Un esempio. le diverse situazioni possibili riferibili alla popolazione, è quella meglio sostenuta dalle evidenze empiriche.

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1 I molte crcostaze l rcercatore s trova a dover decdere quale, tra le dverse stuazo possbl rferbl alla popolazoe, è quella meglo sosteuta dalle evdeze emprche. Ipotes statstca: supposzoe rguardate: u parametro della popolazoe la forma della dstrbuzoe della popolazoe U potes è u affermazoe che vee cosderata vera a meo che l evdeza emprca port ad avere ser dubb sulla sua valdtà e suggersca che essa è falsa Verfca delle potes: processo utlzzato per stablre, sulla base delle osservazo campoare, se l potes formulata s può cosderare esatta o meo Test statstco: regola che cosete d dscrmare tra rsultat campoar che portao ad accettare l potes e quell che portao a rfutarla U esempo La durata delle lampade prodotte da ua certa azeda ha meda par a ore e devazoe stadard par a 5 ore. La produzoe dell ultma settmaa è stata effettuata mpegado u uovo tpo d materale sulla cu qualtà l resposable della produzoe avaza ser dubb. Prma d mettere vedta le lampade prodotte s desdera, duque, dagare sulla qualtà del materale mpegato e, partcolare, verfcare se possa avere fluto sulla durata delle lampade. S esama allora u campoe casuale d 1 lampade prese dalla produzoe settmaale e se e msura la durata meda, che rsulta par a 1955 ore. E possble affermare, co sgfcatvtà =,5, che tale rduzoe sa mputable alla scarsa qualtà del materale utlzzato? Le potes (Nulla, H, e Alteratva, H 1 ) Il lvello d sgfcatvtà () La statstca d rfermeto La regola d decsoe

2 Le potes Popolazoe: X f x ;θ Ipotes statstca semplce: s rfersce ad u valore specfco del parametro Per esempo θ θ * Le potes Ipotes ulla (H ): potes sottoposta a verfca E l potes preesstete rspetto all espermeto campoaro, quella che vee cosderata valda fo a prova cotrara, e comprede l sottoseme de valor dello spazo parametrco che s vuole sottoporre a test. Tpcamete, l potes lpotes ulla è u potes d tpo semplce: H : = Ipotes statstca composta: s rfersce ad u seme d possbl valor che l parametro della popolazoe può assumere Per esempo θθ o θθ * θ θ * * Ipotes alteratva (H 1 ): affermazoe fatta attes all potes ulla E costtuta da u sgolo valore o da u seme d valor possbl per e cosderat alteratv a : H 1 : = 1 ; H 1 : < ; H 1 : > ; H 1 : Le potes Ipotes ulla (H ): potes sottoposta a verfca Ipotes alteratva (H 1 ): affermazoe fatta attes all potes ulla E bee sottoleare che l potes lpotes ulla e l potes lpotes alteratva o soo equvalet a f della decsoe, el seso che l test o è ma coclusvo crca H 1, ma cocere solo la possbltà che dal campoe s possa pervere al rfuto o al o rfuto d H. Le potes H e H 1 soo esaustve e dsgute: o vale l ua o vale l altra. lt Test e regola d decsoe Ua volta formulate le potes, occorre decdere se, sulla base dell evdeza emprca campoara, l potes ulla H debba essere rfutata o meo. E percò ecessaro mettere a puto ua regola che permetta d dscrmare tra rsultat campoar che portao ad accettare l potes ulla e quell che portao a rfutarla. Questa regola costtusce l Il test è duque ua regola che permette d stablre se le osservazo campoare debbao rteers coeret co l potes ulla oppure o. Da u puto d vsta operatvo, u test è ua statstca che fa corrspodere ad og campoe casuale (X 1,, X )u valore umerco che può essere classfcato secodo due dverse possbltà: Poché l valore campoaro d u test statstco vara da campoe a campoe, l test statstco costtusce ua varable casuale che può assumere valor compres u seme che costtusce lo spazo campoaro del test secodo ua partcolare dstrbuzoe b d probabltà che è la dstrbuzoe campoara del test

