CAPITOLO III SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI

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1 CAPITOLO III SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI. GENERALITÀ Sao a,..., a,..., a, b umer real (o compless o elemet d u qualsas campo) ot. Defzoe.. U equazoe della forma: () a x ax a x b dces d prmo grado, o brevemete leare. I umer a,..., a,..., a s dcoo rspettvamete coeffcet dell equazoe, le x,..., x,..., x s dcoo cogte metre b è detto terme oto. Defzoe.2. Se b 0, l equazoe leare s dce omogeea; caso cotraro s dce o omogeea. Defzoe.3. U sstema leare d m equazo cogte è u seme d m equazo lear elle medesme cogte, scrtto ella forma: (2) ax a x a x b ax a x ax b a x a x a x b m m m m dove a j è l coeffcete dell cogta x j ell equazoe -esma. U sstema leare può essere scrtto, modo compatto, ella forma: AX N dove A è ua matrce, X ed N soo coloe date da: A ( a j ) ; X ( ) x ; N ( b j ) per, 2,..., e j, 2,..., m 8

2 Osservazoe: term ot della coloa N hao u solo dce, coè quello che dca l equazoe cu ess appartegoo. Defzoe.4. Ua soluzoe dell equazoe () è ua -upla ordata ( a a a ) x,..., x,..., x la verfca. Ua soluzoe del sstema (2) è ua -upla ( a a a ),...,,..., che sosttuta alla -upla,...,,..., che sosttuta alla -upla x,..., x,..., x verfca tutte le equazo del sstema. Quado u sstema ammette ua o pù soluzo s dce possble; caso cotraro s dce mpossble. Due sstem avet le medesme soluzo s dcoo equvalet. Se u sstema è possble ma ha fte soluzo s dce determato altrmet determato. Proveremo, ma lo s vuole subto evdezare, che u sstema determato ha sempre ua ed ua sola soluzoe. Vale, a tal proposto, l seguete schema: determato (ua sola soluzoe) possbl SISTEMI LINEARI mpossbl (essua soluzoe) determato (fte soluzo) Provamo ora l seguete Teorema: se u sstema AX N ha due soluzo dstte, allora e ha fte. Dmostrazoe: Sao Y e Z due soluzo del sstema co Y Z. S avrà allora: Costruamo la -upla W data da: co λ + µ. S ha: AY N ed AZ N W λ Y + µ Z per λ, µ R ( ) ( λ + µ ) λ + µ λ + µ ( λ + µ ) A W A Y Z AY AZ N N N N Duque W è soluzoe. Poché, oltre, W è composto da fte -uple (al varare, ad esempo, d λ e co µ λ ) l teorema è provato. 9

3 Il problema della rsoluzoe d u qualuque sstema leare cosste, duque, el trovare delle codzo a cu devoo soddsfare coeffcet ed term ot per sapere quale stuazoe l sstema s colloch e po, el caso cu tal soluzo esstao, d mpadrors d metod per determarle tutte. 2. RISOLUZIONE DEI SISTEMI QUADRATI DI EQUAZIONI LINEARI Sa dato u sstema d equazo lear cogte ( j, 2,..., ): () AX N Defzoe 2.. S chama matrce completa o de coeffcet, assocata al sstema (), la matrce A rappresetata solo da coeffcet a j relatv alle cogte x,..., x,..., x, coè: A ( a j ) per j, 2,..., Defzoe 2.2. S chama matrce completa, assocata al sstema (), la matrce B otteuta da A aggugedo ad essa la coloa N de term ot, coè: B : [AN : a... a... a b a... a... a b a... a... a b Nel caso questoe (m ) vale l seguete Teorema (d Cramer): codzoe ecessara e suffcete affché l sstema () abba ua ed ua sola soluzoe è che l determate della matrce A de coeffcet sa dverso da zero. Soddsfatta tale codzoe, l uca soluzoe del sstema è data da x,..., x,..., x formule d Cramer dove s è posto det A e la quattà è l determate della matrce otteuta da A sosttuedo la - esma coloa co la coloa de term ot, per, 2,...,. 20

