Dimostrazione. Sia V la matrice di Vandermonde: V = Risolvere il sistema lineare: Va = y risolvere: p(x i ) = y i dove:

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1 INTERPOLAZIONE È u problema d approssmazoe d ua fuzoe o d u seme d dat co ua fuzoe ce sa pù semplce e ce abba buoe propretà d regolartà. Tale tpo d approssmazoe s usa quado dat soo ot co precsoe. La codzoe d terpolazoe e ce la fuzoe terpolate e quella terpolata devoo cocdere e od ce soo le ascsse de dat. Problem: essteza, uctà, accuratezza, stabltà. Pocé come classe d fuzo terpolat sceglamo la classe de polom, l terpolazoe s drà polomale. Iterpolazoe polomale Sa P = {polom d grado }. Teorema (essteza ed uctà Sao dat od:,,, j, j,,j =,, ovvero tutt dstt e l seme d dat corrspodeza d ess y,, y allora: p P : p( = y =,, Dmostrazoe. Sa V la matrce d Vadermode: V = Rsolvere l sstema leare: Va = y co y = [y,, y ] T equvale a rsolvere: p( = y dove: p + ( = a + a+ a +... a T e a = ( a, a,..., a Qud: Va = y p( = y =,, ma: detv ( - j j< pertato l problema a u uca soluzoe. Formazoe umerca Apput by Dasy83

2 Da tale teorema possamo rcavare l metodo de coeffcet determat ce cosste ell mporre le codzo d terpolazoe al geerco polomo: p ( = a + a+ a a p = f ( =,..., ( e rsolvedo qud l sstema leare: a a. a = f ( f (. f ( U altra dmostrazoe del teorema, d tpo costruttvo, e ce qud c da u altro metodo, è basata sulla rappresetazoe esplcta della soluzoe per y geerco co ua opportua base. Sao: j L ( = =,, j= j + polom d grado, dove L ( e detto polomo d terpolazoe d Lagrage. Ess soo tal ce: L ( j = δ j, j =,, Qud gl L soo learmete dpedet da cu segue ce: j p( = = y L ( ce è la rappresetazoe lagragaa d p(. Dmostramolo el caso specale per cu y = e y j = co j per qualce. Cercamo u polomo d grado avete come zer od j, j. Formazoe umerca Apput by Dasy83

3 (N.B.: tal od soo pocé j. p( = c( - ( - - ( - + ( - per qualce c. Il fatto ce p( = mplca ce: c = [( - ( - - ( - + ( - ] - ce c da l espressoe d L (. Dmostramo adesso l'uctà d tale p(. Sa q( tale ce q( = f( =,..., Sa : r( = p( - q( r P : r( = p( - q( = f( - f( = r a qud + zer (coè tutt gl, ma poce r P r. Metodo delle dffereze dvse d Newto Questo e u altro modo per trovare l polomo terpolatoro, ce e pù comodo se s deve aggugere u dato uovo. Scrvamo p( ella seguete forma: p( = b + b ( - + b ( - ( b ( - ( - ( - - b = f( b = f[, ] b = f[,, ] dove: b = f[,, ] f[, j ] = f( f( j e la prma dffereza dvsa j Formazoe umerca Apput by Dasy83

4 f[, j, k ] = f[, ] f[, j k j k ] e la secoda dffereza dvsa. I geerale, s costrusce la seguete tabella: f( f[, ] f( f[,, ] f[, ] O f( f[,, 3 ] O f[, 3 ] f[,,..., ] 3 f( 3 N. N. f[ -3, -, - ]. f[ -, - ] - f( - f[ -, -, ] f[ -, ] f( Dffereze dvse el caso d od ugualmete spazat Sao: = +, = (b-a/, =,, gl + od. f[, + ] = Poamo: f(+ f( f( + f( + + f(, f[, +, + ] =,. f( = f(+ - f( f( = f( Formazoe umerca Apput by Dasy83

5 k f( = ( k- f( Da cu s a: f[,, +k ] = k k! f( k p( = p( + r = j= j f ( r j r R r r( r...( r ( j Rcordamo ce: = j j! Esempo. Calcolare f( = cos( per = f( f( f( f( p( = r r r =.3, =., = =.3 +. r r =.4 p(.44 = Errore dell'terpolazoe lagragaa Formazoe umerca Apput by Dasy83

