h( x) = 3 x. Quale integrale definito dà il volume dell'acqua? Supposte le misure in metri,

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1 Corso d ordameto - Sessoe ordara - a.s. - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Tema d: MATEMATICA a. s. - Il caddato rsolva uo de due problem e rspoda a 5 quest del questoaro PROBLEMA S cosdero le uzo e dete, per tutt l real, da: ( ) e ( ) s. Fssato u coveete sstema d rermeto cartesao Oy, s studo e e se e dseo rspettv rac G e G. S calcolo le ascsse de put d tersezoe d G co la retta y. Successvamete, s cosdero put d [ 6,6] e se e dcho le coordate.. Sa R la reoe del pao delmtata da G e G a taete orzzotale la cu ascssa è compresa ell' tervallo G sull'tervallo [,]. S calcol l'area d R.. La reoe R rappreseta la superce lbera dell'acqua coteuta ua vasca. I o puto d R a dstaza dall'asse y la msura della proodtà dell'acqua ella vasca è data da h( ). Quale terale deto dà l volume dell'acqua? Supposte le msure metr, quat ltr d acqua cotee la vasca? PROBLEMA Sa la uzoe detta sull'seme R de umer real da ( ) ( a+ b) e + dove a e b soo due real che s chede d determare sapedo che I ammette u massmo el puto d'ascssa e che ( ).. S prov che a l e b -.. S stud su R la uzoe ( ) ( a+ b) e + e se e tracc l raco Γ el sstema d rermeto Oy.. S calcol l'area della reoe d pao del prmo quadrate delmtata da Γ, dall'asse y e dalla retta y. Il protto d ua azeda, mlo d euro, è stato rappresetato ella tabella sottostate desado co l'ao d osservazoe e co y l corrspodete prottto. Ao y,97,,9,7,8,76,65 S cerca ua uzoe che speh l eomeo dell'adameto del protto udcado + accettable ua uzoe deta su R se per cascu, oetto dell 'osservazoe, s ha: ( ) y. S verch, co l'auto d ua calcolatrce, che è accettable la uzoe del puto e s dca, ustcado la rsposta, se è vero che, tal caso, l'evoluzoe del eomeo o potrà portare a prott eror a mlo d euro.

2 Corso d ordameto - Sessoe ordara - a.s. - QUESTIONARIO. U serbatoo ha la stessa capactà del cldro d massmo volume scrtto ua sera d rao 6 cm. Quale è la capactà ltr del serbatoo?. S trov l puto della curva,. y pù vco al puto d coordate ( ). Sa R la reoe delmtata dalla curva y, dall'asse e dalla retta e sa W l soldo otteuto dalla rotazoe d R attoro all'asse y. S calcol l volume d W. Il umero delle combazo d oett a a è uuale al umero delle combazo del stess oett a a. S trov 5. S trov l'area della reoe delmtata dalla curva y cos e dall'asse da l a radat. ta ta a 6. S calcol lm a a 7. S prov che l'equazoe: + + ha ua sola radce compresa ra - e. 8. I che cosa cosste l problema della quadratura del cercho? Perchè è così spesso ctato? 9. S prov che, ello spazo ordaro a tre dmeso, l luoo eometrco de put equdstat da tre vertc d u traolo rettaolo è la retta perpedcolare al pao del traolo passate per l puto medo dell 'poteusa.. Nella ura a lato, deotat co I, II e III, soo dseat tre rac. Uo d ess è l raco d ua uzoe, u altro lo è della uzoe dervata e l'altro acora d. Quale delle seuet alteratve detca correttamete cascuo de tre rac? ' '' A) I II III B) I III II C) II III I D) III II I E) III I II S motv la rsposta. Durata massma della prova: 6 ore. È cosetto l uso della calcolatrce o prorammable. No è cosetto lascare l Isttuto prma che sao trascorse ore dalla dettatura del tema.

3 Corso d ordameto - Sessoe ordara - a.s. - PROBLEMA S cosdero le uzo e dete, per tutt l real, da: Puto ( ) e ( ) s Fssato u coveete sstema d rermeto cartesao Oy, s studo e e se e dseo rspettv rac G e G Studamo la uzoe ( ) Domo: R; : Itersezoe ascsse: ( ) ( )( + ) ; Itersezo ordate: ( ) ; Smmetre: la uzoe è dspar quato somma d uzo dspar; att ( ) ( ) ( ) + ( ) Postvtà: la cubca ( ) ; è attorzzable ( ) ( ) sol attor e della uzoe stessa soo rappresetat el quadro a lato: ; lo studo del seo de > ( ) > < > ( ) > < < > Astot vertcal: o ve e soo quato l domo è R; Astot orzzotal: ( ) ± lm per cu o ve e soo; ± Astot oblqu: o ve e soo quato ( ) lm + ; ± Cresceza e decresceza: la dervata prma è '( ) per cu è strettamete crescete,, + e strettamete decrescete, per cu 6 M, è u massmo e 9 de se: 6 m, è u mmo come raurato el quadro 9

