Calcolo Combinatorio (vers. 1/10/2014)

Transcript

1 Calcolo Combiatorio (vers. 1/10/2014 Daiela De Caditiis modulo CdP di teoria dei segali Igegeria dell Iformazioe - sede di Latia, CALCOLO COMBINATORIO Pricipio Fodametale del Calcolo Combiatorio: Si realizzio r esperimeti. Si suppoga che il primo esperimeto abbia 1 esiti possibili, che per oguo di questi il secodo esperimeto abbia 2 esiti possibili, che per oguo degli esiti dei primi due esperimeti il terzo esperimeto abbia 3 esiti possibili, ecc. Se sequeze disitite di esiti degli r esperimeti producoo esiti fiali distiti, allora gli esperimti hao i tutto 1 2 r esiti possibili. Es. Se ell armadio ci soo 5 giacche e 6 paia di pataloi, posso scegliere u vestito (giacca+pataloe i 5 6 = 30 modi diversi. Di seguito elechiamo u pó di regole per il calcolo delle disposizioi - combiazioi di u isieme fiito di oggetti. Importate é avere be presete la differeza tra disposizioi e combiazioi. Nelle disposizioi ha importaza l ordie co cui si presetao gli oggetti e duque ua disposizioe di k oggetti é ua k-pla di valori (v 1, v 2,..., v k, metre elle combiazioi l ordie o ha importaza e duque ua combiazioe di k oggetti é u isieme di k oggetti {v 1, v 2,..., v k }. Disposizioi semplici di oggetti su k posti,(d,k co k, Soo tutti i modi possibili di disporre (cioe di creare disposizioi diverse di oggeti distiti su k posti. Poiché per il primo posto ho scelte diverse, per il secodo posto ho 1 scelte diverse,..., per il k-esimo posto ho k + 1 scelte diverse, il totale delle possibili disposizioi di oggetti distiti su k posti é dato da D,k = ( 1( 2 ( k + 1 =! ( k!. (1 Quado k = allora le disposizioi di oggetti distiti su posti soo dette permutazioi. Dalla formula (1 si ricava che le permutazioi di oggetti soo apputo! = ( 1(

2 Esempio Quate soo le sequeze umeriche di tre cifre distite scelte i {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}? La risposta é D 10,3 = = 10! 7! = 720 Esempio I quati modi diversi é possibile aagrammare la parola ROMA? La risposta é i 4!=24 modi diversi che soo apputo le possibili permutazioi di 4 oggetti/lettere distite su 4 posti. Combiazioi semplici di oggetti distiti su k posti, (C,k co k Soo tutti i modi possibili di combiare (cioe di creare combiazioi diverse, sottisiemi diversi di umerositá k a partire da oggeti distiti. Poiché per ciascua disposizioe delle D,k =! ( k! possibili si possoo permutare i k oggetti che la compogoo i k! modi diversi otteedo la stessa combiazioe/isieme/gruppo di k oggetti, per cotare le possibili combiazioi di oggetti distiti su k posti é sufficiete dividere il umero delle disposizioi per k!. Quello che si ottiee é oto come coefficiete biomiale C,k = valgoo le segueti proprietá: i 0! = 1 ii ( 0 = 1 iii ( = 1! k!( k! = iv ( 1 = v ( ( k = k vi ( ( k = 1 ( k + 1 k 1 triagolo di tartaglia (. (2 k Esempio I quati modi diversi si possoo dividere 20 bambii i due squadre da 10? Nella composizioe della squadra o ha importaza l ordie co cui si elecao i membri e duque la risposta é il umero di combiazioi/sottogruppi di umerositá 10 che si possoo fare a partire da 20 oggetti/bambii distiti: ( Esempio I quati modi diversi si possoo dividere 20 bambii i due squadre ua composta da 5 bambii e l altra composta da 15 bambii? La risposta é il umero di combiazioi/sottogruppi( di umerositá 5 che si possoo fare a partire da 20 oggetti/bambii distiti: Chiaramete per ogi squadra di 5 bambii automaticamete rimae fissata l altra squadra di 15 bambii. La risposta ifatti poteva ache essere data co ( ( =

