SIMULAZIONE DI SISTEMI CASUALI 1 parte. Variabili casuali e Distribuzioni di variabili casuali. Calcolo delle probabilità

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1 SIMULAZIONE DI SISTEMI CASUALI parte Varabl casual e Dstrbuzo d varabl casual Calcolo delle probabltà Defzo Il calcolo delle probabltà tede a redere razoale l comportameto dell uomo d frote all certezza; d fatto vee utlzzato tutte le stuazo cu o soo prevedbl tutt fattor osservabl e que cas cu s debboo predere decso base ad potes rguardat evet futur. U eveto casuale (detto ache eveto aleatoro) è rappresetato da uo de possbl rsultat d u espermeto casuale. L eveto aleatoro può essere: certo: quado l rsultato è postvo e oto a pror (estrarre ua palla baca da u u ura coteete solo palle bache); mpossble: quado l rsultato è ullo e oto a pror (estrarre ua palla era da u u ura coteete solo palle bache); possble: quado l rsultato o è oto a pror (estrarre ua palla era da u u ura coteete palle bache e ere). Due o pù evet s dcoo compatbl se l verfcars d uo degl evet esclude l verfcars degl altr; s drao compatbl el caso cotraro. Due evet compatbl s dcoo ecessar se uo d ess deve verfcars ecessaramete. Due o pù evet s dcoo dpedet se l verfcars d uo o modfca l verfcars dell altro; s drao dpedet el caso cotraro. S chama complemetare dell eveto E quello corrspodete al o verfcars dell eveto (s dca co Ē e s legge E egato o o E). Ad esempo lacado u dado, l eveto complemetare all uscta del umero 3 è dato dall uscta de umer,,4,5,6. S possoo dare 4 dverse defzo d probabltà:. soggettvsta: la probabltà d u eveto è l grado d aspettatva del verfcars dell eveto (se dcamo che la probabltà d uscta della facca testa el laco d ua moeta è l 50% (/) gl attrbuamo u grado d fduca maggore d quello che attrburemmo all uscta del umero 3 el laco d u dado a cu damo probabltà del 6,6% (/6). Pertato vsto che la probabltà d u eveto mpossble è zero e quella d u eveto certo è, per l geerco eveto E s può scrvere: 0 Pr(E)

2 . classca: la probabltà d u eveto è l rapporto tra l umero de cas favorevol ed l umero de cas possbl, purché tutt cas sao ugualmete possbl; a ttolo d esempo: a. l uscta d doppa testa el laco d due moete successoe è par ad /4 essedo TT uo de 4 cas possbl (TT, TC, CT,CC); b. l uscta d ua carta d basto da u mazzo d carte apoletae è par ad 0/40 essedo 0 l umero de basto preset el mazzo d 40 carte; c. l estrazoe d ua palla baca da u ura coteete 5 palle rosse, bache e 8 ere è par a /5 essedo l umero de cas favorevol e 5 quell possbl. 3. frequetsta: la probabltà d u eveto è l lmte a cu tede la frequeza relatva d u eveto (rscotrata precedet stuazo) al crescere del umero delle prove; s rcorda che la frequeza relatva è l rapporto tra l umero delle prove cu s è mafestato l eveto e tutte le prove fatte. 4. assomatca: la probabltà d u eveto è quel umero reale p tale che: a. 0 p ; b. se l eveto è certo p(e)= e se l eveto è mpossble p(e)=0; c. se due evet E ed E soo compatbl allora p(e o E ) = p(e ) + p(e ). Teorem Quado s parla d evet dpedet debboo essere aalzzate le probabltà subordate, coè la probabltà che l secodo eveto s verfch subordatamete al verfcars del prmo eveto; ad esempo se s volesse calcolare la probabltà d estrarre ua carte d spade da u mazzo apoletao s avrebbe 0/40, qualora tuttava la carta estratta fosse ua secoda carta la sua probabltà rsulterebbe dversa sapedo che la prma carta è stata l 3 d basto (probabltà=0/39) oppure l 5 d coppe (probabltà=0/39) oppure l d spade (probabltà=9/39) e cos va). La probabltà del verfcars dell eveto E subordatamete all eveto E s dca co p(e / E ). E evdete che el caso d evet dpedet s avrebbe p(e / E )= p(e ) I teorem fodametal sulle probabltà possoo stetzzars :. probabltà composte: la probabltà del verfcars d u eveto che rsulta dal cocorso d due evet è data dal prodotto delle probabltà del prmo eveto e del secodo subordatamete al prmo: evet dpedet - p(e e E ) = p(e ) * p(e / E ) evet dpedet - p(e e E ) = p(e ) * p(e ). probabltà total: la probabltà che s verfch uo de due evet E o E è data dalla somma delle probabltà de due evet dmuta della probabltà che s verfcho etramb: evet compatbl - p(e o E ) = p(e ) + p(e ) - p(e e E ) evet compatbl - p(e o E ) = p(e ) + p(e ) (la probabltà che s verfcho etramb è ovvamete ulla).