6 Teorema. Sa f C + [a,b],,,, j, j Sa: p P ce terpola la f e od. + f ( ξ e( = f( - p( = W( (+! dove: W( = (, ξ ]a, b[ = Dmostrazoe. Sa [a, b] fssato e, =,, altrmet l teorema è baalmete vero. Sa: F(t = f(t - p(t - f( p( W(t W( F(t a + zer: F( = F( = = F( = ed è + volte dfferezable. Allora, per l teorema d Rolle (*, F'(t a + zer, F''(t a zer ed terado, F (+ (t a almeo uo zero ]a,b[. Sa esso ξ. Allora: F (+ ( ξ = = f (+ ( ξ - - f( p( (+! W( da cu la tes. (* Rcamamo l teorema d Rolle: Ip. Sa f:[a,b] R, cotua [a,b] e dervable ] a, b[ co f(a = f(b Ts. c ] a, b[ o : f (c=. Dal teorema sull errore e dalle formule delle dffereze dvse d Newto s a: Ifatt: f[,, m ] = f (m ( ξ m! Formazoe umerca Apput by Dasy83

7 sa t R : t, =,,. Costruamo l polomo terpolate f(,,, t : p + ( = f( + ( - f[, ]+ + ( - ( - f[,,, t] = = p ( +( - ( - f[,,, t] pocé : p + (t = f(t. Poedo = t, s a: f(t - p (t = (t - (t - f[,,, t] + f ( da cu: f[,,, t] = ξ ( +! Poamo t = +, m = + : f ( f[,, m ] = (m ξ m! Formazoe umerca Apput by Dasy83

8 Iterpolazoe d Hermte C s cede se, cooscedo l valore delle dervate d f( alcu od, sa possble raggugere ua maggore accuratezza. ( Idcamo co p j ( la dervata j-esma d p(. Se cooscessmo tutte le dervate d f( fo all'orde, l problema d trovare: ( j ( j p( P : p = f ( j =,, ( avrebbe soluzoe uca. Ifatt, l sstema ce s otterrebbe mpoedo le codzo d terpolazoe: a + a + a + + a = f( a + a + +a - = f'(!a = f ( ( avrebbe la matrce de coeffcet d tpo tragolare superore co elemet dagoal tutt postv, pertato l suo determate sarebbe dverso da zero e l problema avrebbe soluzoe uca. I geerale l problema, pero, o a soluzoe uca. Coè, quado vegoo assegat alcu od valor d alcue dervate o sempre c'è u uco polomo terpolate ce abba tal od l valore dato delle dervate. Esempo: trovare p( P co queste codzo terpolatore : p(- = y, p'( = y, p( = y 3 p( = a + b + c Il sstema: a b+ c= y b= y a+ b+ c= y 3 a l: det = e qud o a soluzoe uca. Ivece, l problema: dat + put,,,, j, j, trovare p( P N : Formazoe umerca Apput by Dasy83

9 co: N = + m + m + + m ce assuma seguet valor: f(, f'(,, f (m ( f(, f'(,, f (m ( a soluzoe uca ed l polomo terpolate è detto d Hermte. Se m = m = = m = l'terpolazoe è detta osculatora. Sull terpolazoe d tpo osculatora s ao seguet due teorem: Teorema. Dat,,, j, j [a, b] ed f(, f'( =,, p( P + : p( = f( e p'( = f'( =,, o Aalogamete al teorema sull'errore dell'terpolazoe lagragaa s a: Teorema. Sa f C (+ [a,b] e sa p( P + l polomo d Hermte osculatoro terpolate f(,, dstt [a,b] e( = f( - p( = (+ f ( ξ [W(] (+! Dmostrazoe. E smle al teorema dell errore dell'terpolazoe lagragaa poedo: f( p( F(t = f(t - p(t - [W(t] [W(] I polom soo d facle costruzoe e la loro utltà s basa sul teorema d approssmazoe d Weerstrass. Formazoe umerca Apput by Dasy83

10 Teorema d Weerstrass. Sa f C[a,b]. Essa è allora approssmable uformemete da u polomo l cu grado dpede dall'accuratezza scelta. Coè: ε > = (ε, p( P : f p ε ovvero: f( - p( ε [a,b] o S a oltre: Teorema. Sa f C[a,b], N fssato p* P : f p* f p p P ua delle orme,,. o Ma oostate le buoe c possoo però essere dffcoltà assocate all'terpolazoe polomale. Per llustrare cò, sa ua suddvsoe tragolare del geerco tervallo [a,b] defta da: t p ( t t p ( t t t p (. t t t p ( co: a t < t < < t b N e {p (} sao ua successoe d polom geerat dalla terpolazoe d Lagrage ad f( e put t, =,,. S a: Formazoe umerca Apput by Dasy83

