Obiettivi. Statistica. Variabili casuali. Spazio di probabilità. Introduzione

Transcript

1 Obettv Statstca Itroduzoe Scopo d quest lucd è d forre cocett base d statstca utl azeda per: la raccolta de dat, la progettazoe degl espermet, l terpretazoe de rsultat. Spazo d probabltà Spazo d probabltà: trpletta (Ω,A,P) Ω: spazo campo, seme d tutt possbl rsultat d u espermeto cocettuale A: spazo degl evet, seme d tutt gl evet (eveto: u sottoseme dello spazo de campo) P: fuzoe d probabltà, P: A [0,] e t.c P(A) 0, A A P(Ω) = P( A ) = Σ P(A ) se A dpedet (ache ft) 3 Varabl casual Varable casuale o aleatora: per u dato spazo d probabltà (Ω,A,P), ua varable casuale X è ua fuzoe avete come domo Ω, come codomo la retta reale e t.c. che l seme A r, defto da A r ={ω,x(ω) r}, appartega ad A, e qud sa defta ua probabltà P(A r ) = P(X r), per qualuque r. I parole povere Varable casuale o aleatora: quattà cu valor dpedoo dal caso e per qual è stata defta ua fuzoe d probabltà 4

2 Fuzo d dstrbuzoe e d destà Fuzoe d dstrbuzoe cumulatva (d ua varable casuale): F X :R [0,] t.c. F X (x) = P(X x). Fuzoe d destà dscreta/d probabltà (d ua varable casuale): f X (x) t.c. Meda e Varaza Meda: µ X = E{ X} = xf x dx X ( ) Varaza: σ X = var( x) = E{( X µ X ) } = ( x µ f x dx X ) X ( ) Devazoe stadard: σ X = var(x) caso dscreto f X P( X = x ) x = x, =,,.. ( x) = 0 altrmet Valore atteso della fuzoe g(.) della varable casuale X: E{ g( X )} = + g( x) f x dx X ( ) caso cotuo x FX ( x) = f X ( u) du 5 NB: caso cotuo e ell potes che covergao gl tegral, pedc a µ e σ soo omess se o c soo ambgutà 6 Dsuguaglaza d Tchebycheff Momet, Quatl, Moda Dsuguaglaza d Tchebycheff: sa X ua varable casuale e g(.) ua fuzoe o egatva defta R, allora E{ g( X )} P( g( X ) k), k > 0 k Corollaro P( X µ x rσ) = P(( X µ x ) rσ ), r > 0 r ovvero P( µ X rσ < X < µ X + rσ), r > 0 r Mometo d orde r: µ ' Mometo cetrale d orde r: = E{ X Quatle q-mo: l pù pccolo umero ξ q t.c. F X (ξ q ) q Medaa: quatle 0.5 Moda: puto d massmo d f X (.) - se esste r r µ r } = E {( X µ X ) r } 7 8

3 Popolazoe e campo Popolazoe oggetto: totaltà degl elemet esame crca qual s vogloo otteere formazo. Campoe: gruppo d elemet prelevat da ua popolazoe allo scopo d raccoglere formazo sulla popolazoe stessa. Campoe casuale: campoe la cu destà coguta delle varabl casual che lo compogoo è: f X... X ( x,..., x) = f X ( x )... f X Dstrbuzoe campoara: destà coguta delle varabl casual che compogoo l campoe. ( x ) 9 Statstche campoare Statstca campoara: fuzoe d varabl casual osservabl, a sua volta varable casuale osservable E.g., meda campoara varaza campoara momet campoar. X X = = (X X ) S = = - 0 Teorem base Popolazoe co meda e varaza fta Teorema sulla meda campoara: E{X Teorema sulla varaza campoara: Legge de grad umer: allora per > σ /ε δ P(-ε < X -µ < ε) - δ Teorema cetrale della statstca: X Z µ = ~ (0,) σ / E{S } = σ, var(s ) = µ }, var(x ) σ = 4 = µ 3 σ 4 Ruolo dstrbuzoe ormale Se la popolazoe è dstrbuta secodo ua dstrbuzoe ormale allora soo ote le dstrbuzo d statstche che legao a parametr della popolazoe e alle statstche de campo X e Y j X µ ~ t( ) S / m ( X X ) / m = ~ F( m, ( Y Y ) / j= j = ( X µ ) ~ χ ( σ ) )

4 Cosegueze Se le varabl soo dstrbute modo ormale s ferscoo faclmete le propretà della popolazoe dal campoe, l Teorema cetrale della statstca afferma che la meda campoara d campo suffcetemete grad tede ad essere ormale, dovedo cosderare popolazo o ormal covee estrarre pù campo, valutare le mede campoare d oguo d ess, ferre parametr della popolazoe a partre da tal mede cosderadole statstche dstrbute ormalmete. Process stocastc Processo stocastco: X(t), varable casuale parametrzzata el tempo. Per t fssato X(t) è la realzzazoe del processo stocastco al tempo t. Processo (stocastco) stazoaro: processo cu la probabltà che u eveto s verfch u dato umero d volte dpede dall ampezza dell tervallo temporale cosderato e o dalla sua poszoe sull asse reale. Processo (stocastco) stazoaro rspetto ad ua caratterstca: processo cu la caratterstca (e.g., meda) delle realzzazo X(t) o dpede da t. Sere temporale: campoameto ( geere fto) el tempo d u processo stocastco 3 4 Sere temporal e smulazoe Test d goodess of ft Ua smulazoe ha lo scopo ferre duttvamete le caratterstche d process stocastc dpedet e parametrzzat al varare delle legg d dpedeza e de parametr. E.g., l tempo d permaeza de clet u sstema è u processo stocastco dpedete dal processo de temp d arrvo de clet, da process de temp d servzo e dal umero de servtor utlzzat. Goodess of ft Buo adattameto Test Ch-quadro Test Kolmorgorov-Smrov 5 6

5 Numer casual Statstca umer casual Per realzzare u espermeto statstco sgfcatvo, bsoga estrarre dalla popolazoe u campoe casualzzato. Questa operazoe dovrebbe vere effettuata co l auto d umer geerat casualmete (e.g., s cotrollao lott X, dove X è u umero casuale). Purtroppo u calcolatore, maccha determstca, o resce a geerare umer completamete casual ma solo sequeze d umer pseudocasual geerat da procedure matematche e da u umero (seme) d zalzzazoe. Numer pseudocasual e sem Numer pseudocasual e sem Atefatto U geeratore produce ua sequeza d umer pseudocasual dversa fuzoe del seme zale Domada Quado è opportuo usare umer casual estratt da sequeze dverse e qud usare sem dfferet? le sequeze de umer pseudocasual soo debolmete autocorrelate, qud... l valore atteso d operazo che covolgoo poch umer della stessa sequeza può essere sgfcatvamete devato dal vero valore atteso l valore atteso della meda d molt umer della stessa sequeza o deva sgfcatvamete dal vero valore atteso 3 4

6 Numer pseudocasual e sem Cosegueze: assegare valor d u uca sequeza ad ua attvtà o ad u uco attrbuto quado s è teressat a prestazo mede; assegare valor da sequeze geerate da sem dvers per og attvtà o attrbuto da cu dpedoo, ache modo estremamete dretto, gl dc d prestazoe osservato; cambare tutt sem ad og espermeto. Comportars dversamete è gravemete sbaglato coduce a rsultat statstc completamete devat Numer pseudocasual e sem Tpco errore: I ua coda, usare umer proveet dalla stessa sequeza per descrvere gl tertemp d arrvo de clet e temp d servzo. S devoo usare valor proveet da sequeze geerate da sem dvers. I ua coda M/M/ c s accorge mmedatamete dell errore, perché, sul lugo perodo, la meda e la devazoe stadard degl tertemp d uscta dfferscoo sgfcatvamete. 5 6