4 Corso d ordameto - Sessoe ordara - a.s. - ' ' ' ( ) ( ) ( ) > < < ± < < > massmo mmo Cocavtà e covesstà: ''( ) 6 per cu la uzoe ha cocavtà verso l alto (,+ ) verso l basso (,) qud (,) e F è u lesso a taete oblqua d equazoe y. '' '' '' ( ) > > ( ) < < ( ) - + lesso Il raco G è d seuto presetato: La uzoe ( ) s( ) è ua classca uzoe susodale, dspar, d perodo T che terseca l asse delle ascsse e put k co k Z e l raco G è l seuete:

5 Corso d ordameto - Sessoe ordara - a.s. - Puto S calcolo le ascsse de put d tersezoe d G co la retta y. Successvamete, s cosdero put d [ 6,6] e se e dcho le coordate. G a taete orzzotale la cu ascssa è compresa ell' tervallo Le tersezo d co la retta y s calcolao rsolvedo l equazoe + ; utlzzado la reola d Ru l equazoe dveta ( )( + ) ±,. da cu I put d ( ) a taete orzzotale soo put cu s aulla la dervata prma co k Z e '( ) cos( ) e coè ' ( ) cos( ) k+ k+ ell tervallo [ 6,6] tal put soo ±, ±, ±,, ±, ±, ±,, ±, ±, ±,. Alteratvamete, pochè put a taete orzzotale soo massm e mm della susode, s avrà: Massm: s + k + k co k Z Mm: s + k + k co k Z Nell tervallo [ 6,6] compredete 6 perod c soo 6 massm e se mm: massm hao ascssa + k co 6< + k < 6 k Z < k < k Z k,,,,, ed ordata y e soo,,,,,,,,,,, ; mm hao ascssa 5

6 Corso d ordameto - Sessoe ordara - a.s k co 6< + k < 6 k Z < k < k Z k,,,,, ed ordata y e soo,,,,,,,,,,,. Abbamo così rtrovato l stess put precedetemete calcolat. Puto Sa R la reoe del pao delmtata da G e G sull'tervallo [,] La reoe R d cu calcolare l area è d seuto raurata ro:. S calcol l'area d R. Dalla ura soprastate s evche charamete che l raco raco [,]. G [,] sta sempre al d sopra del G ; tuttava prma d procedere al calcolo mostramo aaltcamete che ( ) ( ) Nell tervallo [,] la dsuualaza è vercata quato dal seo d etrambe deducamo che ( ) ( ). Nell tervallo, la uzoe ( ) s( ) codomo [,] metre la uzoe ( ) quato la uzoe seo ha come è cocava verso l alto quato ha dervata 5 per covesstà è 8 secoda ''( ) 6 postva e, oltre, poché ( ) <, < more d tutto,. Per dmostrare che vale la dsuualaza ( ) ( ) tervallo ell uoe de due sotto-tervall ache, suddvdamo suddetto 5 5,, e zamo a provare che etramb 6

7 Corso d ordameto - Sessoe ordara - a.s. - sotto-tervall ( ) '( ) '. I ouo de due sotto-tervall etrambe le uzo soo crescet per cu valoo le seuet catee d dsuualaze: ' ' 5 5 ( ) cos( ) ' ' '( ) ( ) cos( ) ' ( ) ' '( ) ' ',. da cu deducamo ( ) ( ) Ora poché ( ) ( ) vale la seuete dsuualaza: ( ) ( ) '( t) dt '( t) '( t) '( t) ( t) dt ( ) ' ( t) dt ( ) dt ' coè ( ) ( ) ache, I detva l area rchesta vale S ( R) [ ( ) ( ) ] d s( ) ; coclusoe abbamo provato che ( ) ( ) [,] cos [ ] ( ) + d Puto La reoe R rappreseta la supertce lbera dell'acqua coteuta ua vasca. I o puto d R a dstaza dall'asse y la msura della proodtà dell'acqua ella vasca è data da h ( ). Quale terale deto dà l volume dell'acqua? Supposte le msure metr, quat ltr d acqua cotee la vasca? Per l calcolo del volume s può raoare quersto modo. U pao perpedcolare ala superce lbera dell acqua terseca quest ultma secodo u semeto d luhezza [ ( ) ( ) ] [ ] ( ) sezoe è u rettaolo d base ( ) ( ) s + ed altezza h( ) area A( ) ( s + ) ( ), tesmo è dv A( ) d [( s + ) ( ) ] d co [ ] [ ( s + ) ( ) ] V d per cu la e qud d. Se s cosdera uo spessore d l volumetto pertato l volume rchesto è Utlzzado l terazoe per part e la ormula d terazoe delle uzo polomal, l volume è 7

8 Corso d ordameto - Sessoe ordara - a.s. - V [ ( s + ) ( ) ] d [ ( ) s( ) ] d+ ( + ) ( ) cos( ) s( ) m 5 5 Poché m dm e l 6 + ltr 869,95 ltr d dm ltr coteut ella vasca soo 8