11 Teorema (d Faber. Per og, f C[a,b] per cu {p (} o coverge uformemete ad f(. o D'altrode s a: Teorema. Data f C[a,b], : {p (} coverge uformemete ad f(. Da tal teorem s deduce ce o esstoo scem terpolator uversal. Stabltà Aalzzamo l problema della stabltà degl scem terpolator ovvero della propagazoe degl error su dat al polomo d terpolazoe. Dalla rappresetazoe d Lagrage s a, dcado co y~ dat perturbat e co y quell o perturbat: p( = = p ~ ( = = L ( y L ( y~ da cu : p( - p ~ ( = = L ( (y - y~ p( - p ~ ( λ ( ma p p~ Λ y ~ y y - y~ dove: λ ( = = L (, Λ = λ ote come fuzoe e costate d Lebesgue, rspettvamete. Tato pù soo pccole, maggore è la stabltà del problema. Formazoe umerca Apput by Dasy83

12 S può vedere ce se od soo gl zer de polom d Cebcev (v. prossmo paragrafo, la fuzoe λ ( a u adameto vco a quello ottmale. Rcordado, po, l teorema sull'errore d Lagrage s vede ce per mglorare l'errore s devoo sceglere gl modo da mmzzare ma W(. [a,b] Se [a,b] = [-,] tale scelta degl è data dagl zer de polom d Cebcev. Vsta l mportaza d tal polom ella teora dell approssmazoe, studamoe l comportameto. Formazoe umerca Apput by Dasy83

13 Polomo d Cebcev d a spece: Polom d Cebcev T ( = cos(ϑ N = cosϑ ϑ [,π] T ( = cos( arccos Mostramo ce T ( P ed è qud defto per R. Ifatt: cos((k+ ϑ = coskϑcosϑ - sekϑseϑ cos((k - ϑ = coskϑcosϑ + sekϑseϑ da cu s a la relazoe d rcorreza: cos((k+ ϑ + cos((k- ϑ = coskϑcosϑ T k+ ( = T k ( - T k- ( co: T ( =, T ( =. Pertato: T ( = -, T 3 ( = 4 3-3, T 4 ( = , Il coeffcete d k T k ( è k-. Gl zer d T k ( soo dat da: cos(kϑ =, kϑ = +π, ϑ = + π k + = cos k =,, k- Pocé T k ( P k, gl zer trovat soo sol zer d T k ( ed ess soo dstt. I put d [-,] cu T k ( = soo d estremo relatvo e soo dat da: cos(π = (- φ = k =,, k S a: T k (- = (- k T k (. Ed oltre: T' k ( = ksek ϑ ksekϑ = seϑ seϑ T' Il polomo U k- P k- : U k- = k ( sekϑ = è l polomo d Cebcev d a k seϑ spece. Formazoe umerca Apput by Dasy83

14 I polom d Cebcev soo ortogoal rspetto al prodotto tero: <f, g> = f(g( d Dmostramo adesso ce, ell'tervallo [-, ], la W( = ( a W mma se gl soo gl zer de polom d Cebcev. Teorema. Sa: W( = ( P +. Tra le possbl scelte de od { } =, = T [-, ], W = ma W( è mma se: W( = + coè gl [-,] soo gl zer d T + (. = Dmostrazoe. T + ( a l coeffcete d + dato da. Allora, tra tutt polom del tpo: + T +, (ot come polom moc, + ( è u caddato per l mmo d W(. Poamo qud: W( = T + =( - ( - co: + = cos (+ S a: Se poamo: W(y = (- W = pocé T + = se [-,]. π y = cos + =,, + s a: e pertato: W(y + = - W(y. Suppoamo ora ce V P + moco e tale ce per par: V(y < W(y per dspar: V(y > W(y V < W. S avra : Pertato: V(y < W(y, V(y > W(y, Formazoe umerca Apput by Dasy83

15 Defedo H( = V( - W( s a ce H( P pocé V e W ao lo stesso +. Ma H( a + zer, l ce è assurdo e da cò la tes. Sples Nell'terpolazoe polomale, la coosceza de valor della f( da terpolare + od dà u polomo d grado ce, all'aumeto d, a u comportameto oscllatoro. Cò può dare de problem se la fuzoe da approssmare è "patta" o se s deve approssmare la f'(. S ao qud due dverse stratege: Approssmare la fuzoe co u polomo d basso grado ce approssm ma o terpol la f(. Dpededo dalla scelta della orma co cu s decde d stmare l errore, e qud la bota, dell approssmazoe s ao: mm quadrat (orma, mma (orma del massmo. Approssmare la fuzoe co polom d basso grado terpolat la f( sottotervall. Tal fuzo, ce su tutto l tervallo o soo polom, soo ote come polom a tratt. U polomo d grado k a tratt è ua fuzoe ce og sottotervallo è u polomo d grado k. Tal polom soo ut modo cotuo modo da terpolare dat. Cò comporta ce la fuzoe polomale approssmate la f( possa avere dervate dscotue. Se s cooscessero le f'( e od s Formazoe umerca Apput by Dasy83