7 Parametr Statstca Determazoe parametr d u sstema oto Aals prelmare (gà svolta a questo lvello) detfcazoe de compoet del sstema e de recproc ess causal Defzoe parametr campaga dat per l detfcazoe de parametr caratterzzat l sstema: parametr determstc parametr stocastc Attezoe Error comu ell aals d sstem: assumere due parametr dpedet quado o lo soo s tervee qud erroeamete su uo d ess rteedo che o fluez l altro (e.g., umero d lavorator preset u offca, prestazo mede de lavorator) assumere due parametr dpedet quado o lo soo s tervee qud erroeamete su uo d ess rteedo d potere modfcare d cosegueza ache l altro (e.g., molte delle poltche d repressoe del crme) Parametr determstc Teorcamete: o s pogoo partcolar problem, se o evetualmete quell assocat alla preseza d rumore ella msura d tal parametr. Pratcamete: molte azede hao formazo poco affdable su quato loro possesso, soo quas sempre ecessare delle campage d msura, vetaro o catalogazoe. 3 4

8 Parametr stocastc Parametr stocastc: pass ecessar Teorcamete e pratcamete s pogoo otevol problem la cu soluzoe rchede geeralmete u sgfcatvo vestmeto d tempo e dearo. dvduazoe parametr rappresetabl come varabl casual Esempo: s detfcho parametr stocastc che descrvoo l fuzoameto degl sportell della segretera studet. S valut term d gor uomo l costo d tale operazoe. Soluzoe: ua volta dvduat qual soo parametr d teresse la loro msura deve essere fatta maera automatca...d.; detfcazoe delle dstrbuzo d probabltà; detfcazoe de parametr delle dstrbuzo; verfca delle potes (goodess of ft). 5 6 Idvduazoe parametr Idvduazoe parametr I parametr osservat u sstema reale possoo essere autocorrelat oppure tra loro dpedet/correlat. Esempo: la rchesta per u prodotto è spesso soggetta a varazo stagoal; la rchesta d pù prodott soo spesso correlate. Bsoga dvduare le compoet casual dpedet ed esprmere parametr osservat fuzoe d esse. NB: geerator forscoo solo umer..d.. Le compoet casual dpedet soo geere ote a pror oppure soo state dedotte dall aals prelmare del sstema. Spesso è comuque opportuo fare ua verfca della loro: dpedeza e macata autocorrelazoe. possble tempo varaza. Esempo: temp d arrvo e d fe servzo de clet ua coda soo tra loro dpedet ( clet successv o possoo essere caratterzzat da temp mor de clet precedet). Gl tertemp d arrvo e temp d servzo possoo essere..d. 7 8

9 Idvduazoe parametr Idetfcazoe della dstrbuzoe Per capre qual parametr possao essere rappresetat co varabl casual..d. covee cercare d esprmere parametr d teresse elle compoet elemetar. Queste ultme soo probablmete quelle pù atte ad ua rappresetazoe tramte varabl casual..d.. Dagramma quatle-quatle quado c soo poch dat e s vuole fare solo ua valutazoe emprca quado o s devoo stmare parametr della dstrbuzoe d orge Esempo (cot.): t fe_servzo (+)=max{t fe_servzo (), t arrvo (+)}+ t servzo (+) t arrvo (+)=t arrvo ()+ t tertempo_arrvo (,+) t tertempo_arrvo e t servzo soo mglor caddat che t fe_servzo e t arrvo Istogramma quado c soo molt dat e s devoo stmare parametr 9 0 Dagramma q-q Dagramma q-q Prcp base: Note: sao y, y,, y le osservazo ordate modo crescete, y j è ua stma del quatle (j-0.5)/ v è probabltà 0 d otteere effettvamete ua lea retta sa γ j l ((j-0.5)/)-mo quatle γ j =F X - ((j-0.5)/)), put (y j, γ j ) dovrebbero essere approssmatvamete alleat lugo la bsettrce del prmo quadrate put, quato ordat, o soo dpedet, qud dffclmete apparrao dspers attoro alla retta, ma puttosto suggerrao ua curva dolce le varaze agl estrem soo maggor che e valor cetral. La leartà va rcercata soprattutto per valor cetral.

10 Esempo campoe espoezale co meda cofrotato dstrbuzoe espoezale e ormale co stessa meda e varaza Esempo campoe ~ (,4) cofrotato dstrbuzoe ormale co stessa meda e devazoe stadard metà ed uguale Istogramma Prcp base: s rappresetao dat tramte stogramma; s cofrota la forma dell stogramma co quella d dstrbuzo ote e se e scegle ua, fssado gl evetual parametr; s verfca quato l stogramma osservato deva da quello atteso. Istogramma S partzoao dat osservat tervall d uguale ampezza o class d occorreza (per dat qualtatv) lmt degl tervall possblmete o dovrebbero cocdere co u dato osservato al fe d o avere ambgutà ella rappresetazoe umero degl tervall ~0 (5-0) deve essere suffcetemete fe da permettere d dvduare la dstrbuzoe, ma o eccessvamete da essere troppo dpedete dalle occorreze osservate S determao le frequeze delle realzzazo osservate per og tervallo 5 6

11 Esempo Esempo 3 class 30 realzzazo / 6 class 30 realzzazo d ua varable X~(5,5) Realzzazo d ua varable X~(5,5) class 8 class 50 realzzazo / 6 class 00 realzzazo / 6 class Esempo : cot. 00 realzzazo / 6 class 00 realzzazo / 9 class realzzazo / 4 class

12 Cofroto co dstrbuzo ote Dalla fase prelmare d aals del problema geere è possble dedurre co qual famgle d dstrbuzo s devoo cofrotare gl stogramm otteut. Ua prma macroscopca suddvsoe è tra dstrbuzo dscrete dstrbuzo cotue Dstrbuzo dscrete Uforme (ache cotua): per varabl che possoo assumere og valore dfferetemete all'tero d u certo tervallo, e.g., valore sgolo dado, poszoe ruota. Posso: umero d evet x tervallat co dstrbuzoe espoezale verfcates, dove λ è l umero medo atteso. e.g., umero clet ua gorata, umero d telefoate. Dstrbuzo dscrete Beroull: due sole realzzazo, probabltà p e -p. Bomale: umero d prove d successo x su u dato umero d prove beroullae. Geometrca: umero d prove x prma d u successo. Ipergeometrca: umero d prove x d successo estratt seza remmssoe su u campoe dato, ua popolazoe lmtata M d cu è oto l umero d elemet d successo k. Bomale egatva: umero d success x che precedoo l'rmo successo. Dstrbuzo cotue Gaussaa o Normale: per varabl che descrvoo dsturb rsultat d tate pccole azo, e.g., rtardo dovuto a traffco, scostameto rspetto a dmesoe progettata d ua parte, scostameto rspetto ad u guadago atteso, scostameto rspetto ad u tempo d servzo atteso. Normale trocata: come ormale, ma o soo ammess valor estrem per le code. Logoormale: per varabl l cu logartmo ha dstrbuzoe ormale. Per molte varabl casual l logartmo tede ad essere ormale. 3 4

13 f (x) = Dstrbuzoe ormale e πσ (x µ) σ σ=0.5 σ= σ= Dstrbuzo cotue Espoezale: per varabl che modellao l'tervallo tra due evet, l cu accadmeto o è fluezato dal tempo trascorso dall'eveto precedete, e.g., tervallo tra due guast d u sgolo compoete, tervallo tra l'arrvo d due persoe ad ua coda, tervallo tra due rcheste d servzo. Ache per temp d servzo assolutamete casual, e.g., durata d ua telefoata, dsbrgo d ua pratca o ota a pror. Espoezale doppa: geeralzza espoezale, smmetrca rspetto all orge. Erlag: per varabl che modellao tervall esprmbl come somma d varabl espoezal. 5 6 Dstrbuzoe espoezale Dstrbuzoe gamma.5 λ= λ= f (x) = λe λx β = β = β =4 β = βθ f (x) = Γ( β) ( x β x ) e βθ βθ sempre θ= θ: fattore scala β: fattore forma λ=

