Funzioni di più variabili Massimi e Minimi una funzione definita in un insieme E. Un punto ( x0, y0)

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1 Massm e Mm Fuzo d pù varabl Massm e Mm Dezoe: Sa z = (, ) ua uzoe deta u seme E U puto (, E s dce puto d massmo (rsp mmo) relatvo per (, ) se esste δ > tale che ((, ) B((, ), δ ) E (, ) (, ) (rsp (, ) (, )) ) U puto che sa o d massmo o d mmo relatvo s dce estremo relatvo Teorema (codzoe ecessara per gl estrem relatv): Sa che (, tero ad E ; (, ) derezable (, ; ( ) (, estremo relatvo per (, ) Allora s ha: (, = ( (,, (, ) = (, : E R Re (, E tale Nota: I put cu l gradete è ullo s dcoo put stazoar (o put crtc); ess, l pao tagete alla superce equazoe è z = (, )) z = (, ) è parallelo al pao coordato, (pù precsamete la sua Dmostrazoe Sa δ > tale che B((,, δ ) E e s cosder la uzoe ϕ () t = ( + t, deta ell tervallo ] δ, δ [ che è dervable e evdetemete ha t = u mmo relatvo Allora s ha (per l aalogo rsultato oto per uzo d ua sola varable) ϕ ( = (, = Argometo del tutto smle cosete d provare che ache l altra dervata parzale è ulla e qud lo è l gradete Esercz: Trovare put stazoar delle seguet uzo: 3 (, ) 3 = + ; (, ) = log( + ) ; 4 4 (, ) = + 3( ) ; 3 (, ) = + + ; (, ) = e ; (, ) = + ; (, ) 3 = + ; ( ) (, ) = e + ; (, ) = log( + ) 8 (, ) = + (sugg: scrvere dapprma l seme d dezoe); ( ) I, realtà come s potrà otare el corso della dmostrazoe, l rsultato rmae valdo co la sola potes d essteza delle dervate parzal 3

2 Massm e Mm Soluzoe: (, ) 3 = + I put stazoar soo le soluzo del sstema = 3 3 = ( )( + ) = ( + 3 ) = 6 3 = + = (rcordado che l prodotto è ullo quado uo de due attor è ullo) = + = = + =, = = + 3 = + 3 = e duque l solo puto (, - (, ) = log( + ) I put stazoar soo le soluzo del sstema = = + = (, ) = (, + = log( ) = + + = + Nel seguto s arà uso delle seguet dezoe: Per ua uzoe z = (, ) dotata d dervate parzal secode cotue, la matrce smmetrca H (, ) dces matrce hessaa della uzoe (, ) ( ) (, ) (, ) = (, ) (, ) U puto stazoaro che o è puto d massmo e o è puto d mmo dces puto d sella (e duque l pao tagete u puto d sella è orzzotale e attraversa l graco della uzoe) Teorema (Codzoe sucete per gl estrem relatv): Sa z = (, ) ua uzoe dotata d dervate parzal secode cotue u aperto A e (, A u puto stazoaro (duque tale che (, ) = (, Allora soo valde le seguet mplcazo: ( ) E utle osservare, ma soltato al e d geeralzzare rsultat che qu sarao presetat al caso d uzo d tre o pù varabl, che la compoete d secodo grado ella ormula d Talor del secod orde s può ache scrvere ella (, ) H (, )(, ) orma 4

3 Massm e Mm a) det H (, > e (, > (, è u puto d mmo relatvo ; (, < (, è u puto d massmo relatvo b) det H (, < (, è u puto d sella Nota mportate: Se det H (, =, l teorema o cosete d are alcua aermazoe sulla atura del puto stazoaro ( 3 ) ; la sua atura va dvduata aalzzado la uzoe ell toro del puto Questa procedura, che o è stadard, verrà mostrata qualche eserczo, ma per le altà del corso deve rteers acoltatva Dmostrazoe (la parte corsvo o è sucetemete motvata): Essedo (, ) = (,, la ormula d Talor del secod orde d puto zale (, ) = (, ) (, s scrve el modo seguete: (, ( (, ( ( (, ( + o( (, ) (, ) ) valda u toro d (, ) Ora, l sego della somma degl ultm due added (e qud la relazoe tra (, ) e (, ) dpede dal sego della orma quadratca (quado aturalmete quest ultma è derete da, quato essa è tesma del secod orde metre l ultmo addedo è u tesmo d orde superore (al secodo; l asserto a questo puto segue dal lemma d paga, o appea s osserva che co smbol lì utlzzat s ha b a b ac < b c > Eserczo: Classcare put stazoar delle uzo preset el precedete eserczo, quado l teorema è utlzzable, e (acoltatvo) quado o è utlzzable (, ) 3 = + E stato gà provato che (, è l uco puto stazoaro oltre s ha = 6, = 6+ 6, = 6, dode H (, = e pertato o è utlzzable l teorema sulla classcazoe de put stazoar Però, dopo aver osservato che (, =, s vede mmedatamete che la uzoe (, ) assume valor postv e put del tpo (, ) co > e valor egatv e put (, ) co <, e cò cosete d aermare che (, è u puto d sella ( 3 ) I realtà aalzzado la dmostrazoe s può aermare che se è ache che (, possa essere u puto d massmo (rsp d mmo) 5 (, ) > (rsp < s può escludere

4 Massm e Mm - (, ) = log( + ) E oto che (, è l uco puto stazoaro (s veda l precedete eserczo) Ioltre s ha, =, = = = + = + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) dode H (, = e qud, essedo det( H (,) <, l puto (, è u puto d sella Eserczo (acoltatvo): Assegat put del pao, (, ),,(, ), trovare l puto (, ) che meglo l approssma el seso che qu d seguto è precsato: (, ) = mmzza la uzoe (, ) = ( ) + ( ) Soluzoe: Itato s dvduao put stazoar della uzoe (, ) che soo le soluzo del sstema: ( ) = = = = = = ( ) = = = = S ot che e soo rspettvamete la meda artmetca d ( ) =, e d ( ) =, (S vede mmedatamete che (, ) è u puto d mmo relatvo (scrvere la matrce hessaa)) Esso (dpedetemete da quato ora aermato) è u puto d mmo assoluto quato la uzoe è regolare tutto R ; lm (, ) =+ ; (, ) (, ) è l uco puto stazoaro della uzoe (Seza etrare el merto della dmostrazoe, ua sstuazoe aaloga per uzo d ua sola varable s ha co uzo del tpo ϕ ( ) = a + b + c co a > ) Eserczo (acoltatvo): Assegat put del pao, (, ),,(, ), trovare la retta d equazoe = α + β che meglo l approssma el seso che qu d seguto è precsato: Se = a + b è l equazoe della geerca retta del pao dces dstaza quadratca vertcale degl put dalla retta, l umero reale ( ab, ) = ( a b) = ; la retta cercata (che è deomata retta de mm quadrat) è tale che ( α, β ) è l puto d mmo assoluto della uzoe ( ab, ) Soluzoe: S cercao dapprma put stazoar della uzoe ( ab, ) che è deta R ; ess 6

5 Massm e Mm soo soluzo del sstema = = = a ( a b) = = a b= ( a b) a b = = = = b = = = Il sstema (se almeo due put soo dvers) ha u uca soluzoe ( α, β ), che è certamete u mmo assoluto (s veda l argometo utlzzato el precedete eserczo) La rappresetazoe della soluzoe s ottee, per esempo, el modo seguete Utlzzado la regola d Cramer s ha = = = = = = = = = = = α = = e da questa, utlzzado la secoda equazoe s ha β = α = = 7

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