ifatti risultare: j N j 2 k e e N 2k N cioè solo se i valori di 0 e k soo tali che N risulta itero, allora la sequeza espoeziale è periodica! Siccome la sequeza siusoidale è u caso particolare di quella espoeziale complessa, e deriva che ua sequeza siusoidale può o essere periodica! 16

17 ESEMPI DI CIRCUITI-ALGORITMI TD 1. Filtro i Media Mobile (Movig Average, MA) Effettua ua media su ua fiestra che scorre sulla sequeza di igresso x[] ( slidig widow ): x[] X = {0, 1, 6, 3, 4, 5, 6, 6, 2, 4, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 9, 5, 4, 3, 2, 1, 0} 17

18 Algoritmo: y [ ] = 0, 1, x[ ] x[ 1] x N 1 N N lughezza della fiestra N.B.: i questo caso il campioe dell uscita all istate dipede dai valori successivi dell igresso (circuito ocausale). 18

19 Circuito TD per la media mobile: x[+n-1] x[+n-2] D D 1/N y[] x[+1] x[] D y [ ] x[ ] x[ 1] x N 1 N 19

20 Esempio di calcolo per N = 3: y ; y1 ; y2 ; y ; 3 y ; y ; y [ ] Il filtro i media mobile esegue ua regolarizzazioe (o smoothig ) sui dati. 20

21 2. Filtro i Media Mobile Pesata La media effettuata è pesata co dei coefficieti opportui Algoritmo: y h x h x h N x N 0,1,... hk Coefficieti della media pesata 21

22 Circuito TD per la media mobile pesata: x[+n-1] x[+n-2] h[n-1] h[n-2] y x h x h... x[+1] h[0] x[] 22

23 I geere i coefficieti h[k] soo tali che: N 1 k 0 hk 1 3/9 h[] Es.: 1 1,2,3,2,1 9 hk 2/9 1/

24 SIMULAZIONE (O EMULAZIONE) DI UN CIRCUITO ANALOGICO (TC) TRAMITE UN CIRCUITO TD Circuito RL: e(t) + - L i(t) R Soluzioe del Circuito TC: di L Ri t e t dt i 0 i0 I geerale (soluzioe el TC = calcolo eq. differeziale): dy A By t x t dt y 0 y0 t 0 A B L R x(t)=e(t) y(t)=i(t) 24

25 L equazioe differeziale può essere risolta umericamete approssimado la derivata co il rapporto icremetale (è ciò che si fa ei programmi di aalisi automatica come SPICE): dy dt Ne segue: y t y t y t T Ay t y t T BTy t Tx t T ; Poedo t = T (cioè campioado): A BT y T Ay T T Tx T ; T Periodo di campioameto 25

26 Si cosidera ora il circuito TD co memoria (è presete u ritardo) che produce la sequeza y[]=y(t): Poedo: A BT y Ay 1 Tx a A T 1; a ; b ABT ABT l equazioe si può riscrivere el modo seguete: y b x a y Circuito TD: x[] y[] b 0 a 1 T Ritardo uitario 26

27 La soluzioe dell equazioe differeziale, suppoedo e(t) = E (costate) e i(0)=0, è: i t E R 1 e R t L e rappreseta aturalmete il processo di carica di u iduttore. i(t) E R t 27

28 La soluzioe aalitica della equazioe alle differeze: y b x a y si può otteere calcolado successivamete (calcolo ricorsivo) i valori di y[] per =1,2,..., suppoedo x[]=e e y[0]=0: T 1: y1 b0 E E L RT T L T 2 : y2 E E L RT L RT L RT L T 1 E L RT L RT 28

29 3:... T L L T y3 E 1 E L RT L RT L RT L RT L L T 1 1 E L RT L RT L RT 2 L L T 1 E L RT L RT L RT La soluzioe geerale ha quidi la seguete espressioe: y 2 1 L L L T 1... L RT L RT L RT L RT E Somma di -1 termii i progressioe geometrica di ragioe L/(L+RT) 29

30 che si può scrivere ache come: L 1 L RT T E 1 y[ ] E 1 L L RT R RT 1 1 L RT L Se si fa l ipotesi che RT<< L (cioè che T<< L/R, il che è plausibile), si può approssimare l espoeziale e RT/L mediate i primi due termii dello sviluppo i serie di Taylor: e RT L 1 RT L 30

31 I tal caso si ha: R E T y e i T R L 1 cioè l uscita del circuito TD (simulatore) è ua approssimazioe dell uscita campioata del circuito TC. E R... 31

32 Osservazioi: All equazioe differeziale el TC (el caso presete del primo ordie) corrispode u equazioe alle differeze el TD, dovuta al calcolo discreto della derivata. Per il calcolo discreto della derivata si possoo usare diversi metodi umerici, del primo ordie (Eulero diretto e iverso, trapezoidale) o di ordii superiori, ad oguo dei quali si associa u diverso equivalete circuitale. L errore d approssimazioe che si itroduce ievitabilmete ella simulazioe dipede dal metodo adottato per il calcolo umerico della derivata, dal periodo di campioameto T scelto e dalla struttura del circuito aalogico da simulare. Sussiste ua relazioe duale tra la soluzioe ricorsiva dell equazioe alle differeze (algoritmo) ed il fuzioameto del simulatore (circuito TD). 32