3 Nello schema i cui si soo cotate le possibili disposizioi su k posti si soo cotati i possibili modi di estrarre i sequeza k pallie, metre egli schemi i cui si soo cotate le possibili combiazioi su k posti si soo cotati i possibili modi di estrarre i blocco k pallie dall ura. A completameto dello schema di estrazioi da ure diamo il umero di disposizioi di oggetti distiti su k posti co ripetizioi. Il umero delle possibili disposizioi di oggetti distiti su k posti rappreseta il umero di possibili diverse sequeze di k estrazioi a partire da u ura composta da pallie diverse quado dopo ogi estrazioe la pallia viee riserita ell ura. Il umero delle disposizoi di oggetti distiti su k posti co ripetizioe é ˆD,k = k ció é facilmete dimostrato pesado che ad ogi estrazioe si hao sempre le possibilitá diverse di estrarre ua pallia. ESERCIZI: 1 Quati soo tutti i possibili sottisiemi di Ω = {1, 2,, }, (compreso l isieme vuoto e Ω? I altre parole qual é la cardialitá dell isieme delle parti di Ω, P(Ω? Soluzioe 1: il umero totale dei sottoisiemi é la somma di quelli co 0 elemeti (C,0 = ( 0, piú quelli co 1 elemeto (C,1 = ( 1, piú quelli co 2 (C,2 = ( ( 2 e cosí via. Dalla formula del biomio di Newto segue che ( 0 + ( = (1 + 1 = 2. Oppure u modo alterativo di risolvere questo esercizio é il sguete: idichiamo co 0 oppure 1 l asseza oppure la preseza di ciscu elemeto di Ω i u geerico suo sottisieme, per cui, per esempio, l isieme vuoto é costitutito dalla sequeza di tutti zeri ecc., allora il umero dei possibili sottisiemi di Ω é dato dal umero di disposizioi di 2 oggetti (0 e 1 su posti co ripetizioe e cioé apputo ˆD 2, = 2. 2 I quati modi 5 buste umerate possoo essere assegate a 7 persoe, se ogua di esse riceve ua busta? Soluzioe 2: il umero di modi diversi é dato dalle disposizioi di 7 oggetti distiti (le persoe su 5 posti: D 7,5 = 7! (7 5!. Ifatti ho 7 scelte per la prima busta/posto, 6 scelte per la secoda busta/posto, ecc. 3 I quati modi 5 buste umerate possoo essere assegate a 7 persoe? Soluzioe 3: o essedo specificato altrimeti ogi persoa puó ricevere piú di ua busta e duque il umero dei modi diversi é dato dalle Disposizioi di 7 oggetti distiti su 5 posti co ripetizioe, ˆD7,5 =