4 Osservazoe: l teorema d Cramer sopra eucato è u teorema d essteza ed uctà; cò sgfca che se l determate della matrce de coeffcet è uguale a zero allora l sstema o è determato (coè ha fte soluzo) oppure è compatble (coè o ha soluzo). Defzoe 2.3. Il sstema () s dce omogeeo se esso è N 0, coè soo ull tutt term ot. N.B. S osserv che se l sstema è omogeeo co det A 0 allora, per l teorema d Cramer, l uca soluzoe del sstema è la soluzoe baale, coè x... x... x. 0 Supposto m e det A 0, è oto che la matrce A ammette l versa (cfr. cap. II par. 4), coè esste A. Moltplcado, pertato, a sstra etramb membr dell equazoe AX N per A s ottee: ( ) ( ) A N A AX A A X da cu, per defzoe d matrce versa, s ha: A N IX coè: A N X o equvaletemete, forma o compatta: x... x... x A b... b... b Qud, svolgedo l prodotto rghe per coloe, s ottegoo le soluzo del sstema dato. Tale procedmeto d rsolubltà, sostazalmete equvalete all uso delle formule d Cramer, d u sstema leare d equazo cogte è cooscuto co l ome d metodo della matrce versa. Esso è partcolarmete usato egl elaborator. ESEMPIO α) Rsolvere l seguete sstema leare 3 3 o omogeeo: x + z 2x + + 2z 2 x + I prmo luogo occorre verfcare se è det A 0. 2

5 S ha: A det A 0 Per l teorema d Cramer, qud, l uca soluzoe del sstema è data da: dove: ( x,, z) 2 3,, ; ; Duque l uca soluzoe del sstema dato è ( x,, z) ( 0 2) β) Rsolvere l seguete sstema leare 3 3 omogeeo: x 3 + 2z 0 x + z 0 2x + 2z 0,,. Poché det A , essedo l sstema omogeeo, l uca soluzoe è quella baale, coè (x,, z) (0, 0, 0). ESEMPIO 2 α) Rsolvere l seguete sstema leare 3 3 o omogeeo co l metodo della matrce versa: x + z 2x + + 2z 2 x + Poché det A 0 esste A. Occorre prmo luogo calcolare l versa d A; la matrce de complemet algebrc è: A * ( A ) T *

6 da cu: A T ( *) ( *) A A A det T Pertato la soluzoe del sstema è data da: Qud: 0 2 Duque la soluzoe del sstema dato è ( x,, z) ( 0 2),,. Osservazoe: s ot che l sstema era gà stato rsolto co l metodo d Cramer ESEMPIO,α e che la soluzoe ora trovata co l metodo della matrce versa è ovvamete la medesma d quella otteuta precedetemete. β) Rsolvere l seguete sstema 3 3 leare o omogeeo co l metodo della matrce versa: Poché det A 0 0 esste A. Rsulta: 2x z 53 3x + 5 4z 2 4x + 7 2z 3 A * ( A ) T * da cu: A

7 Pertato s ottee: coè: Duque la soluzoe del ostro sstema è ( x,, z) (,, ) S rsolva, per eserczo, l sstema utlzzado la regola d Cramer e s verfch che la soluzoe otteuta è aturalmete detca a quella precedetemete trovata. 3. RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI QUALSIASI Sa dato u sstema d m equazo lear cogte (, 2,..., e j, 2,..., m): (2) AX N Il ostro problema è ora d trattare l caso geerale coè l caso cu o è possble applcare l teorema d Cramer. I partcolare, duque, cas co m ovvero m e det A 0. Per sstem rettagolar o quadrat o d Cramer esste u teorema d carattere molto geerale dovuto al fracese Rouchè e all talao Capell che c forsce ua codzoe d essteza e o essteza delle soluzo. Da otare che l teorema, pur molto teressate, o c sega come calcolare la soluzoe. Pertato, per tale scopo, occorrerà battere altre ve. Rouchè Eugèe, matematco fracese ( Somméres, Gard, 832-Luel, Hérault, 90 ). Professore d geometra descrttva al coservatoro d art e mester d Parg, s occupò degl svlupp sere d fuzo, d problem sopermetrc e prcpalmete della teora delle equazo algebrche. Capell Alfredo, matematco talao ( Mlao, 855-Napol, 90 ). Isegò aals algebrca all Uverstà d Palermo ( 88 ) e dal 886 a Napol. Soco dell Accadema de Lce dal 90, fu sge aalsta; suo stud pù otevol rguardao la teora delle forme e delle equazo algebrche, ell ambto della quale egl pervee a rsultat otevol. Autore d u trattato d algebra a suo temp famoso, el 894 succedette a G. Battagl ella drezoe del famoso Gorale d Matematche, detto ache d Battagl. 24