3 Rcham d calcolo combatoro Per le applcazo d calcolo delle probabltà è ecessaro cooscere alcue ozo d calcolo combatoro che possoo essere stetzzate elle seguet: Permutazo Dsposzo Combazo VEDERE A TAL PROPOSITO GLI APPUNTI CALCOLO COMBINATORIO Fuzo d dstrbuzoe d probabltà S defsce dstrbuzoe d probabltà l valore delle probabltà assocate a tutt gl evet possbl coess ad u certo umero d prove dello schema geerale d estrazoe d ua palla da u ura. Le pù usual dstrbuzo d probabltà utlzzate ella statstca ferezale soo rappresetate da: dstrbuzoe ormale o d Gauss: è ua dstrbuzoe cotua la cu curva ha equazoe y = σ m σ e π cu la meda è m=p e la varaza è σ =pq; la curva è defta tutto l tervallo delle (± ) e preseta le seguet caratterstche: approssma la dstrbuzoe bomale al crescere del umero delle prove; è smmetrca rspetto alla meda el seso che la probabltà d u valore superore alla meda d u tervallo prefssato è uguale alla probabltà d u valore ferore alla meda dello stesso tervallo; l area al d sotto della curva è par ad ; approssma molte dstrbuzo emprche el campo socale, fsco, ecoomco, ecc.; approssma la dstrbuzoe degl error accdetal (quell che s commettoo quado s msura pù volte la stessa gradezza fsca); rappreseta la dstrbuzoe d u feomeo fluezato da fte cause, essua delle qual prepoderate.

4 dstrbuzoe beroulla o bomale: è ua dstrbuzoe dscreta la cu espressoe è quella geerale dcata el problema delle prove rpetute; tale dstrbuzoe gode delle seguet propretà: la dstrbuzoe è smmetrca dpedetemete dal umero delle prove purché p=q=/; la somma delle probabltà della dstrbuzoe è uguale ad uo; la probabltà del sgolo eveto è relatvamete bassa; la meda della dstrbuzoe è p e la sua varaza è pq; per suffcetemete grade (ormalmete maggore d 30) la dstrbuzoe è approssmata dalla dstrbuzoe ormale o d Gauss. La fuzoe d rpartzoe della dstrbuzoe è tabulata per var valor d e d p modo da poter determare valor dell espressoe p k q k (essedo k l umero de cas = k k favorevol). dstrbuzoe d Posso: λ è ua dstrbuzoe dscreta la cu equazoe è P( ) = e λ che può otteers dalla bomale quado! p è pccolssmo, molto grade e la meda p teda ad ua costate; le caratterstche della dstrbuzoe soo: rappreseta la dstrbuzoe d evet rar (p è pccolssmo); la meda della dstrbuzoe è λ che è ache la varaza; l massm della dstrbuzoe s ha corrspodeza d λ se questo o è tero oppure corrspodeza d λ e λ- se questo o è tero. VEDERE A TAL PROPOSITO GLI APPUNTI DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA

5 Caratterstche delle varabl aleatore Dstrbuzoe d varable casuale dscreta (tegrazoe al par.., pag. 66) I molte applcazo o è ecessara la coosceza putuale della fuzoe d probabltà ma l calcolo d dc che possoo essere: dc d poszoe: dao u dea approssmata dell orde d gradezza de valor esstet. I pù utlzzat soo la moda, la meda e la medaa. Idc d dspersoe: vegoo utlzzat per descrvere stetcamete come valor d ua dstrbuzoe soo dstat da u valore cetrale (detfcato soltamete co la meda o co la medaa). Il pù utlzzato è la devazoe stadard. Moda S chama moda l dato o la classe d dat che ha maggore frequeza Meda La meda, o valor medo, vee utlzzata per rassumere u seme d dat co u solo valore Medaa S dce medaa d u seme d dat, dspost orde crescete, l dato che occupa la poszoe cetrale. Nel caso che l seme sa costtuto da u umero dspar d dat, la medaa corrspode al dato che occupa la poszoe cetrale; el caso che l seme sa costtuto da u umero par d dat, la medaa s ottee calcolado la meda artmetca de due dat che occupao le poszo cetral. Devazoe stadard Cosderamo la seguete successoe d dat statstc:,,, avet la seguete meda artmetca: M = Σ / Le dffereze sotto dcate: -M, -M,, -M tra cascu dato e la meda artmetca s chamao scart semplc de dat statstc dalla loro meda artmetca M. S verfca faclmete che la sommatora d tutt gl scart è uguale a zero, ossa che: Σ ( M) = 0 Cò è dovuto al fatto che gl scart semplc postv e quell egatv s eutralzzao a vceda. Per redere utl gl scart semplc al fe della msura della varabltà, occorre cosderarl valore assoluto. Così facedo s ottee la formula d u uovo dce d varabltà, detto scarto semplce medo: S = Σ M / Lo scarto semplce medo, s dmostra adeguato alcu cas, per cu s troduce u uovo dce, detto scarto quadratco medo. Cosderamo la seguete successoe d dat statstc:,,, e sa: M = Σ /

6 la loro meda artmetca. Calcolamo po gl scart semplc de dat dalla meda: -M, -M,, -M ed elevado al quadrato cascuo d ess: ( -M), ( -M),, ( -M) otteamo lo scopo d rederl tutt o egatv, evtado così che la loro somma da zero; l rsultato otteuto costtusce la successoe degl scart quadratc. Se calcolamo la meda artmetca d quest scart quadratc: Σ ( M) rcavamo u dce d varabltà, detto varaza. Ife, per torare alla stessa utà d msura de dat zal, eseguamo la radce quadrata della varaza, otteedo per rsultato quell mportate dce d varabltà che s chama scarto quadratco medo: /