Dimostrazione della Formula per la determinazione del numero di divisori-test di primalità, di Giorgio Lamberti

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1 Gorgo Lambert Pag. Dmostrazoe della Formula per la determazoe del umero d dvsor-test d prmaltà, d Gorgo Lambert Eugeo Amtrao aveva proposto l'dea d ua formula per calcolare l umero d dvsor d u umero, da cu s poteva rcavare u test d prmaltà. Tutto cò era basato su ua "sere quozete", defta el seguete modo:, dove detfcava la parte tera della dvsoe. Ad esempo, quest soo gl svlupp delle prme 0 sere quozet: 0 0

2 e dchamo co formula: D. D l umero d dvsor d, l umero d dvsor è calcolable medate la Il test d prmaltà dscede da questa formula, quato u umero che possede solo due dvsor (che soo e sè stesso) è ovvamete prmo (se D allora è prmo). Ad esempo, provamo l test d prmaltà sul umero : D ; percò è u umero prmo. Ife, Amtrao cocludeva l'artcolo dcedo che la valdtà della formula era ua cogettura, quato o era stata formulata ua dmostrazoe. Questa che segue è duque la ma dmostrazoe (Gorgo Lambert): Per og valore d, l umero d term delle sere aumeta sempre co uo scarto d, per esempo, partedo da essere dvsore per =, procededo a dvsor per =, po dvsor per = (qud, lo scarto, ad esempo, d quest'ultm due è, apputo, -= ): d cosegueza, l umero d term d ua sere per u qualsas valore d è dato dal valore d stesso. Il prmo terme d cascua sere è sempre l valore d. Il umero d d cascua sere è dato dalla dffereza fra l prmo terme della sere e l secodo ; per esempo: elle sere l umero d (che s trovao coda alla sere) è dato da -, dove è l prmo terme della sere e è l secodo terme della sere: effett, ella sere compaoo complessvamete due ; ella sere l umero d (che s trovao coda alla sere) è dato da -, dove è l prmo terme della sere e è l secodo terme della sere. Nella sere l umero d (che s trovao sempre coda alla sere) è dato da -0, dove è l prmo terme della sere e 0 è l secodo terme della sere ( quato o c'è u secodo terme, e qud lo s assume come uguale a 0 ); effett, coda alla sere c'è u solo, che altro o è se o propro l'uco che compare ella sere. Nella sere l umero d (che s trovao sempre coda alla sere) è dato da -, dove è l prmo terme della sere e è l secodo terme della sere: effett, fra umer della sere compare complessvamete u solo. Gorgo Lambert Pag.

3 Guardado le cose da u altro puto d vsta, tutto cò appea detto sgfca che, cosderado sol valor d par, l umero d che compaoo coda a cascua sere soo dat dalla formula : se questo è l totale degl che compaoo coda a cascua sere, a questo valore adrà agguto l valore d ; l quale valore d è ua volta par e ua volta dspar (quado sarà par varrà apputo, quado sarà dspar varrà d cosegueza - ): l umero d coda alle sere e è uguale; og volta che camba l valore par d, che aumeta d utà, l umero d che compaoo coda alle uove sere va aumetato d utà: qud l umero d che compaoo coda alle sere e dffersce d utà, che, sommata all'altra utà per la quale dfferscoo sempre queste due sere cosecutve per va del loro prmo terme, determa ua dffereza sulla sommatora de term che mmo è utà. Per esempo: cosdero la sere, co valore d = e qud par; l umero d che compaoo coda alla sere è dato da (c soo qud ++ coda alla sere ); l valore d dspar assocato a = è +=+= : fatt, la sere preseta u umero d coda alla sere uguale a quattro ( +++ ). Qud, la coppa d sere ( ; ) è ua delle coppe caratterzzate dal dfferre, per l rsultato della somma de loro term, d almeo utà. La prma coppa d sere da costrure secodo questo metodo appea llustrato è la coppa ( ; ); la secoda è la coppa ( ; ); e così va. e la dffereza tra le sere della coppa ( ; ) è sempre uguale o al pù maggore d, allora la dffereza stessa s materrà uguale a (cofermado percò la prmaltà del umero + ) solo se umer della sere che o soo è l prmo terme della sere è gl ultm term della sere, coè quell ugual a, s mategoo ugual sa questa sere che ella sere. Ad esempo, cosderado le sere e, queste due sere hao, rspettvamete, e come prmo terme e ++ e +++ come ultm term: qud, dato che gl altr term che o ho acora cosderato (s potrebbero chamare term "cetral") soo ugual sa ua che ell'altra sere, essedo etrambe +, allora la dffereza tra la somma de term d e la somma d quell d s materrà sul valore, essedo determata dal prmo e dagl ultm term d etrambe. Qud += è u umero prmo. Ora, cosderamo l umero += : questo è l prmo umero dspar che s cotra che o è prmo; rflettamo: perchè ma o è prmo? Perchè, come s è gà detto, o ha term "cetral" d cu parlavo pù sopra ugual a term cetral d = ; ma perchè ma è vero questo? Questo fatto dpede da dvsor che dvdoo esattamete += resttuedo almeo ua parte de term "cetral" d. Ifatt, sccome per calcolare term "cetral" s dvde l valore d + o d, rspettvamete, per umer Natural compres tra e l trocameto del rsultato d e, e del rsultato della dvsoe d e + per quest umer Natural s cosdera solo la parte tera, se così facedo ottee d rsultat, e d soo l umero de dvsor (esatt) d, allora + o sarà dvsble per essuo d que umer Natural, ma comuque otterrà gl stess d rsultat. Per esempo: se =, per calcolare term "cetral" d s dvde per e po per ; così facedo ottee d= rsultat, e soo propro dvsor (esatt) d : che soo propro e. Allora, += o sarà ma Gorgo Lambert Pag.

