1 ANALISI MATEMATICA A - Esercizi della settimana 1

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1 1 ANALISI MATEMATICA A - Esercz della settmaa Eserczo Rsolvete le seguet dsequazo (e umer real) coè trovate l seme de umer real per qual la dsequazoe dcata è vera x + 1 x x + 1 0; 2. x x 3 < 0; 3. x 1 x 3 > 1; x 2 2x + x x 5. 2x x 2 > x 6. 2(x x 2 + 2x + 5) > 3 3 x x > 1 3 x2 +5 ( ) 1 x ( ) 1 x > log(2x 2 5x + 3) < log(x 2 4x + 3) log(x 2) log(x + 1) 11. log 2 x + 4logx Eserczo Determate gl sem seguet, evetualmete fuzoe del parametro o, altr term, rsolvete le dsequazo dcate: 1. A := { x : 6x 2 x + 1 > 0 } ; 2. B a := { x : x 3 x 2 + ax a 0 }, (a R); { 3. X c := x : x 3 } cx + 1 < 0, (c R); 4. C := { x : cos(x + x ) > 0 }. 1.3 Eserczo I cascua rga, dsegate approssmatvamete l grafco della prma fuzoe (sul suo aturale domo d defzoe) e utlzzado quello dsegate approssmatvamete l grafco delle altre fuzo (sul loro aturale domo d defzoe) x ; x 3 x 1 ; 2. x; x + 1 x 2 + 1; (x + 1) 2 ; 1

2 3. 3 x ; 3 x + 1; 3 x+1 ; 3 x+1 4. logx; log 2 x; log 2 (x + 2); log 2 (2x) + 2; log 2 (2x) 2 5. sx; s(x + π); s(x + π/2); s(4x + π/2); s(x 2 ); s 2 x. 1.4 Eserczo Dsegate approssmatvamete l grafco della seguet fuzo. 1. arccos(x 3); arcta(2x) π; ta(2x) x + 1; 2x 2 + 4x + 1 ; 2 x 2 ; 1.5 Eserczo La dffereza smmetrca A B d due sem A e B è defta come Dmostrate che (a) A B = /0 A = B (b) (A B) C = (A C) (B C) A B := (A \ B) (B \ A). (a) Sao A,B sem co A B = /0. Poché /0 = A B = (A \ B) (B \ A), sa A \ B che B \ A soo vuot. Questo è equvalete, per defzoe d dffereza tra sem, ad A B e B A, coè propro A = B. (b) Prmo modo: sao X,Y, Z sem qualsas. Osservamo che valgoo le seguet dettà semstche: (X Y ) Z = (X Z) (Y Z) (X \Y ) Z = (X Z) \ (Y Z) Graze a queste, possamo scrvere (A B) C = [(A \ B) (B \ A)] C = [(A \ B) C] [(B \ A) C] = [(A C) \ (B C)] [(B C) \ (A C)] = (A C) (B C) Secodo modo: due sem soo ugual se og elemeto che appartee al prmo appartee ache al secodo e, vceversa, og elemeto che appartee al secodo appartee ache al prmo. C basta duque mostrare la doppa mplcazoe x (A B) C x (A C) (B C), e lo faccamo usado coettv logc e e la defzoe d uoe, tersezoe e dffereza d sem. x (A B) C x A B x C [x A \ B x B \ A] x C [(x A x / B) (x B x / A)] x C (x A x / B x C) (x B x / A x C) (x A C x / B) (x B C x / A) 2

3 Ora, otamo che se u elemeto y appartee ad A C e o a B, allora o appartee emmeo a B C B; vceversa, se y appartee ad A C e o a B C, allora o appartee a B. Duque (y A C y / B) (y A C y / B C) Ragoado maera aaloga vale (y B C y / A) (y B C y / A C) Duque possamo cocludere la sequeza d mplcazo precedete co (x A C x / B) (x B C x / A) (x A C x / B C) (x B C x / A C) (x (A C) \ (B C)) (x (B C) \ (A C)) x (A C) (B C) 1.6 Eserczo X è u seme. Per og A X defamo la fuzoe caratterstca d A deotata da 1 A : X R el seguete modo { 1 se x A 1 A (x) := 0 se x / A. Dmostrate che 1. 1 A 1 B = 1 A B ; 2. 1 A + 1 B 1 A 1 B = 1 A B. 1.7 Eserczo Sao X e Y due sem e f : X Y ua fuzoe. Dmostrate che le seguet propretà soo equvalet: 1. f è ettva; 2. per og sottoseme A X vale f 1 ( f (A)) = A; 3. per og coppa d sottosem A,B d X vale f (A B) = f (A) f (B); 4. per og coppa d sottosem A,B d X se A B = /0 allora f (A) f (B) = /0. Il modo pù veloce per mostrare che tutte le propretà soo equvalet è mostrare 1 = 2, 2 = 3, 3 = 4 e 4 = 1. I questo modo abbamo l umero mmo d mplcazo che permettoo d legare tra loro tutte e quattro le propretà (per esempo, 2 4 vale perchè da 2 = 3 e 3 = 4 segue 2 = 4, metre da 4 = 1 e 1 = 2 segue 4 = 2). Sa f : X Y ua fuzoe. Rcordamo due defzo, che useremo spesso el seguto. L mmage tramte f d S X è defta come f (S) := {y Y s s : f (s) = y} metre la cotrommage tramte f d T Y è defta come f 1 (T ) := {x X f (x) T } 3