3 Test e regola d decsoe U test statstco da qud luogo alla rpartzoe dello spazo campoaro due sottosem complemetar: u seme A costtuto da valor del test che soo compatbl co l potes ulla H, e u seme C che raggruppa valor del test cosderat compatbl co H. La regola d decsoe e gl error A-pror soo possbl quattro evet compatbl legat all potes vera sulla popolazoe ed alla decsoe che s prede, a cascuo d ess è assocata ua probabltà a-pror d verfcars Quest ultmo ultmo seme è costtuto da valor del test che portao al rfuto e vee defto la regoe crtca del test d H Stuazoe vera Ipotzzado vera H, la regoe crtca assocata (coè la probabltà d Quado l valore campoaro d t cade ella regoe crtca, l evdeza emprca del feomeo studato porta a rteere che l potes H o possa essere cosderata valda, e qud che o possa essere accettata come vera. H H 1 Accetto H falsa rfutare H ) vee defta lvello d sgfcatvtà f del test e dcata co. Regoe d accettazoe d H Regoe d rfuto d H Regoe d accettazoe d H Regoe d rfuto d H Regoe d rfuto d H Regoe crtca per u test statstco co potes alteratva udrezoale: H : = t H 1 : > Regoe crtca per u test statstco co potes alteratva bdrezoale: t H : = H 1 : e ecso De H H 1 Rfuto H vera Errore I tpo Errore II tpo Accettare o rfutare H o può e o deve essere teso come ua dmostrazoe della vertà o meo d H (altre potes, dverse da H, avrebbero potuto essere accettate o rfutate sulla base dello stesso campoe) ma solo come ua coclusoe che l evdeza emprca è favorevole o meo all potes ulla. La regola d decsoe e gl error Ipotes vera H H 1 H Decsoe gusta Coclusoe H H 1 Errore I tpo 1- Errore II tpo tx Decsoe gusta 1- P rfutare H H è vera P R tx P accettare H H è falsa P A 1 tx 1 P rfutare H H è falsa P R 1 sulla meda H H : Le potes: H: 1 Il lvello d sgfcatvtà: La statstca test: la v.c. meda campoara X Il crtero d decsoe: rfutare l valore come meda della popolazoe se la meda campoara x è molto dstate dal valore potzzato sotto H

4 sulla meda 1.. / / / / sulla meda 1.. / / / / x x z I S z x x z I S z I valor crtc: P x < x + P x > x oppure stadardzzado x- x- P < -z + P > z I S sotto H Il cofroto x co x I e La decsoe x S oppure x- z co -z e +z U esempo La durata delle lampade prodotte da ua certa azeda ha meda par a ore e devazoe stadard par a 5 ore. La produzoe dell ultma settmaa è stata effettuata mpegado u uovo tpo d materale sulla cu qualtà l resposable della produzoe avaza ser dubb. Prma d mettere vedta le lampade prodotte s desdera, duque, dagare sulla qualtà del materale mpegato e, partcolare, verfcare se possa avere fluto sulla durata delle lampade. U esempo La produzoe dell ultma settmaa è stata effettuata mpegado u uovo tpo d materale sulla cu qualtà l resposable della produzoe avaza ser dubb. Prma d mettere vedta le lampade prodotte s desdera, duque, dagare sulla qualtà del materale mpegato e, partcolare, verfcare se possa avere fluto sulla durata delle lampade. S esama allora u campoe casuale d 1 lampade prese dalla produzoe settmaale e se e msura la durata meda, che rsulta par a 1955 ore. E possble affermare, co sgfcatvtà =,5, 5 che tale rduzoe sa mputable alla scarsa qualtà del materale utlzzato? = =5 =1 x 1955 =,5 S esama allora u campoe casuale d 1 lampade prese dalla produzoe settmaale e se e msura la durata meda, che rsulta par a 1955 ore. E possble affermare, co sgfcatvtà =,5, che tale rduzoe sa mputable alla scarsa qualtà del materale utlzzato? Le potes (Nulla, H, e Alteratva, H 1 ) H : = H 1 : < =,5 X~ N Rfuto H se: x 1. z = -1,645 ; , z Il lvello d sgfcatvtà () Z c -1,8 < -1,645 Rfuto H X La statstca d rfermeto La regola d decsoe 5% 1-1 Z c X Z. Valore crtco o stadardzzato: 1, , < 1958,9 Rfuto H