4 dvsble esattamete è per è per ; ma comuque, dvdedo prma per e po per e cosderado del rsultato solo la parte tera (trocameto), + ottee ach'esso d= rsultat, che soo e. chema: dv ={, } dv ={}. Qud, dvsor (esatt) d o possoo essere dvsor esatt ache d + : vceversa, vale che dvsor esatt d + o potrao ma essere dvsor esatt ache d. Percò, se + o ha alcu dvsore esatto che resttusca term "cetral", + avrà comuque gl stess d rsultat che ottee medate suo dvsor esatt: perchè d tutte le dvso s cosdera sempre solo la parte tera. Accade percò che quado + ha propr dvsor esatt, sccome + è maggore d, allora l terme "cetrale" che derva dalla dvsoe d + per l suo dvsore esatto sarà maggore d utà rspetto al terme "cetrale" che derva dalla dvsoe dal rsultato trocato d per lo stesso dvsore. chema: dv ={, } dv ={} l terme "cetrale" che derva dalla dvsoe esatta è sempre maggore d utà rspetto al terme cetrale che derva dalla dvsoe trocata. Percò, sccome è more d +, quado s dvde sa = che += prma per e po per, s ottegoo gl stess rsultat. D cosegueza, l rsultato che "sballa", rededo coè dversa la somma de term "cetral" d e è propro l dvsore esatto d +, coè. Da cu, s deduce l Teorema geerale: "e esste almeo u dvsore esatto d + tra umer Natural che s utlzzao per dvdere sa che + per calcolare term "cetral", allora sarà maggore d ". (I umer Natural che s utlzzao per dvdere sa che + per calcolare term "cetral", soo umer Natural compres tra e, rspettvamete, la parte tera del rsultato delle dvso e ). U umero prmo è u umero che ha per dvsor solo sè stesso e l'utà: dato che quest dvsor soo qud gà, o è ammesso u terzo dvsore, coè o è ammessa ua quattà maggore d dvsor. Percò, u umero prmo è rcooscble dal fatto che o ha pù d dvsor, ma e ha propro sempre e solo. Ma è duque ovvo, che se s dvdesse e + etramb per, vuol dre che s sta dvdedo u umero caddato prmo per l'utà; metre quado s dvdesse sa che + per u umero Naturale maggore della loro metà (arrotodata sempre per dfetto), sccome del rsultato della dvsoe s cosdera solo la parte tera, allora questo rsultato sarebbe per oguo d que valor sempre l'equvalete della dvsoe d e +, rspettvamete, per e +, l che vuol dre che s sta dvdedo l umero caddato prmo per sè stesso. Ifatt, se è vero che possamo assumere che Gorgo Lambert Pag.

5 u umero è dvso per sè stesso quado dà per rsultato, allora, sccome delle ostre dvso cosderamo solo la parte tera, umer e +, dvs per qualsas umero Naturale maggore della loro metà (arrotodata sempre per dfetto), è come se fossero dvs, rspettvamete, propro per e +. A questo puto, s è gà dvso l umero caddato prmo per due tp d dvsor: l'utà e sè stesso. Predamo ora ad esempo l umero += : la sommatora de term della sere è: Cosa vogloo dre term d questa sommatora? Vogloo dre che, term ugual a, è come se fossero (sempre) l rsultato d dvso sè stesso, metre l terme uguale a è come se fosse l rsultato d dvso l'utà: percò, se tra gl altr term rmaet (che soo term che ho chamato "cetral") o c soo dvsor esatt d +=, allora avrà soltato, come dvsor esatt, ovvamete sè stesso e l'utà (coè dvsor): e la cosegueza d cò, per l Teorema geerale che ho dedotto pù sopra, è che la somma de term "cetral" sarà uguale a alla somma de term "cetral" della sere. e quest'ultma cosa è vera, la dffereza tra le sere della coppa ( ; ) è, perchè, s è detto molto pù sopra el documeto, "l umero d che compaoo coda alle sere e, co che è par, dffersce d utà, che, sommata all'altra utà per la quale dfferscoo sempre queste due sere cosecutve per va del loro prmo terme, determa ua dffereza sulla sommatora de term che mmo è utà". U umero ache o prmo ha sempre almeo due dvsor, che soo sè stesso e l'utà: qud, gl altr suo dvsor vao rcercat aalzzado rsultat de term "cetral" delle sere, coè cotado quat d quest term scaturscoo da ua dvsoe seza resto. Ovvamete, l valore += o determa qud che è u umero prmo. E così s dmostra sa la valdtà della formula per calcolare l umero d dvsor che la valdtà del test d prmaltà ad essa assocato. Gorgo Lambert, 0/0/0 Gorgo Lambert Pag.

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