14 Dstrbuzo cotue Gamma: geeralzza Erlag, per fattore forma o tero. Modella terarrv e temp d servzo, l maggor umero d parametr che la caratterzza permette d fssare la moda e la forma delle code. Trova applcazoe, e.g., per modellare tervall tra guast preseza d rdodaze quado og sgolo compoete ha u tempo tra guast espoezale. Webull: come gamma. Trova applcazoe, e.g., per modellare tervall tra guast quado quest soo dovut alla preseza d pù dfett e dpedoo dal pù sero tra ess. Beta: geeralzza gamma, utlzzata el PERT, vee geere utlzzata per lo studo su campo delle varazo percetual d u elemeto o d ua stuazoe qualsas, quale ad esempo l umero d ore che s trascorroo quotdaamete davat al televsore β =0.5 Dstrbuzoe Webull β = β =4 β = β x ν f (x) = α α β β x ν α sempre ν=0, α= α: fattore scala β: fattore forma ν: fattore d locazoe e 0 Dstrbuzoe beta Dstrbuzo cotue α/β=5/80 α/β=80/5 α/β=0/40 α/β=40/0 α/β=0/ sempre Α=0, Β= α: fattore forma β: fattore forma Α,Β: fattor d locazoe Logstca: utlzzata, soprattutto bologa, per modell relatv a lvell d tolleraza. Pareto: utlzzata per dstrbuzoe d reddt che superao u dato valore. Gumbel: utlzzata per statstche su valor estrem Tragolar, trapezodal, sple emprche: utlzzate per dstrbuzo su tervall ft o meglo approssmate da altre dstrbuzo. t, F, χ : usate per verfca potes statstche.

15 Idetfcazoe de parametr caratterstc della dstrbuzoe Metodo de momet successv: s mpoe che momet campoar cocdao co quell della popolazoe e qud s fssao parametr della dstrbuzoe (problem d devazoe - bas). Metodo della massma verosmglaza: s determao parametr modo che sa massma la probabltà che sao stat estratt campo osservat dalla popolazoe (mglore ma pù complesso, a volte cocdete col metodo de momet). Eccezo: stmator dstort (based) che vegoo corrett. Defzo S vogla stmare fuzoe de parametr θ ua caratterstca τ=τ(θ) d ua dstrbuzoe (e.g., la meda). Stmatore o devato: T è uo stmatore o devato d τ(θ) se e solo se E θ {T}=τ(θ). Stmatore UMVUE (o devato co varaza uformemete mma - stmatore o devato effcete): stmatore o devato che mmzza l'errore quadratco medo l'mse(θ)=e θ {(T-τ(θ)) }, che per uo stmatore o devato cocde co Var θ (T). 3 4 Metodo de momet Metodo de momet: data ua dstrbuzoe caratterzzata da k parametr cogt, quest vegoo stmat esprmedol come fuzoe de prm k momet della popolazoe e qud sosttuedo a momet della popolazoe momet campoar. µ k =E{X k } : mometo k-mo della popolazoe Μ k =Σ X k / : mometo k-mo campoaro Metodo de momet:esempo Esempo: s vogla stmare meda µ evarazaσ d ua popolazoe caratterzzata da ua dstrbuzoe ormale. la meda µ=µ è l mometo d orde uo e vee stmato co M=Σ X / la varaza σ = µ (µ ) è legata al mometo d orde due, vee stmato co X = che rsulta essere devato. = X = ( X M) = 5 6

16 Metodo de momet: osservazo Vatagg: la estrema semplctà che rede l metodo de momet applcable faclmete a stuazo cu sarebbe troppo complesso applcare altr. Svatagg: se s deve stmare l valore della fuzoe d u parametro è geerale meglo stmare tale valore drettamete vece che l parametro e qud applcare la fuzoe, e.g., s cosder l problema d stmare l valore d e λ. Per queste rago l metodo d massma verosmglaza deve essere preferto, quado possble, al metodo de momet. Metodo della massma verosmglaza Fuzoe d verosmglaza: la fuzoe L(θ,x,,x ), fuzoe d destà coguta de valor assut dalle varabl casual assocate a campo e del parametro θ. L(θ,x,,x )dx... dx e sprme la probabltà che osservazo realzzo valor x,,x. Stmatore d massma verosmglaza: stmatore d θ, fuzoe delle varabl casual assocate a campo, che se sosttuto a θ massmzza l valore d L(θ,x,,x ). 7 8 Metodo della massma verosmglaza Nel caso cu L(θ,x,,x ), rspett le opportue codzo d dervabltà lo stmatore cercato cocde co la soluzoe (espressa come θ fuzoe d x,,x ) dell'equazoe dl/dθ= 0 Nell'potes d campo dpedet L(θ,x,,x ) = f X (θ,x ) f X (θ,x ) = Π f X (θ,x ) vece d rsolvere dl/dθ=0 può covere rsolvere l'equvalete, ma pù semplce, l(l)/ θ = Σ l(f X (θ,x ))/ θ = Σ l(f X (θ,x ))/ θ = 0. 9 Metodo della massma verosmglaza: esempo Esempo: s vogla stmare l parametro λ d ua dstrbuzoe espoezale. -λx L( λ, x,..., x ) = λe = d -λx l( e ) X λ = = 0 dλ = = λ λ = X = 0

17 Metodo della massma verosmglaza:propretà Ivaraza, se t è uo stmatore d θ e h è ua fuzoe vertble d θ, lo stmatore d massma verosmglaza d h(θ) è h(t). Ottmaltà UMVUE, se L(θ,x,,x ) = Π f X (θ,x ) e lo stmatore otteuto o è devato allora lo stmatore è UMVUE. N.B. s deve sempre verfcare che lo stmatore o sa devato, c soo fatt cas comu come per la stma della varaza d dstrbuzo ormal cu tale stmatore è devato. Stmator dstrbuzo ote Per le dstrbuzo ote, letteratura soo dat gl stmator d massma verosmglaza o loro correzo. bomale: b(p,-p) p=f/ uforme: u(0,b) b=((+)max {X })/ ormale: (µ,σ ) µ=μ, σ =Σ (X -M) /(-) espoezale: exp(λ) λ=/μ Verfca correttezza delle potes Test χ Test statstco, su k class co O t frequeze osservate per classe e E t frequeze attese, dato da S verfca la correttezza delle potes: s esegue u frequecy test co χ (grezzo ma semplce); Kolmogorov-Smrov (mglore ma pù complesso). χ k 0 = t= ( Ot Et ) Et H 0 : la varable casuale X può essere dstrbuta secodo la dstrbuzoe assuta co parametr stmat H : la varable casuale X o può essere dstrbuta secodo la dstrbuzoe assuta co parametr stmat 3 4

18 Dat s parametr detfcat dalla dstrbuzoe assuta, se L potes ulla H 0 è accettata, altrmet s assume valere H. NB: test statstc mpedscoo soltato d predere abbagl clamoros, o provao la correttezza dell potes ulla. S assume che sa vero quello che s vuole verfcare, e s rfuta la cogettura solo se c soo rsultat molto lota dall atteso,ovvero che s possoo verfcare per l puro effetto del caso solo ell α% de cas. χ Test χ 0 χ α %, k s 5 Esemp Valor estratt da popolazoe ormale meda popolazoe: 5 devazoe stadard popolazoe: 5 Per fare test χ s devoo fare l seguete umero d class umerosta' campoe umero class k 0 o usare χ 50 da 5 a 0 00 da0 a 0 >00 da a /5 6 Esempo Normale Uforme Fre q. O ss. Freq. Att. χ Freq. Att. χ tota le Valore crtco χ %,5--=9., χ 5%,5--=5.99. Tutte e due le scelte soo accettabl all %, solo quella ormale è accettable al 5%. Estrarre ulteror campo per accettare o respgere la dstrbuzoe uforme. 7 Esempo Fre q. O ss. Freq. Att. χ Freq. Att. χ tota le Valore crtco χ %,9--=6.8, χ 5%,9--=.6. Solo la dstrbuzoe ormale è accettable 8