4 1 = 2 : sa f ettva e A X. Voglamo dmostrare f 1 ( f (A)) = A, provado che vale la doppa clusoe f 1 ( f (A)) A e f 1 ( f (A)) A. : sa a f 1 ( f (A)), e voglamo mostrare a A. Per defzoe d cotrommage, f (a) f (A), da cu segue, per defzoe d mmage, che esste u ã A tale che f (ã) = f (a). Poché per potes f è ettva, segue a = ã A come volevamo provare. : sa a A, e voglamo mostrare a f 1 ( f (A)) (ota: questo vale geerale per f qualsas, o ecessaramete ettva). Applcado f ad a, per defzoe d mmage segue f (a) f (A). Questo vuol dre, per defzoe d cotrommage, che a f 1 ( f ({a})) f 1 ( f (A)). Duque a f 1 ( f (A)), come volevamo provare. 2 = 3 : sa f tale che per og sottoseme A X vale f 1 ( f (A )) = A, e sao A,B sottosem d X. Voglamo provare che vale f (A B) = f (A) f (B). Cosderado le cotrommag, ua tes equvalet è f 1 ( f (A B)) = f 1 ( f (A) f (B)). Osservado che, per C,D Y qualsas, f 1 (C D) = f 1 (C) f 1 (D) (ota: ache questo fatto vale geerale, coè per f qualsas), otteamo f 1 ( f (A) f (B)) = f 1 ( f (A)) f 1 ( f (B)), da cu f 1 ( f (A B)) = f 1 ( f (A)) f 1 ( f (B)) Questa, per potes, è equvalete ad A B = A B, sempre vera. 3 = 4 : questa mplcazoe è baale, quato da A B = /0 e dall potes segue mmedatamete f (A) f (B) = f (A B) = f (/0) = /0 4 = 1 : sa f tale che per og A,B X dsgut (coè co A B = /0) valga f (A B) = f (A) f (B). Voglamo mostrare che f è ettva, coè che per og x 1,x 2 X tal che x 1 x 2 vale f (x 1 ) f (x 2 ). Poamo duque A = {x 1 } e B = {x 2 }. Per l potes x 1 x 2 quest due sem soo dsgut. D cosegueza, vale f ({x 1 }) f ({x 2 }) = /0, coè, per defzoe d mmage, { f (x 1 )} { f (x 1 )} = /0. Questo è equvalete, sccome quest due sem hao etramb u solo elemeto, a f (x 1 ) f (x 2 ), e duque f è ettva. 1.8 Eserczo Verfcate le seguet dettà: m a k =1 a = m k=+1 a k, se < m ( a + (k + 1) + b )( =1 a (1 ) = 2; ) b = (a a j b b j )., j 1.9 Eserczo Dmostrate per duzoe le seguet uguaglaze: k 2 = 1 ( + 1)(2 + 1); 6 ( ) ( + 1) 2 k 3 = ; 2 4

5 (2k 1) = Eserczo Dmostrate che per og x > 0 è vero che x + 1 x Eserczo Dmostrate: se > 1 è u tero e x > 1 allora 0 < x 1 < x 1. Prma parte: provamo x > 1. Osservamo che, preso t R postvo, se 0 < t < 1 allora 0 < t < 1. Da questo segue che, se x = ( x) > 1, allora x > 1, come volevamo dmostrare. Secoda parte: voglamo provare x 1 < x 1. È coveete rscrvere la dsuguaglaza come x 1 < x 1 (x 1) > ( x 1) x > 1 + ( x 1) dove l ultma dsuguaglaza s può terpretare grafcamete così: per x > 1 l grafco dalla fuzoe dettà x x sta sopra a quello della fuzoe x ( x 1) (ved fgura a faco). Tuttava l ultma dsuguaglaza, scrtta questa forma, o è d facle dmostrazoe. Potrebbe vere mete però, d operare u cambo d varable al fe d rcodurs a ua dsuguaglaza smle, ma d pù facle dmostrazoe. S tratta della cosddetta dsuguaglaza d Beroull: per og t 1,t 0 reale e og tero > 1 vale (1 +t) > 1 + t 5