8 Eucamo l seguete Teorema (d Rouchè-Capell): codzoe ecessara e suffcete affché u sstema AX N ammetta delle soluzo è che la matrce completa e la matrce completa del sstema abbao la medesma caratterstca (o, equvaletemete, lo stesso rago), coè Omettamo la complessa dmostrazoe. r( A ) r( B) Osservazoe: l teorema d Rouchè-Capell el caso de sstem d Cramer è baalmete verfcato essedo: r( A) per essere det A 0 r( B) r( AN ) avedo AN solo rghe E acora baalmete verfcato el caso de sstem omogee poché, essedo N 0, rsulta ovvamete: ( ) ( 0) ( ) r AN r A r A Duque se la codzoe del teorema è soddsfatta e se: r r( A) r( AN) occorre procedere secodo seguet due cas, modo da assocare al sstema dato u uovo sstema, detto sstema rdotto, che può essere rsolto utlzzado le formule d Cramer: I CASO: r (soluzoe uca) II CASO: Esamamo, ache co esemp, etramb cas. r < (fte soluzo dpedet da r parametr) I r : la soluzoe del sstema è uca I questo caso s costrusce u sstema rdotto formato da r equazo cu coeffcet forscoo u more d A d orde r o ullo. Le soluzo del sstema rdotto, fuzoe del teorema d Rouchè- Capell soddsfao ache le equazo scartate. ESEMPIO Rsolvere l seguete sstema leare 3 2 o omogeeo: x 2 2x x co m e r (A) r (B) 25

9 S ha: A e B Poché l more M otteuto cosderado le prme due rghe d A è tale che det M s ha r( A ) 2. Ivece l uco more d orde tre estrable da B è B stessa e 2 rsulta det B Osservamo, qud, che r( B ) 3. Duque s ha r( B ) 2 (è suffcete, fatt, cosderare lo stesso more del secodo orde gà estratto da A). Essedo r( A ) r( B ) r 2, fssamo l attezoe sul sstema otteuto scartado la terza equazoe. Tale sstema è l sstema rdotto assocato al more M utlzzato prma. Il sstema rdotto: x 2 2 x + 5 come è facle verfcare, sfruttado le formule d Cramer o l classco metodo per sosttuzoe, ha come uca soluzoe ( x ) 7,,. Tale soluzoe è soluzoe del sstema ache accordo al fatto 3 3 che le equazo scartate soo combazo lear d quelle del sstema rdotto. Nel ostro caso s ha: ( ) ( ) ( ) 2x x x + 5 coè la prma equazoe è addrttura proporzoale alla terza. II r < : l sstema ha r soluzo I tal caso l sstema rdotto è u sstema d r equazo r cogte co l determate della matrce de coeffcet dverso da zero, che s ottee come segue: s dvdua u more d orde r d B dverso da zero; le r rghe e le r coloe d B, co cu s forma l more del puto precedete, dvduao rspettvamete r equazo ed r cogte del sstema orgaro; 26

10 delle m equazo orgare s coservao solo le r dvduate el puto precedete e s trascurao le altre. Nelle r equazo prese cosderazoe s lascao al prmo membro tutt term relatv alle r cogte dvduate el puto precedete e s portao al secodo membro le restat r cogte; el sstema delle r equazo rmaste s assegao valor arbtrar alle r cogte portate al secodo membro. S ottee, così, u sstema d r equazo r cogte equvalete al sstema orgaro ed avete, per come è stato otteuto, l determate della matrce de coeffcet dverso da zero. Tale sstema, pertato, ha ua ed ua sola soluzoe otteble co le formule d Cramer. Tale soluzoe dpede, però, come è ovvo e come deve essere, dagl r valor arbtrar assegat alle cogte al secodo membro. Cocludedo, l sstema ha r soluzo. ESEMPI ) Rsolvere l seguete sstema leare 2 3 o omogeeo: x + 3z 2 2 x + 3 6z 4 co m e r (A) r (B) r < Le due matrc (completa e completa) assocate al sstema soo rspettvamete: 3 A e B A 2 4 Notamo che, se M è l more otteuto cosderado le prme due coloe d A, s ha det M 0. Segue allora: 2 3 r( A ) 2 r( B ) 2 Duque r( A ) ( ) assocato è l seguete: perché A cotee M ed ha due rghe perché B cotee A, e qud M, ed ha due rghe r 3 2 r B r 2. Qud l sstema ha soluzo. Il sstema rdotto x 2 3t 2x t ove s è posto z t. Segue che le soluzo del sstema soo: x 2 3t, 0 e aturalmete z t Ovvamete è bee che l lettore s covca che queste fuzo d t, sosttute elle due equazo del sstema d orge, le verfcao etrambe. 27