5 U esempo La durata delle lampade prodotte da ua certa azeda ha meda par a ore e devazoe stadard par a 5 ore. La produzoe dell ultma lt settmaa è stata t effettuata t mpegado uuovo tpo d materale d cu s gorao le performace. Prma d mettere vedta le lampade prodotte s desdera, duque, dagare sulla qualtà del materale mpegato e, partcolare, verfcare se possa flure sulla durata delle lampade. S esama allora u campoe casuale d 1 lampade prese dalla produzoe settmaale e se e msura la durata meda, che rsulta par a 1 ore. E possble affermare, co sgfcatvtà =,5, che tale varazoe sa mputable al uovo materale utlzzato? H : = H 1 : = 5,5 X~ N x Rfuto H se: = =5 =1 x 1,5%,5% 1. z 1, 96 ; =,5 1, X,4 < 1,96 No rfuto H %,5% 5%,5%. Valor crtc 196 1,96 o stadardzzat: d z 1951, 49, sulla meda L'azeda Package utlzza u procedmeto tecologco per l'scatolameto d uo de suo prodott tarato per otteere scatole co peso medo d 1Kg e uo s.q.m. par a,3kg. Durate l cotrollo perodco del fuzoameto del meccasmo d scatolameto rsulta che l peso medo del prodotto scatolato u campoe d 1 scatole estratte a caso dalla catea d motaggo è par a 1,19 Kg. a) Sulla base de rsultat campoar, l resposable della produzoe sospetta che l meccasmo sa guasto e produca scatole co peso medo dverso da quello prevsto. Suppoedo che l peso del prodotto scatolato dall'azeda s dstrbusca ormalmete, sulla base de rsultat campoar, s può rteere che c sa effettvamete u guasto el sstema d scatolameto? Effettuare l test sa ad u lvello d sgfcatvtà del 5% che dell'1%. z z X Z No rfuto H sulla meda b) Sulla base de rsultat campoar, l resposable della produzoe sospetta che l meccasmo sa guasto e produca scatole co peso medo maggore d quello prevsto. Suppoedo che l peso del prodotto scatolato dall'azeda azeda s dstrbusca ormalmete, sulla base de rsultat campoar s può rteere che c sa effettvamete u guasto el sstema d scatolameto? Effettuare l test sa ad u lvello d sgfcatvtà f tà del 5% che dell'1%. c) Rsolvere put a) e b) el caso cu lo s.q.m. del peso delle scatole prodotte dall azeda o sa oto ma s coosca lo s.q.m. del peso delle scatole preset el campoe d 1 scatole estratte (s=.35kg). Replogo l sulla v.c. meda campoara NO X NO? >3? N? SI X N ; SI oto? SI X- t 1 NO s

6 Le fas della verfca delle potes 1 Defre l potes H Defre l potes H 1 3 Specfcare l lvello d sgfcatvtà 4 Determare la dmesoe del campoe 5 Determare la statstca test 6 Fssare l valore (test udrezoale) o valor crtc (test bdrezoale) che dvdoo le rego d rfuto e d accettazoe 7 Calcolare l valore campoaro della statstca 8 Cofrotare l valore campoaro della statstca co l/ valor crtc 9 Predere ua decsoe su ua proporzoe I ua scommessa co u amco, lacado 1 volte ua moeta s soo otteute 54 teste. Abbamo l sospetto che l amco c abba gaat utlzzado ua moeta truccata. S verfch questa potes ad u lvello d sgfcatvtà =,1. H : =,5 p =,1 p ~ N Rfuto H se: H 1 : >,5 1 =1 p =,54 z 1, 8 p 54,54,5 5, 8 1% 1,51,5 1 p,8 < 1,8 No rfuto H,5 p c 1% p z 1 z Dove e come studare S. Borra, A. D Cacco (4) Statstca t t Metodologe per le sceze ecoomche e socal McGraw-HllCap. 13 (escluso paragraf 13.7, 13.8), Cap. 14 (escluso paragraf 14.4, 14.5, 14.6). D. Pccolo (4) Statstca per le decso Il Mulo. Cap. 14 (escluso paragraf 14.5, 14.8, 14.9, 14.1,14.11, 14.1). F. Parpel, C. Provas (4) Elemet d probabltà e statstca per le Sceze Ecoomche Gappchell edtore. Cap. 7 (escluso page , escluso paragraf 7.3, 7.5, 7.6). Replogo Le potes Le rego d accettazoe e d rfuto La regola d decsoe e gl error Le fas d ua verfca delle potes Le verfca delle potes sulla meda della popolazoe sulla proporzoe Fle esercz verfca delle potes.pdf