6 L terpretazoe grafca d questa dsuguaglaza è la seguete: per t > 1, t 0 l grafco dalla fuzoe t (1 +t) sta sopra a quello d t 1 + t (ved fgura a faco). Ora, se sosttuamo x co t := x 1, osservamo che t è sempre maggore d 0. Rcavado x dal cambo d varable, otteamo x = (1 + t). Possamo duque rscrvere la ostra tes come (per t > 0) x > 1 + ( x 1) (1 +t) > 1 + t Ma questa è propro la dsuguaglaza d Beroull. C basta pertato dmostrare la dsuguaglaza d Beroull (è suffcete farlo per t > 0) per cocludere. Provamola per duzoe su > 1. Caso base: sa = 2. Allora vale, per t 0, (1 +t) 2 = 1 + 2t +t 2 > 1 + 2t Pertato abbamo mostrato che vale la dsuguaglaza per = 2. Passo duttvo: suppoamo valga per u certo > 1 tero postvo. Voglamo mostrare che vale per + 1, ossa che vale (1 +t) +1 > 1 + ( + 1)t Graze all potes duttva, abbamo (1 +t) +1 = (1 +t) (1 +t) > (1 + t)(1 +t) = 1 + ( + 1)t + t 2 > 1 + ( + 1)t Pertato abbamo mostrato che vale la dsuguaglaza per + 1. Abbamo duque cocluso, avedo mostrato la valdtà della dsuguaglaza d Beroull, e d cosegueza ache quella della ostra tes Eserczo Suppoete che sa u umero aturale maggore o uguale a 2 e suppoete che x 1,x 2,...,x sao umer real postv. Dmostrate, per duzoe su, che la seguete mplcazoe è vera: x 1 x 2 x = 1 = x 1 + x x (Esemp: = 1 e ; oppure = 1 e ) Premessa: sa P() la proposzoe sao x 1,...,x > 0 real co x 1 x = 1, allora x 1 + +x. Dobbamo mostrare, per duzoe su, che P() è vera per og 2 tero. Dmostramo duque prma l caso base, coè che P(2) è vera, e po l passo duttvo, coè che P() = P( + 1). Caso base, = 2: sao x 1,x 2 real postv tal che x 1 x 2 = 1. Mostramo x 1 + x 2 2: poedo x = x 1 > 0, da cu x 2 = 1/x > 0, la tes da mostrare dveta x + 1/x 2. Medate u rapdo coto, 6

7 questa dsuguaglaza è equvalete a (x 1) 2 0, che è sempre vera. Passo duttvo: sa > 2 tero. Voglamo mostrare che, se P() è vera, allora è vera P( + 1). Suppoamo duque P() vera e sao x 1,...,x +1 real postv tal che x 1 x +1 = 1. Voglamo dmostrare x x Osservamo che l prodotto d + 1 umer real compres strettamete tra 0 e 1 è more d 1. Duque, poché per potes x 1 x +1 = 1, almeo uo d quest umer è maggore o uguale a 1. Possamo supporre, a meo d rbattezzarlo, che tale terme sa x. I maera aaloga, osservado che l prodotto d + 1 real strettamete maggor d 1 è maggore d 1, otamo che esste u terme, che possamo rbattezzare x +1, more o uguale a 1. Ora, l dea è quella d rcodurc da + 1 term ad, pesado x x +1 come u uco terme, per poter applcare così l potes duttva. I questa maera, dall potes x 1 x 1 (x x +1 ) = 1 e dal fatto che P() è vera, segue x x 1 + (x x +1 ) da cu, aggugedo 1 a etramb membr, otteamo x x 1 + (x x +1 ) Notamo che se valesse x + x +1 x x avremmo x x + x +1 x x 1 + x x coè che P( + 1) è vera. Per cocludere la dmostrazoe c resta duque soltato da provare x + x +1 x x Questa dsuguaglaza è equvalete a (x 1) (x +1 1) 0 che è vera se e solo se x 1, x +1 1 oppure x 1, x Poché, graze alla scelta zale, x 1 e x +1 1 rcadamo el prmo caso, percò la dsuguaglaza è vera. 7