11 2) Rsolvere l seguete sstema leare 3 3 o omogeeo: S ha: x + 3z 2 2x z 5 3x 3 + 9z 6 (co m e det A 0) A e B Poché, come gà osservato, l uco more d orde tre d A è propro det A che, come è facle verfcare (del resto la terza rga è proporzoale alla prma), è ullo, rsulta r( A ) < 3. Ioltre, ad esempo, 3 A' è u more del secodo orde o ullo, per cu s ha r( A ) 2. Per quato rguarda l rago della matrce completa s osserv che l ultma rga d B è proporzoale alla prma (così come era A) per cu o esste alcu more d orde tre estrable da B dverso da zero; qud r( B ) < 3. Duque rsulta r( B ) 2 (basta cosderare lo stesso more del secodo orde estratto r precedetemete da A). Ne segue che l sstema dato ha 3 2 soluzo. Poché tale more, comue alle due matrc, dverso da zero, è formato dalle prme due rghe coservamo solo le prme due equazo del sstema; poché, oltre, tale more è formato dalla secoda e dalla terza coloa coservamo al prmo membro solo le cogte e z. Qud l sstema rdotto, posto x α, è l seguete: + 3z 2 α 2 + z 5 + 2α E allora possble rsolvere l sstema utlzzado le formule d Cramer, coè: co:,, ( z) 2 2 α 3 A' 7; 5+ 2α Duque le soluzo soo date da: 3 2 α α + ; α 9 7 3,, α, α +, 7 ( x z)

12 Osservazoe: vece del more d orde due cosderato s poteva ache predere esame u altro 2 more, sempre del secodo orde, dverso da zero, per esempo l more A' ' S gugeva, così, ad u uovo sstema equvalete: co β. S ha la soluzoe: 2x + z 5 2β 3x + 9z 6 + 3β,, ( x z) 2 dove: A' ' 2; 5 2β 6 + 3β β β ; β 9 7 Duque le soluzo del sstema orgaro, questo caso, soo date da: 3,, β, β, 7 ( x z) 9 7 S vede subto che, posto β α + 3, s hao esattamete le medesme soluzo. 7 3) Rsolvere l seguete sstema leare 3 3 o omogeeo: Rsulta: 2 x + 3 2z 5 x 2 + 3z 2 4 x + 4z co m e r (A) r (B) A e B Poché det A 0 ed u suo more del secodo orde è tale che s vede baalmete che r( A ) 2. Ioltre, se s cosdera la matrce completa B, s può osservare che per cu ( ) r B 3. Duque, per l teorema d Rouchè-Capell l sstema dato o ha soluzo. 29

13 4. TRIANGOLAZIONE PER RIGA DEI SISTEMI Sa S u sstema d m equazo lear cogte e sa B la matrce completa ad esso assocata. Se B' è la matrce rdotta d B s può faclmete dmostrare che sstem S, la cu matrce completa è B, ed S', la cu matrce completa è B', soo equvalet. Duque, per rsolvere S è suffcete rsolvere S'. ESEMPI ) Rsolvere l seguete sstema leare 2 2 o omogeeo dopo aver rdotto la matrce completa ad esso assocata: 2x + 3 3x S cosdera prmo luogo la matrce completa assocata al sstema dato e s effettuao po le operazo elemetar sulle sue rghe, coè: B B' R 2R 3 R Poché la matrce B' è rdotta, l sstema tragolare assocato è: 2x Dalla secoda equazoe segue ; sosttuedo tale valore ella prma equazoe s ha x 2. 2) Rsolvere l seguete sstema leare 3 3 o omogeeo dopo aver rdotto la matrce completa ad esso assocata: 4x + 3z 2 x + 2 2z 6 x z 0 S cosdera, come fatto precedeza, la matrce rdotta d B, coè: B R2 R2 R3 R3 4R3 R B R3 3R3 + 5R '