4 4 I quati modi 5 buste idistiguibili possoo essere assegate a 7 persoe, se ogua di esse riceve ua busta? Soluzioe 4: I modi diversi equivalgoo ai modi diversi che ho di estrarre combiazioi di 5 pallie/persoe a partire da u ura di 7 pallie/persoe: C 7,5 = ( I quati modi diversi posso aagrammare la parola FARFALLA? Soluzioe 5: Poiché tra le 8 lettere/oggetti che compogoo la parola, ci 8! soo 3 A, 2 F, 2 L e ua R, i possibili aagrammi della parola data soo 3!2!2!, dove 8! soo tutte le permutazioi di ua sequeza di 8 oggetti, ma queste permutazioi o soo tutte distite poiché tra queste quelle che otteiamo permutato le 3 A tra di loro soo idistiguibili, e cosi quelle che otteiamo permutado tra di loro le 2 F soo idistiguibili e cosi pure quelle che otteiamo permutado tra di loro le 2 L. Ecco spiegato il risultato. 6 Quati meú completi diversi puó servire u ristorate che i u gioro dispoga di 4 primi; 5 secodi; 2 tipi di dolce? Soluzioe 6 se le scelte soo idipedeti/svicolate allora possiamo scegliere u primo i 4 modi diversi, u secodo i 5 modi diversi e u dolce i 2 modi diversi e duque (per il pricipio del calcolo combiatorio avremo = 40meu diversi se le scelte o fossero state svicolate, besi la scelta di u tipo di secodo fosse dipesa dalla scelta del primo piatto, allora il coto sarebbe stato diverso. 7 Ua particella é posizioata i u puto di ua retta e viee spostata di ua lughezza uitaria a destra o a siistra i dipedeza del risultato del lacio di ua moeta (testa si sposta di +1 (croce si sposta di 1. Calcolare il umero di traiettorie distite che portao la particella ella posizioe k dopo laci. Soluzioe 7 Idichiamo co T il umero di teste uscite e co C il umero di croci uscite. Per trovarsi dopo passi ella posizioe k la particella deve aver compiuto k passi a destra i pi di quelli che ha compiuto a siistra e duque deve risultare T C = k, ioltre sappiamo che il umero totale di passi é pari ad e duque deve ache valere il vicolo T + C =. Risolvedo il sistema lieare { T C = k T + C = { T = ( + k/2 C = ( k/2 segue che il umero di traiettorie distite che portao la particella dopo pasi ella posizioe k é dato dal umero di possibili disposizioi di oggeti su 4

5 posti (permutazioi di di cui T = ( + k/2 uguali tra loro e i restati C = ( k/2 uguali tra loro e duque vale (! C! T! = C T 8 Il codice ASCII é u codice biario a 8 bit ed é costituito da ua sequeza di 0 e di 1. Quati simboli diversi si possoo rappresetare co il codice ASCII? Soluzioe 8 Il umero di simboli diversi rappresetabili co il codice ASCII é dato dal umero di disposizioi di 2 oggetti distiti su 8 posti co ripetizioe ˆD 2,8 = Si dispoe di libri di matematica e di m libri di fisica. I quati modi diversi posso disporli su uo scaffale sistemadoli peró sempre cotigui per materia? Soluzioe 9 Gli libri di matematica possoo essere disposti i! modi diversi ed aalogamete gli m libri di fisica possoo essere dipsosti i m! modi diversi. Per oguma delle!m! possibili disposizioi ho ua doppia scelta quella di dipsorre prima quelli di matematica e poi quelli di fisica oppure viceversa e duque i totale avró 2! m! modi diversi. 10 (Ross, cap1,.15 Ua classe di tago argetio ha 22 studeti di cui 10 doe e 12 uomii. I quati modi si possoo formare 5 coppie? Soluzioe 10 Se avessimo solo 5 doe e 5 uomii potremmo creare u set di 5 coppie diverse i = 5! modi diversi perché la prima doa ha 5 possibilitá, la secoda e ha 4 e cosi via... Dalla classe di studeti peró abbiamo ( ( modi diversi di scegliere 5 uomii e 5 doe e duque i totale avremo ( ( ! modi di scegliere 5 coppie. Da otare che u set di 5 coppie é diverso da u altro set di 5 coppie ache se solo ua delle coppie o coicide. 11 (Ross, cap1,.28 I quati modi si possoo assegare 8 uovi maestri a 4 scuole? rispodere alla stessa domada se ogi scuola deve ricevere 2 maestri. Soluzioe 11 Idichiamo co A, B, C, e D i omi delle 4 scuole. No essedoci alcu vicolo, ogi maestro puó essere assegato ad ua qualuque delle 4 scuole idipedetemete dagli altri. Duque il umero di modi possibili é il umero di disposizioi di 4 oggetti/pallie su 8 posti co rimpiazzameto (pesado che i maestri siao 8 posti da riempire co ua qualuque delle biglie co simboli A, B, C e D e duque ˆD 4,8 =