19 Esempo Kolmogorov-Smrov Test per H 0 : campoe proveete da popolazoe ~ F X (x) Prcp base Note: quado c soo meo d 5 realzzazo osservate complessvamete le class dovrebbero vere raggruppate; per, F (x) ~ (F X (x), F X (x)(-f X (x))/) teorema Glveko-Catell P(sup F ( x) F ( x) 0) = X l valore d χ vara al varare del umero delle class. Per questo è mportate partre da umer cosglat ed evetualmete dopo raggruppare. D = max F X (x) - F (x), ha dstrbuzoe dpedete da F X (x), per, (dpede da F X (x) per pccol e per F X (x,θ) parametrzzata) se devazoe massma campoara è maggore del valore crtco D,α% s rgetta H Se tutto fallsce Se tutte le potes fallscoo: realzzare dstrbuzo emprche lear a tratt. 3

20 Correlazoe Sao date N coppe d realzzazo, (X, Y ), (X, Y ), d X e Y, s vuole verfcare se esste ua correlazoe, se coè cov(x,y)=e{(x -µ x )(Y -µ y )} = E{X Y }- µ x µ y 0 Se X e Y soo correlat, Y può essere espresso fuzoe d X e d ua varable aleatora dpedete E Y=h(X,E) Correlazoe Nel caso d relazo lear tra due varabl casual dstrbute ormalmete (dstrbuzoe ormale bvarata) s defsce l coeffcete d correlazoe campoaro r (stma d ρ) come: r = ( X ( X M M s verfca che ell potes ulla d o correlazoe H 0 : ρ = 0 r N t = r segue la dstrbuzoe d studet co N- grad d lbertà. X X ) )( Y M ( Y Y ) M Y ) Correlazoe s verfca che ell potes ulla d correlazoe data H 0 : ρ = ρ 0 + r Z = l( ) r è approssmatvamete ormale co meda e varaza come segue Correlazoe Msura ordara d correlazoe è la correlazoe tra ragh o d Spearme Corr. d Spearme = S = ( r( X ( r( X ) r( X )) ) r( X )) ( r( Y ) r( Y )) ( r( Y ) r( Y )) µ z + r = l( ) r σ Z = N 3 se dat correlat E{S} = 0 e var{s} = /(-) 3 4

21 Regressoe leare Regressoe leare s usao modell d regressoe leare Test sul coeffcete d correlazoe dove E ~(0, σ E ), e gl stmator de parametr soo S E = ( (Y M Y ) â Y ( X M X ) ) N ( ) aˆ 0 = MY aˆ M X ˆ Y X M X a = ( X M ) X Y : dpedete = a 0 + a X + Ε X 5 dell potes ulla H 0 : a = A segue la dstrbuzoe d studet co N- grad d lbertà aˆ A t = N r 6 Correlazoe: geeralzzazo Correlazoe multpla: ua varable può essere espressa term d pù d ua altra varable casuale. Regressoe o leare: ua varable può essere espressa term d ua relazoe o leare co u altra varable casuale. I questo caso r, che esprme quato è forte la dpedeza, rsulta essere t.c.: r varaza spegata = = vataza totale ( Y, stmato M M NB: co suffcet grad d lbertà s spega qualuque cosa, ma la stma de parametr dveta assolutamete affdable. Se o c soo gustfcat motv covee sempre usare modell semplc. ( Y Y ) Y ) 7 Correlazoe: geeralzzazo Multvaraza: u vettore X d varabl casual correlate espresso fuzoe d varabl dpedet E. Se è dato l vettore X d varabl aleatore ormal correlate co meda µ e matrce d covaraza Σ. X può essere espresso come X= µ + CE dove E~(0,) e C è ua matrce tragolare ferore d Cholesky, t.c. CC T =Σ. 8

22 Autocorrelazoe Sao date N realzzazo, X,,X, d X s vuole verfcare se a partre da X esste ua correlazoe og m realzzazo, se coè s m =E{(X +km -µ)(x +(k+)m -µ)} = E{X +km X +(k+)m }-µ 0 NB: l test va fatto per og coppa,m Autocorrelazoe se X,,X ~ u(0,), ua stma d s m è dove M è t.c. +Mm N deft σ β m M sˆ m = ( R + kmr+ ( k+ ) m M k= 0 3M 5 = M s dmostra che per M grad Z 0 ~(0,) Z ) 0.5 sˆ m 0 = σ β m 9 0 Autocorrelazoe Date H 0 : s m = 0 H : s m 0 Se Z 0 Z α% (test a due code) s accetta H 0, altrmet s accetta H Autocorrelazoe Per lo studo dell autocorrelazoe s può utlzzare l aals spettrale d poteza el caso d dat proveet da u processo stazoaro ed ergodco. valor crtc d Z α% Z.5% =.96 Z 0.5% =.645

23 Modell lear per valor autocorrelat s usao modell ARMA o loro geeralzzazo x µ φ x µ ) θ ε + εt t = + ( t t Tempovaraza Test s dvduao parametr che s suppogoo tempovarat (tpcamete mede) s eseguoo test d cofroto tra due valor dove, el caso pù comue ARMA, ε t ~(0,σ ) NB: rmae l problema d detfcare parametr del modello ARMA H 0 : valor ugual (o tempovaraza) H : valor dvers (tempovaraza) test classc soo quell d cofroto tra due mede o due varaze d dstrbuzo ormal (ved orme UNI ) 3 4 Modell per valor tempovarat Idcazo pratche Esempo (trasformata versa): s suppoga varabl espoezal tempovarabl. La fuzoe cumulata d probabltà d u tertempo T,+ al tempo t è da cu eseguedo la trasformata versa, ovvero rsolvedo t + l equazoe, s può calcolare T,+ = t + - t F t ) = T, + ( + t t t + e t + λ( t) dt t λ( t) dt = l( R + ) 5 Covee sempre grafcare dat su dagramm a scatterg (per correlazoe) o su carte d cotrollo (per autocorrelazoe - UNI ) per avere u dcazoe vsva sulle caratterstche de dat. Covee dvdere dat dspobl tra learg set e verfcato set. Le caratterstche e parametr d correlazoe o autocorrelazoe vegoo detfcate attraverso dat del learg set. Ua verfca qualtatva che modell detfcat testado la correttezza delle prevso otteute co tal modell su dat del verfcato set. 6

24 Dagramm a scatterg (00 dat) o correlat correlat 7 Le carte d cotrollo Cosa soo: dagramm cu soo rportat put rappresetatv de sottogrupp,... (es.: valore caratterstca, umero dfett, percetuale pezz o coform) Cosa servoo: a cotrollare caratterstche processo o prodotto valutare opportutà azo correttve Come fuzoao: la dsposzoe de put permette d dedurre lo stato del processo DEEI - Uversty of Treste 8 LC: lea cetrale 0. % elemet o coform Struttura carte LSC: lmte cotrollo superore 0.08 fuor cotrollo LIS: lmte cotrollo ferore sottogrupp Varazo cclche perodo DEEI - Uversty of Treste 9 DEEI - Uversty of Treste 0