14 Duque la matrce B' è rdotta per cu l sstema tragolare assocato è: 4 x + 3z 2 3 z 6 8z 24 Dalla terza equazoe, pertato, s rcava z 3; dalla secoda ; dalla prma x 2. Ne segue che l sstema ha la sola soluzoe: ( x,, z) ( 2,, 3). 3) Rsolvere l seguete sstema leare 3 3 o omogeeo dopo aver rdotto la matrce completa ad esso assocata: S ha: x z 3 3x 2 + 4z 3 2x 3z B R2 R2 3R R3 R3 3R B R3 R3 7R ' otteedo così l seguete sstema tragolare assocato: x z 3 + z 2 62z 62 Dalla terza equazoe rsulta che z ; sosttuedo l valore d z ella secoda equazoe s ottee ; fe sosttuedo valor d e d z ella prma equazoe s rcava x. Duque la soluzoe del sstema orgaro è: ( x,, z) (,, ). Osservazoe: l crtero precedetemete llustrato per rsolvere modo pratco u sstema d equazo lear è oto co l ome d metodo d Gauss-Jorda oppure metodo d rduzoe o tragolazoe a grad. 3

15 ESERCIZI PROPOSTI Rsolvere seguet sstem lear )-30), utlzzado, dove possble, sa l metodo d Cramer sa quello della matrce versa, dopo aver aalzzato gl esemp a)-d): 2x z 53 a) 3x + 5 4z 2 4x + 7 2z 3 Il sstema dato è quadrato per cu occorre calcolare prmo luogo l determate della matrce de coeffcet ad esso assocata. Così facedo s verfca se soo soddsfatte le potes del teorema d Cramer. Rsulta: det A per cu l sstema s può rsolvere applcado le formule d Cramer, coè: dove:,,,, ( x z) ; ; Duque l uca soluzoe del sstema è: ( x,, z),, ( 3, 5, 8) S calcol la soluzoe del sstema dato co l metodo della matrce versa e s verfch che la soluzoe trovata è la stessa (cfr. ESEMPIO 2, β). Verfca: per essere scur che la soluzoe trovata è gusta basta sostture tutte le equazo del sstema valor d x, e z otteut e verfcare, qud, che esse sao tutte soddsfatte. La soluzoe trovata è esatta poché: , ,

16 b) Rsolvere l sstema AX N dove: A ; X ; N z t E u sstema leare 4 4 del tpo Rsulta: det A x + + z + t t 5 2x + 5t 4 3z + 2t 70 0 (basta svluppare l determate, per esempo, rspetto agl elemet della secoda rga) Pertato è possble rsolvere l sstema, per esempo, co l metodo della matrce versa. S ha: A * ( A ) T * da cu: A Duque la soluzoe del sstema s ottee dalla relazoe: z t A

17 Svolgedo calcol segue: z t 2 2 Duque la soluzoe cercata è:,,,,,, 2 2 ( x z t) S verfch, per eserczo, che la soluzoe è esatta e s rsolva l sstema co l metodo d Cramer cofrotado le due soluzo. 2x 3 + z c) 5x + 2z 7 Il sstema è rettagolare per cu occorre applcare l teorema d Rouchè-Capell. Cosderamo le due matrc assocate al sstema: A e B Sappamo che 0 r( A ) m 2, 3 2 e 0 r( B ) m 2, 4 2. Poché A' ' è u more estratto da A o ullo, rsulta r( A ) 2. Per quato rguarda la matrce completa B basta cosderare lo stesso more del secodo orde dverso da zero; segue che è ache r( B ) 2. Duque l sstema dato ammette soluzo. Per determarle s osserv che l more o ullo 3 2 cosderato è stato otteuto co coeffcet delle cogte x ed. Poamo, pertato, rsolvamo l seguete sstema equvalete: 2 x 3 α 5x α la cu soluzoe s può faclmete determare co le formule d Cramer, co: α 3 2 A' ' 7; α ; α α α 9 α z α e 34