16 potrebbe usare l terpolazoe d Hermte ma cò aumeterebbe la complesstà del problema. È vece possble mporre alcue propretà d cotutà alle dervate seza rcedere la coosceza d tal dervate. D partcolare teresse è l caso cu le dervate soo cotue fo all'orde k- se k è l grado del polomo a tratt terpolate. U polomo d grado k a tratt ce a dervate cotue fo all orde k- è detto sple d grado k. Le propretà d ua sple S( d grado k terpolate ua f( soo: S( = f( =,, S( C (k- [a,b] 3 S( P k [, + ] =,, - Se k è l grado della sple ed + l umero de od, per determare uvocamete la sple dobbamo mporre +k codzo (*. Tale umero è oto come umero d grad d lbertà (d.o.f = degree of freedom. I geerale: d.o.f = +k, metre el caso terpolatoro: d.o.f. = k-. (* Ifatt, essedo la sple d grado k, per og tervallo dobbamo determare k+ coeffcet ed essedo tal tervall, s devoo determare (k+ coeffcet. Impoedo le codzo d cotutà da a k-, esse soo k per og puto tero ed essedo tal put - possamo mporre k(- codzo. Pertato, l umero d grad d lbertà e : (k+- k(-=+k. Geeralmete le sple pù usate soo quelle lear e quelle cubce. Sples lear Formazoe umerca Apput by Dasy83

17 I tal caso k = d.o.f. = + e l'essteza e l'uctà della fuzoe sple soo ovve e rsultao dal procedmeto d costruzoe d ua partcolare base. Defamo le fuzo cappello ψ =,,- ψ ( = [ + +, + ] [ [,, + ] ] Esempo: ψ ( =, [, ], ψ ( = - -, [ -, ]. Pocé ψ ( j = δ j le ψ soo learmete dpedet. Pertato: S( = = a ψ ( E se la sple S( terpola la f( f( = y =,, s a: S( = = y ψ ( Per stmare l'errore s utlzzao rsultat per polom terpolat. Sa = - - e sa f C [a,b] : f( - S ( Poedo = ma s a: ma t f''(t. f S f' ' 8 Formazoe umerca Apput by Dasy83

18 per e(. Formazoe umerca Apput by Dasy83

19 Sples cubce I questo caso d.o.f. = +3. Impoedo le codzo d terpolazoe s ao + codzo e restao due grad d lbertà. A secoda della loro scelta s ao: Sple aturale : S 3 ''( = S 3 ''( = Sple perodca : S 3 '( = S 3 '( S 3 ''( = S 3 ''( Sple vcolata : S 3 '( = y ', S 3 '( = y ' Idcamo per brevtà la sple cubca co C(. Dmostramo ce la scelta : C( = f( =,, C''( = s C''( = s dà u'uca sple. La partcolare scelta s = s = da po la sple aturale. Suppoamo d sceglere s,, s, s = C''( e costruamo la retta passate per: (, s, ( +, s + + C ''( = s + s +, = + -, =,,- Notamo ce: C'' + ( + = C'' ( + =,,- e qud C''( è cotua. Itegrado due volte s a: 3 (+ ( C ( = s + s c ( - + d ( + - co c, d costat d tegrazoe. Sceglamo c e d modo ce C( sa cotua ed terpol la f(. C ( = f, C ( + = f +, =,,- Formazoe umerca Apput by Dasy83

20 Formazoe umerca Apput by Dasy83 c = 6 s f + +, d = 6 s f C ( = s 3 6 ( + + s ( s f ( s f ( + -

21 Impoamo la cotutà d C'( coè: C' ( = C' - ( =,, - ( C' ( = - s 3 ( + +s + f + - (s + s ( 6 dove: f = f + f. Da cu: - s - + ( + - s + s + = b =,,- f f dove : b = 6 Pocé s ed s soo ote, s a u sstema d - equazo - cogte. Il sstema è trdagoale e dagoalmete domate. Pertato a soluzoe uca. Aalogamete, se s mpoe ce: C'( = y', C'( = y' dalla ( s a: + C' - ( = s - f s + - s - = (s s - = y' 6 f y' ( C' ( = - s f + (s - s = y' 6 s + s = 6 f y' Le (, ( e (3 formao u sstema d + equazo + cogte trdagoale dagoalmete domate e qud a soluzoe uca. (3 Formazoe umerca Apput by Dasy83