25 Stocastctà dat Statstca aals dat output - modello sgolo I dat d output d u espermeto statstco soo stocastc dpedoo da: sequeze umer casual geerat per produrre l campoe; codzo zal durata teorca dell espermeto/smulazoe termate o termate NB: essere o o essere termate dpede dalla struttura e dagl obettv scelt. E.g., baca termate rspetto a clet, o termate rspetto operazo. Cocett geeral Stma del valore e stma dell tervallo S vuole stmare uo o pù parametr che descrvoo le prestazo del sstema. ξ parametro da stmare {X, X,, X } osservazo d tale parametro stma del valore (o putuale): dat {X, X,, X } s desdera ua stma del valore pù plausble d ξ; Dat {X, X,, X } s desdera ua stma d ξ stma dell tervallo (o tervallo d cofdeza): dat {X, X,, X } s desdera ua stma d u tervallo che cluda ξ co ua data probabltà (95%, 99%); 3 4

26 Uo stmatore è ξˆ = Stma del valore X = ma, geerale è devato E { ξ} ˆ = ξ + b lo stmatore o devato se b = 0 e s ottee, e.g., per X..d.. 5 Stma dell tervallo ξˆ è ua varable aleatora caratterzzata da ua sua devazoe stadard σ(ξˆ) che può essere solo stmata da σˆ (ˆ) ξ che è ua stma devata E{ˆ σ (ˆ)} ξ = Bσ (ˆ) ξ trae el caso B=, e s ottee, e.g., per X..d., ammesso che la varaza campoara sa stata corretta 6 Stma dell tervallo Se la stma della varaza o è devata, ξˆ ξ t = σˆ (ˆ) ξ è dstrbuto come t-studet co f grad d lbertà, se osservazo proveet da popolazoe ormale. L tervallo d cofdeza è Stma dell tervallo Ua stma della varaza, co - grad d lbertà, è S ( X ξ σ ξ = = ˆ) ˆ (ˆ) = che è o devata se X soo..d., metre è ua sottostma se X autocorrelat postvamete ua sovrastma se X autocorrelat egatvamete ξˆ t σˆ (ˆ) ξ ξ ξ ˆ + t σˆ (ˆ) α /, f α /, f ξ 7 NB: s rcord la relazoe tra la varaza della meda campoara e la varaza della popolazoe σ (ˆ) ξ = σ / 8

27 Attezoe se s ha uo stmatore putuale devato, s può otteere u tervallo d cofdeza stretto toro ad u valore sbaglato (errore grave); se s ha ua autocorrelazoe postva e s usa lo stmatore dervato da S s ottee u tervallo d cofdeza pù stretto d quello reale (errore grave); se s ha ua autocorrelazoe egatva e s usa lo stmatore dervato da S s ottee u tervallo d cofdeza pù largo d quello reale (errore more, s è solo sprecato del tempo). Aals d trastor (smulazo d durata fta) 9 0 Msura delle prestazo d u sstema L espermeto / la smulazoe servoo a stmare uo o pù parametr che descrvoo le prestazo del sstema. θ parametro da stmare R sequeze {Y r, Y r,, Y r } per og replca (ru d smulazoe) r eseguta dell espermeto Dat le R {Y r, Y r,, Y r } s desdera ua stma d θ Uo stmatore è Stma del valore θˆ ma, geerale è devato = E{ θ ˆ r } = θ + b fuzoe dello stato zale (gl Y r soo autocorrelat) E.g.: tempo d attesa medo, tempo d attesa sgolo clete, umero d clet zalmete coda. r Y r =

28 Stma del valore Stma del valore S può otteere uo stmatore o devato se sgol stmator d ru soo..d.: otteut co sem dvers; θˆ = R R r = θˆ r otteut base a stat zal deft casualmete secodo le corrspodet dstrbuzo. σˆ S (ˆ) θ = R = R R r= (ˆ θr θˆ) R NB: tpcamete lo stmatore è devato perché s suppoe uo stato zale ullo che geerale o s preseta atura. Stmator o devat se stme d ru..d. 3 4 Stma dell tervallo Se la stma della varaza o è devata, θˆ θ t = σˆ (ˆ) θ è dstrbuto come t-studet co R- grad d lbertà. L tervallo d cofdeza è θˆ t σˆ (ˆ) θ θ θ ˆ + t σˆ (ˆ) α /, R α /, R θ NB: per l teorema cetrale della statstca, lo stmatore è approssmatvamete dstrbuto modo ormale Itervallo d cofdeza co precsoe data L tervallo d cofdeza è fuzoe del umero d ru esegut: σˆ h. l. = tα /, R σˆ (ˆ) θ = tα /, R R s esegue ua prma stma approssmata della varaza della popolazoe co u umero rdotto d ru R 0 (almeo 4 o 5) e s deduce R d cosegueza. 5 6

29 Stocastctà dat Statstca aals dat output - modello sgolo I dat d output d u espermeto statstco soo stocastc dpedoo da: sequeze umer casual geerat per produrre l campoe; codzo zal durata teorca dell espermeto/smulazoe termate o termate NB: essere o o essere termate dpede dalla struttura e dagl obettv scelt. E.g., baca termate rspetto a clet, o termate rspetto operazo. Cocett geeral Stma del valore e stma dell tervallo S vuole stmare uo o pù parametr che descrvoo le prestazo del sstema. ξ parametro da stmare {X, X,, X } osservazo d tale parametro stma del valore (o putuale): dat {X, X,, X } s desdera ua stma del valore pù plausble d ξ; Dat {X, X,, X } s desdera ua stma d ξ stma dell tervallo (o tervallo d cofdeza): dat {X, X,, X } s desdera ua stma d u tervallo che cluda ξ co ua data probabltà (95%, 99%); 3 4

30 Stma del valore Uo stmatore è ξˆ = X = ma, geerale è devato E { ξ} ˆ = ξ + b lo stmatore o devato se b = 0 e s ottee, e.g., per X..d.. 5 Stma dell tervallo ξˆ è ua varable aleatora caratterzzata da ua sua devazoe stadard σ(ξˆ) che può essere solo stmata da σˆ (ˆ) ξ che è ua stma devata E{ˆ σ (ˆ)} ξ = Bσ (ˆ) ξ trae el caso B=, e s ottee, e.g., per X..d., ammesso che la varaza campoara sa stata corretta 6 Stma dell tervallo Se la stma della varaza o è devata, ξˆ ξ t = σˆ (ˆ) ξ è dstrbuto come t-studet co f grad d lbertà, se osservazo proveet da popolazoe ormale. L tervallo d cofdeza è Stma dell tervallo Ua stma della varaza, co - grad d lbertà, è S ( X ξ σ ξ = = ˆ) ˆ (ˆ) = che è o devata se X soo..d., metre è ua sottostma se X autocorrelat postvamete ua sovrastma se X autocorrelat egatvamete ξˆ t σˆ (ˆ) ξ ξ ξ ˆ + t σˆ (ˆ) α /, f α /, f ξ 7 NB: s rcord la relazoe tra la varaza della meda campoara e la varaza della popolazoe σ (ˆ) ξ = σ / 8

31 Attezoe se s ha uo stmatore putuale devato, s può otteere u tervallo d cofdeza stretto toro ad u valore sbaglato (errore grave); se s ha ua autocorrelazoe postva e s usa lo stmatore dervato da S s ottee u tervallo d cofdeza pù stretto d quello reale (errore grave); se s ha ua autocorrelazoe egatva e s usa lo stmatore dervato da S s ottee u tervallo d cofdeza pù largo d quello reale (errore more, s è solo sprecato del tempo). Aals d trastor (smulazo d durata fta) 9 0 Msura delle prestazo d u sstema L espermeto / la smulazoe servoo a stmare uo o pù parametr che descrvoo le prestazo del sstema. θ parametro da stmare R sequeze {Y r, Y r,, Y r } per og replca (ru d smulazoe) r eseguta dell espermeto Date le R sequeze {Y r, Y r,, Y r } s desdera ua stma d θ Uo stmatore è ma, geerale è devato Stma del valore θˆ r = Y r = E{ θ ˆ r } = θ + b fuzoe dello stato zale (gl Y r soo autocorrelat) E.g.: tempo d attesa medo, tempo d attesa sgolo clete, umero d clet zalmete coda.