18 Duque le soluzo soo: α 9 + 9α,,,, α 7 7 ( x z) S complet l eserczo verfcado le soluzo. d) A ; X ; N Poché l sstema assocato AX N è quadrato bsoga calcolare l determate della matrce de coeffcet. Rsulta: 2 det A Il sstema o s può pertato rsolvere co le formule d Cramer. Occorre allora, per sapere se c soo soluzo, utlzzare l teorema d Rouchè-Capell. S osserv, a tal proposto, che r( A ) 2 essedo: A' 2 ' Per quato cocere la caratterstca d B s ot che l uco more orlato d A' è propro A. Poché tale more è ullo segue che r( B ) 2. Duque l sstema ammette Cramer, rsolvedo l seguete sstema equvalete: soluzo calcolabl co le formule d Rsulta, qud: 2x α x 3 2 2α A' ' 7; 3 + α α ; 2 α + α α α Segue che la soluzoe del sstema è: + α 5α,,,, α 7 7 ( x z) 35

19 Gl esercz seguet soo cosglat allo scopo d eserctars. Le soluzo soo date a marge degl esercz stess. ) 2) x + + z 6 3x 2 + z 2 x + 2z 5 x + z 2x z x + z [( x,, z) (, 2, 3),,,, ( x z) 3) A ; X 3 ; N [( x,, z) ( 2, 3, ) 4) 5) x + 2 2z 7 3x + 2z 5 2x + 3z 0 x + + z + t 2 2x + 2z 2t 5 + 5z + 6t 7 3x + 3z t 5 ( x z t) [( x,, z) ( 3, 0, 2),,,,,, 2 2 6) A ; X ; N z t [( x,, z, t) (, 2,, 5) 7) 8) 9) x + 2z + t 0 x z 0 2x z t 0 x + + z + t 3 2x + + z + t 7 x z + t 6 x + + 2z + t 6 x + + z + 2t 6 x z 0 x + 2z 5 3x 2 + 5z 0 [( x,, z, t) (,,, 2) [( x,, z, t) ( 2,,, ) 5 α,, 5 2α,, α 2 ( x z) 36

20 0) 3x + 2z 5 x + 8z 3 4x + + z [( x,, z) ( 4 3α, 7 + α, α) ) A ; X ; N 3 0 α + 7,,, α, 7 ( x z) 2 α 7 2) x + 3z 3x + 3z z 0 [compatble 3) x + 3 z 2x + 3z 5 6 8α 5α 3,,,, 7 7 ( x z) α 2x z 3 4) x + 3 z 2,, + 9α 7, α, 3 3 ( x z) 5) A 4 ; X ; N 3 4 ( x z) 7 3,,,, α α 6) 7) 8) x + 3x 3 9x x 2 4 x 4 3x 2 3x 6 0 x + z 4 2x z 3 x 5x + z 9,, 3 ( x ) 2 3 [compatble [( x,, z) ( 2,, ) 9) A ; X x ; N z [compatble 37

21 2x + z + 3t 2 20) 5x + 4 2z + 5t x + 2 t α 7β 8 α + 5β,,,,, α, β 3 3 ( x z t) 2) 22) 23) 24) x + 7z 0 5x 5z 0 2x + 2 2z 0 3x + 2 4z 0 3 x + z x + z 0 6x + 3 9z 0 5x z 0 x 2 3z 0 5x z 0 7x z 0 [( x,, z) ( 2α, 5α, α) [( x,, z) ( 2α, α, α) [( x,, z) ( 2α, α, α) 4 7,, α, α, α 7 4 ( x z) 25) A ; X 3 3 x ; N z [solo la baale 26) 27) 28) 9x + 8 3z 0 5x z 0 9x + 3 4z 0 x 3 z 0 2x z 0 5x 4 z 0 x + z 0 + t 0 x + 0 z + 2t 0 [solo la baale [( x,, z) ( α, 4α, α ) [solo la baale x + 2z t 0 29) 2x 2 + z 0 x 4 4z + 3t 0 [( x,, z, t) ( α, β, 2α + 2β, α + 2β ) 30) x + 3 2z + 4t 0 x + 4 3z + 5t 0 x + 2 z + 3t 0 [( x,, z, t) ( α β, α β, α, β) 38

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