32 Stma del valore Stma del valore S può otteere uo stmatore o devato se sgol stmator d ru soo..d.: otteut co sem dvers; θˆ = R R θˆ r r = otteut base a stat zal deft casualmete secodo le corrspodet dstrbuzo. S σˆ (ˆ) θ = R R (ˆ θ θ = r ˆ) R R r= NB: tpcamete lo stmatore è devato perché s suppoe uo stato zale ullo che geerale o s preseta atura. Stmator o devat se stme d ru..d. 3 4 Stma dell tervallo Se la stma della varaza o è devata, θˆ θ t = σˆ (ˆ) θ è dstrbuto come t-studet co R- grad d lbertà. L tervallo d cofdeza è θˆ t σˆ (ˆ) θ θ θ ˆ + t σˆ (ˆ) α /, R α /, R θ NB: per l teorema cetrale della statstca, lo stmatore è approssmatvamete dstrbuto modo ormale Itervallo d cofdeza co precsoe data L tervallo d cofdeza è fuzoe del umero d ru esegut: h. l. = tα /, R σˆ (ˆ) θ = tα /, R σˆ R s esegue ua prma stma approssmata della varaza della popolazoe co u umero rdotto d ru R 0 (almeo 4 o 5) e s deduce R d cosegueza. 5 6

33 Process o termat Aals d sstem a regme Esstoo sstem che lavorao seza soluzoe (logca) d cotutà: proto soccorso, polza, etc produzoe mafatturera fluss moetar. 7 8 Sstem a regme Esempo: coda M/M/ Problema: dato u processo o termate, ha seso cercare d stmare ua sua caratterstca che potrebbe varare el tempo? Rsposta: s! Almeo el caso cu l processo è stazoaro rspetto a tale caratterstca. Tempo d attesa coda: w = max{w - + s - -a,0} P(W w W - w - ) P(W w ) qud P(W w W w ) P(W w ) v è dpedeza dallo stato zale, ma se l fattore d utlzzazoe è more d

34 Esempo: coda M/M/ per : P(W w W w ) = P(W w ) oltre t-stazoaretà Defzoe: X w è t-stazoaro se la dpedeza tra X w e X u esste solo per w-u t P(W w W - w - ) P(W w ) ma dpedete da (stazoaretà seso stretto) I partcolare Teorema del lmte cetrale se X w è t-stazoaro e E{X w }= µ e E{ X w 3 }< γ d = cov(w +d, W ) dpede da d ma o da Stazoaretà seso ampo: se solo E{W } e γ d dpedet da d X = T T X + r r = è astotcamete ormale ed ha valore atteso µ Sstem a regme Problema: come camba la varaza se le osservazo o soo dpedet (campoe o casuale)? Rsposta: γ σ ( X ) = cov(x, X ) [ ( k ) ] j = 0 + k ρ = j= k = γ k dove γ k = cov(x, X + k ), ρ k = γ 0 NB: la relazoe s ottee applcado var(x+y) = var(x) + var(y) + cov(x,y) Sstem a regme Per sstem precedet ha seso studare le prestazo a regme (quado questo esste, e.g., sstem stazoar) θ = Lm Y = Le stme otteute attraverso la smulazoe soo ecessaramete d durata fta soo devate fuzoe delle codzo zal, ma tale devazoe dmusce tato pù soo lugh ru Problem: come capre d avere ragguto l regme? come otteere dat..d. 3 4

35 Devazoe da codzo zal Per rdurre la devazoe dotta da codzo zal arbtrare s: scelgoo codzo zal real (rchede u aals approfodta e costosa del sstema) scelgoo codzo zal realstche, ottebl da modell matematc - ret d code - molto semplfcatv della realtà (spesso dffcle matematcamete) s parte da uo stato arbtraro ( geere lo stato ullo) e o s raccolgoo dat statstc per u perodo d zalzzazoe (warmup) (pù usato) Determazoe durata warm-up fase d zalzzazoe puto d cacellazoe fase raccolta dat 0 t batch metod statstc (d dffcle applcazoe, pratcamete o usat) metod emprc 5 6 Y Y Y rj = R. j Y rj R r =.. = j= Y.. (, d) = d Y. j Y. j j= d+ Metod emprc :meda dvduale batch valore osservato j-mo replcazoe r-ma :meda batch j-m :meda cumulata :meda cumulata co d cacellazo NB: a j fssato e a r varable Y rj soo..d. e qud la loro meda è crca dstrbuta co l t-studet 7 Metod emprc esegure pù ru (~0) dvdere ru osservat batch d durata uguale per og gruppo d batch corrspodet, calcolare la meda de batch calcolare la meda cumulatva delle mede de batch elmado progressvamete u batch alla volta, a partre da quello zale quado la meda cumulatva o rsete sgfcatvamete dell ultmo batch elmato, s rtee d avere superato la fase d trastoro NB: o usare pù d 5~30 batch, stmare l tervallo d cofdeza delle mede de batch 8

36 Come capre se le varazo o soo pù sgfcatve ad occho varazo feror all -% tervall d cofdeza sulle mede de batch corrspodet tervall d cofdeza (devat) sulle mede cumulate metod statstc ad hoc poco sold statstcamete pù sold, a volte coservatv compless Per autocorrelazo vce ad o c è metodo che tega Attezoe La devazoe dovuta alle codzo zal è affetta dalla poszoe del puto d cacellazoe, o dal umero d replche dell espermeto. Se o s è calcolata correttamete l puto d cacellazoe tutte le stme verrao devate. Il puto d cacellazoe dpede dal parametro che s vuole stmare. Deve essere rcalcolato per oguo d ess Stme co replche Nota la durata del trastoro, s calcola la meda d replca co cacellazoe Y r.(, d) = d Y rj = d + s eseguoo le stme come per smulazo fte, le mede d replca soo tra loro..d. o covee fare pù d ~5 replche, puttosto fare ru lugh s sprecao dat e temp perché s devoo superare tat trastor Stme co log ru Nota la durata del trastoro, s esegue u uco lugo ru s eseguoo le stme come per smulazo fte utlzzado valor Y j calcolat per batch del ru (s usao ~30 batch) vatagg è ecessaro u solo trastoro svatagg stme corrette solo se Y soo..d. 3 3

37 Idpedeza Y Test d autocorrelazoe Osservazo geerale Y j e Y j+k soo autocorrelat, cov(y j,y j+k ) 0 cov(y j,y j+k ) > cov(y j,y j+m ) se k<m l autocorrelazoe dmusce co la lughezza del batch Cosegueza se s defscoo batch per cu s può supporre cov(y j,y j+ ) = 0, allora le Y j possoo essere rteute..d., s possoo esegure le stme el modo usuale Statstca d Vo Neuma ( Y j Y j+ ) j= q = ( Y j Y ) j= Test d autocorrelazoe Test d autocorrelazoe Se Y j..d. E{q} = σ (q) = 4(-)/( -) q pressoché ormale per 00 Problema l test d autocorrelazoe fuzoa correttamete se l umero d batch è superore a 00 (s cosgla batch) qud: s calcola q e l tervallo d cofdeza (q - z.5% σ (q); q + z.5% σ (q)) se appartee a tale tervallo s accetta l potes ulla d Y j..d. qud, per stme co log ru, s defscoo prma batch zal per verfcare l dpedeza, s aggregao batch zal 30 batch fal per calcolare le statstche d teresse 35 36

38 Stme co reewal pot se l sstema osservato passa rpetutamete attraverso uo stato t.c. la sua evoluzoe futura è dpedete dalla stora passata, tale stato è detto reewal state (stato d rgeerazoe),, gl stat d tal passagg soo dett reewal pot le statstche rlevate tra due reewal pot soo..d. se lo stato zale è u reewal state o s deve elmare l trastoro, però l metodo è dffclmete usable sstem compless poché è dffcle che s rpeta lo stesso stato. 37

39 Cofroto tra due alteratve Statstca Cofroto tra alteratve: due o pù alteratve Esempo s hao tre cetr d cotrollo qualtà. alteratve lavorao parallelo, eseguedo oguo d ess tutt cotroll lavorao sere, oguo d ess esegue solo de cotroll (maggore specalzzazoe tempo medo sgolo cotrollo more) s vuole determare quale cofgurazoe duce u more tempo medo d permaeza el sstema Cofroto tra due alteratve Cofroto tra due alteratve Procedura d soluzoe Sao θ e θ parametr d teresse (e.g., tempo d permaeza el sstema), s esegue u test sull potes ulla H 0 : θ = θ θ - θ = 0 Due metod per stmare θ - θ stma separata d θ e d θ, qud calcolo della dffereza s stma θ - θ base a dat dspobl, s verfca se θ - θ è sgfcatvamete maggore o more d 0 stma dretta d θ - θ 3 4

40 Stma separata d θ - θ Stma separata d θ - θ date le osservazo Y r (osservazoe r-ma rspetto al sstema -mo) s deducoo separatamete modo dpedete, co sem dvers, le stme per θ e θ e le loro varaze (ved, e.g., orma UNI ) θˆ S = Y. = R = R R r r= R r= Y ( Y r Y. ) la stma d θ - θ rsulta θˆ θˆ = Y. Y. poché le stme soo calcolate modo dpedete σ ( θˆ ˆ θ) = σ (ˆ θ) + σ (ˆ θ) e la stma d θ - θ è dstrbuta crca co l t-studet 5 6 Stma separata d θ - θ Stma separata d θ - θ ua stma o devata della varaza rsulta altrmet, per R e R 6 ua stma o devata della varaza rsulta σˆ ˆ ( R ) S + ( R ) S (ˆ θ θ) = + R + R R R σ ˆ (ˆ θ θ ˆ S S ) = + R R co ν =R +R - grad d lbertà, se s rtee co grad d lbertà σ ( θˆ ) σ (ˆ θ) ν = ( S / R ) ( S /( R / R + S ) + ( S / R ) / R ) /( R ) 7 8

41 Stma separata d θ - θ o s può rfutare H 0 se, la stma o è sgfcatvamete dstate da 0 se θˆ θˆ t α σˆ (ˆ θ θˆ ) 0 θˆ θˆ + t σˆ (ˆ θ ˆ ) /, ν α /, ν θ 0 altrmet s può rteere statstcamete sgfcatvo θ > θ, θ > θ se θˆ θˆ > θˆ > θˆ + t + t α /, ν α /, ν σˆ (ˆ θ σˆ (ˆ θ θˆ θˆ ) ) tervallo cofdeza θ θ 0 0 Stma dretta d θ - θ La stma dretta è ache ota come tecca d campoameto correlato rduzoe della varaza umer casual comu 9 0 Cocetto base: Stma dretta d θ - θ cofrotare due sstem sottopoedol agl stess put. Gustfcazoe matematca: Sa D = θ - θ, se le osservazo su due sstem soo correlate σ ( Dˆ ) = σ (ˆ θ ) + σ (ˆ θ ) σ(ˆ θ ) σ(ˆ θ ) ρ Se la correlazoe è postva la varaza può essere rdotta rspetto al caso precedete Stma dretta d θ - θ date osservazo accoppate Y r e Y r dello stesso parametro e due sstem dvers (e.g., l tempo d permaeza el sstema dello stesso clete) s deducoo delle stme per D e la sua varaza (ved, e.g., orma UNI ) D S r D = Y r Y = R r R r= ( D r D) Dˆ = R R r= D S σˆ ( Dˆ ) = D R r

42 Stma dretta d θ - θ o s può rfutare H 0 se, la stma o è sgfcatvamete dstate da 0 se Dˆ t σˆ ( Dˆ ) 0 Dˆ + t σˆ ( ˆ ) α /, R α /, R D altrmet s può rteere statstcamete sgfcatvo θ > θ, θ > θ se Dˆ > t Dˆ < t α /, R α /, R σˆ ( Dˆ ) σˆ ( Dˆ ) Stma dretta d θ - θ vatagg può rdurre sgfcatvamete la varaza e qud permettere d cocludere, dove el caso precedete o era possble dffcoltà può essere complesso recuperare valor da accoppare (e.g., s cosder la possbltà che clet abbadoo sstem sequeze dverse) o v è garaza matematca che v sa correlazoe postva 3 4 Cofrot multpl Perché: Tre o pù alteratve per determare parametr caratterstc d sstem alteratv per cofrotare alteratve rspetto ad u sstema d rfermeto per cofrotare tutte le coppe d alteratve 5 6

43 Cofrot multpl Problema: Se og affermazoe è corretta co u certo grado d probabltà. Quado s compoo tate affermazo la probabltà che sao tutte corrette dmusce sgfcatvamete. Cofrot multpl E.g., (affermazo dpedet) P(affermazoe -ma corretta) = -α P(tutte le affermazo corrette)=π (-α ) se α =5% e =0 P(tutte le affermazo corrette)<60% Soluzoe: s devoo fssare coeffcet d cofdeza -α pù grad, ma d quato? 7 8 Boferro P( affermazo corrette) Codzoe vera per affermazo dpedet o dpedet. Se affermazo dpedet, s prova per duzoe = ) P( affermazoe corretta) α ) P( affermazo corrette) = ( α) P( affermazo corrette) ( α)( α ) = α + α α α = = = = α Boferro Dovedos fare affermazo co errore complessvo o superore ad α, bsoga mporre per og affermazoe u coeffcete d cofdeza -α, tale che tpcamete α = α/. α = α 9 0

44 θˆ θˆ Esempo S vogloo cofrotare 3 alteratve co ua d rfermeto (alteatva ) per verfcare che quest ultma è ottma, co u coeffcete d cofdeza del 95%: 3 test se α=5% allora α =.66% s determao gl tervall d cofdeza t σˆ (ˆ θ θˆ ) θ θ θˆ θˆ NB: Boferro vale ache per campoameto correlato σˆ (ˆ θ θˆ ).66 /, ν.66 /, ν + t Esempo (cot.) s ottega -. θ - θ. 0.3 θ - θ θ - θ l alteratva o è ottma, le alteratve 3 e 4 soo mglor d quella d rfermeto. S desdererebbe qud cofrotare 3 e 4 fra loro, ma ATTENZIONE No usare gl stess dat. S deve fare u test ad hoc. No è corretto prma osservare rsultat e po decdere le affermazo da verfcare, altrmet s prova qualuque cosa. Esempo Problema S vuole verfcare se, tra 00 moete, c soo delle moete false al 95% d cofdeza. Metodo scorretto s eseguoo test al 95% su tutte le moete e qud s cosdera solo uo per cu, per puro effetto del caso, l potes ulla (moeta buoa) è rfutata. Metodo corretto s calcolao co Boferro coeffcet d cofdeza per tutt test (α =0.05%). S eseguoo test al 99.95% su tutte le moete. 3

45 Prerequst Statstca Progetto degl espermet: metodo Aova S rporto alla mete seguet cocett: relazoe tra varaza della popolazoe e varaza delle mede campoare della popolazoe determazoe d uo stmatore o devato della varaza determazoe del umero d grad d lbertà d ua stma della varaza Sstema, fattor, lvell U sstema è caratterzzato da fattor qualtatv(e.g., poltca d servzo FIFO, LIFO,..) quattatv (e.g., umero d servtor) fattor possoo essere varabl decsoal o poltche fattor o decsoal (e.g., tasso arrvo clet) valor assut da fattor s dcoo lvell. l seme de lvell assut da fattor d u sstema è detto trattameto. Problema Problema determare se le prestazo d u sstema dpedoo da lvell assut da uo o pù fattor. Test statstco s usa la metodologa detta ANOVA Commet per due lvell ANOVA equvale ad u test co t-studet; s suppogoo replche dpedet, o correlate; l umero d prove che s compoo è more che el caso d cofroto dretto d tutte le coppe d trattamet 3 4

46 Aals d u fattore Aals d u fattore Assuzoe l valore Y rj osservato ella replca r-ma a lvello j-mo è Y rj = µ + N j + ε rj dove µ: prestazoe meda del sstema medata su tutt possbl lvell N j : varazoe meda rspetto a µ dovuta al lvello j ε rj : dsturbo casuale assocato a replca r e lvello j ε rj è..d. ε rj ~ (0,σ)), σ comue per og lvello e fattore. Scdbltà delle varazo la varazoe totale d Y rj dalla meda campoara geerale è esprmble come dalla varazoe fra campo ovvero del valore medo osservato replche co lo stesso lvello dalla la meda campoara geerale pù la varazoe e campo o resdua ovvero varazoe del campoe dalla meda del suo lvello. Y rj Y = ( Y. j Y..) + ( Y Y... rj j ) 5 6 Aals d u fattore Scart quadratc lo scarto quadratco totale SS TOTAL rsulta essere la somma dello scarto quadratco fra campo SS TREAT e lo scarto quadratco resduo SS E. I prodott crocat s aullao elle sommatore. SS = TOTAL N j= R( Y =. j N R j= r = Y.. ) ( Y + rj N Y R.. j= r = ) ( Y = rj Y. j ) = SS TREAT + SS NB: s assume che per tutt gl N lvell s faccao lo stesso umero d replche R, ma cò o è dspesable E 7 Aals d u fattore Ipotes ulla H 0 : N j = 0, j qud Y rj dovrebbero dspors toro a µ co varaza σ ; Y soo stme d µ; Y.. e. j SS TOTAL, SS TREAT e SS E soo legate a σ. 8

47 Aals d u fattore E{SS TOTAL }=(NR-)σ, gdl=nr- SS TOTAL /(NR-) è la varaza campoara o devata E{SS TREAT }=(N-)σ, gdl=n- SS TREAT /R(N-) è la varaza campoara o devata delle mede campoare, E{SS TREAT /R(N-)}= σ /R Aals d u fattore Scart quadratc med: MS TOTAL = SS TOTAL / NR- MS TREAT = SS TOTAL / N- MS E = SS E / NR-N E{SS E }=(NR-N)σ, gdl=nr-n SS E /(NR-N) è la varaza campoara o devata, quado calcolata rspetto a N dverse stme della meda. Se vale l potes ulla, a meo de dsturb casual MS TREAT / MS E 9 0 Aals d u fattore Test F d sgfcatvtà la varable casuale F N-,NR-N F N-,NR-N = MS TREAT / MS E è dstrbuta come la dstrbuzoe F co grad d lbertà N- e NR-N. Se F N-,NR-N F α,n-,nr-n s accetta H 0, altrmet la s respge NB: le tavole d F soo sempre date assumedo maggore la varaza al umeratore.vale però la propretà F a,b =/F b,a. Esempo Problema s vuole determare se la scelta d ua tra tre macche flueza sgfcatvamete le prestazo d u sstema. Temp d permaeza de pezz osservat tre replcazo per og lvello Maccha A Maccha B Maccha C

48 Esempo (cot.) Rsultat: da Excel (agguta Strumet Aals, Aals Varaza: ad u fattore) Aals varaza: ad u fattore RIEPILOGO Grupp Coteggo Somma Meda Varaza Maccha A Maccha B Maccha C Esempo (cot.) Commet S può rgettare l potes ulla. Il fattore maccha da usare è sgfcatvo. ANALISI VARIANZA Orge della Valore d varazoe SQ gdl MQ F sgfcatvtà F crt Tra grupp I grupp Totale Attezoe No usare gl stess dat per sceglere la maccha. Fare test ad hoc oppure usare statstche avazate. 4 Aals d due fattor Assuzoe l valore Y rj della replca r-ma a lvello -mo per l prmo fattore e j-mo per l secodo fattore è dato da Y rj = µ + Q + N j + NQ j + ε rj dove N j, Q : varazo mede rspetto a µ dovuta al lvello / lvello j NQ j : varazoe meda rspetto a µ dovuta all terazoe due fattor Aals d due fattor Scdbltà delle varazo la varazoe totale d Y rj è data dalle due varazo fra campo, dalla varazoe per l terazoe (depurata dall flueza de sgol lvell) e dalla varazoe e campo o resdua. Y rj + [ Y + ( Y Y. j rj.. ( Y Y = ( Y... j ).. Y Y ) + ( Y ) ( Y.. j.. j Y Y ) + ) Y... ] + 5 6

49 Scart quadratc Aals d due fattor Q N R SSTOTAL = = j= r = ( Yrj Y...) Q SSQ = NR( Y.. Y...) = N SSN = QR( Y.. j Y...) j= Q N SSNQ = R( Y. j Y.. Y.. j + Y...) = j= SSE = SSTOTAL SSQ SSN SSNQ Ipotes ulle Aals d due fattor H 0 : Q =0, H 0 : N j =0, j H 0 : NQ j =0, j qud Y rj dovrebbero dspors toro a µ co varaza σ ; Y..., Y.., Y.. j ey. j soo stme d µ; SS TOTAL, SS Q, SS N, SS NQ e SS E soo legate a σ. 7 8 Aals d due fattor Scart quadratc med: MS TOTAL = SS TOTAL / NQR- gdl: NQR- MS Q = SS Q / Q- gdl: Q- MS N = SS N / N- gdl: N- MS NQ = SS NQ / (N-)(Q-) gdl: (N-)(Q-) MS E = SS E / NQ(R-) gdl: NQ(R-) Se vale l potes ulla, a meo del dsturbo casuale MS TREAT / MS E dove TREAT vale Q, N o NQ, a secoda delle potes da verfcare Aals d due fattor Test F d sgfcatvtà la varable casuale F ν,ν F ν,ν = MS TREAT / MS E è dstrbuta come la dstrbuzoe F co grad d lbertà opportu ν, ν Se F ν,ν F α,ν,ν s accetta H 0, altrmet la s respge. 9 0

50 Esempo Problema s vuole determare se la scelta d ua tra tre macche e l uso d uo o due operator flueza sgfcatvamete le prestazo d u sstema. Esempo Temp d permaeza de pezz osservat tre replcazo per og fattore, per og lvello Maccha A Maccha B Maccha C u operatore due operator Esempo (cot.) Aals varaza: a due fattor co replca RIEPILOGO Maccha A Maccha B Maccha C Totale uo Coteggo Somma Meda Varaza due Coteggo Somma Meda Varaza Esempo (cot.) ANALISI VARIANZA Orge della Valore d varazoe SQ gdl MQ F sgfcatvtà F crt Campoe Coloe Iterazoe I Totale Coteggo Somma Meda Varaza Totale

51 Esempo (cot.) Commet S possoo rgettare due potes ulle su tre: l fattore maccha da usare è sgfcatvo; l fattore operator è sgfcatvo; o s può rteere sgfcatva l terazoe tra fattor. 5 Pù d due fattor L aals co due fattor può essere geeralzzata a k fattor. Cresce però umero espoezale l umero d espermet da codurre se s vogloo esamare tutte le possbl combazo d lvell d fattor (full factoral expermet). Per questo s rcorre spesso a fractoal factoral expermet, dove alcue terazo soo escluse a pror o dedotte. Nel caso d due fattor se è esclusa l terazoe s usa l aals d varaza seza replca. 6