9 Corso d ordameto - Sessoe ordara - a.s. - PROBLEMA Sa la uzoe detta sull'seme R de umer real da ( ) ( a+ b) e + dove a e b soo due real che s chede d determare sapedo che I ammette u massmo el puto d'ascssa e che ( ). Puto S prov che a l e b -. La dervata della uzoe ( ) ( a+ b) e + ' ( ) ( a+ b) a a b + è ae e e. Impoedo la preseza del massmo e qud '( ) s rcava + b a, b a. Puto a ; mpoedo vece ( ) s rcava b ; coclusoe S stud su R la uzoe ( ) ( a+ b) e + e se e tracc l raco Γ el sstema d rermeto Oy. Ivece d studare la uzoe ( ) ( ) e +, procederemo allo studo della uzoe auslara ( ) ( ) e e po l raco Γ d ( ) lo rcaveremo da quello d ( ) quest ultmo verso le ordate postve d ua quattà par a. Studamo qud ( ) ( ) e Domo: R : traslado Itersezoe ascsse: ( ) ( ) e ( ) Itersezo ordate: ( ) ; pochè e ; > R Postvtà: ( ) ( ) e > > pochè e ; > R Astot vertcal: o ve e soo quato l domo è R; Astot orzzotal: lm ( ) lm( ) e + metre 9

10 Corso d ordameto - Sessoe ordara - a.s. - ( ) ( ) ( ) De L'Hosptal lm lm lm lm per cu la retta y è + + e astoto orzzotale destro; + e + Astot oblqu: o ve e soo quato lm + ( ) lm e + ; e lm ( ) + + lm e + Cresceza e decresceza: la dervata prma è ' ( ) e per cu ( ) e è strettamete crescete (,) e strettamete decrescete (,+ ) è u massmo relatvo ed assoluto; per cu M,e ' ' ' ( ) > < ( ) < > ( ) + - massmo Cocavtà e covesstà: ' '( ) e e e per cu ( ) cocava verso l alto ( 7,+ ) e verso l basso (,7) 7 F 7,6e è u lesso a taete oblqua. è da cu deducamo che '' '' '' ( ) > < 7 ( ) < > 7 ( ) lesso La uzoe ( ) coserva la stessa ascssa d massmo assoluto d ( ) metre l ordata è cremetata d, coè M,e + ; aaloamete l puto d lesso a taete oblqua sarà 7 F 7,6e + metre l astoto orzzotale sarà y. Il puto cu ( ) terseca l asse delle

11 Corso d ordameto - Sessoe ordara - a.s. - ascsse, vece, o può essere deto a partre da quello cu ( ) terseca lo stesso asse. I questo caso l valore approssmato può essere calcolato tramte l metodo delle taet o d Newto-Raphso che permette d calcolare teratvamete la radce tramte la ormula + ( ) '( ) ( ) <, ( ) > ( ) e + ( ) + e + 9e e +. Pochè l uco zero, per l teorema del zer per le uzo cotue, apparterrà all tervallo (, ) ( ) e ''( ). Applchamo allora l metodo suddetto co puto zale cu soo cocord. La tabella seuete mostra tutt pass dell alortmo: per cu co u errore pressocchè ullo possamo aermare che ( ),88. I rac d ( ) e ( ) cotua l raco Γ e tratteato e + -, -,7 -,7 -,96,7 -,96 -,88,7 -,88 -,88,8 -,88 -,88, terseca l asse delle ascsse soo d seuto presetat el medesmo rermeto cartesao ( ra G ):

12 Corso d ordameto - Sessoe ordara - a.s. - Puto S calcol l'area della reoe d pao del prmo quadrate delmtata da Γ, dall'asse y e dalla retta y La retta y terseca la uzoe ( ) ( ) e + raurata ro è par a S [ ( ) ] d ( ), per cu l area rchesta, d seuto e d. Utlzzado l terazoe per part s ha: ( ) e d ( ) e e d ( ) e + 9e ( + ) e 9e 6 Puto Il protto d ua azeda, mlo d euro, è stato rappresetato ella tabella sottostate desado co l'ao d osservazoe e co y l corrspodete prottto. Ao y,97,,9,7,8,76,65 S cerca ua uzoe che speh l eomeo dell'adameto del protto udcado accettable ua uzoe deta su + R se per cascu, oetto dell 'osservazoe, s ha: ( ) y. S verch, co l'auto d ua calcolatrce, che è accettable la uzoe del puto e s dca, ustcado la rsposta, se è vero che, tal caso, l'evoluzoe del eomeo o potrà portare a prott eror a mlo d euro. Attraverso l utlzzo della calcolatrce scetca rportamo valor assut dalla uzoe

13 Corso d ordameto - Sessoe ordara - a.s. - ( ) ( ) e + per,,,,5, 6 : Ao y,97,,9,7,8,76,65 ( ) e + e + e + e + 5e + ( ) y,,,, 6, 9,, 7 5 Dalla tabella d valor soprastate deducamo che la uzoe ( ) ( ) e + è accettable per speare l eomeo dell adameto del protto. Vsto che ( ) per o possamo cocludere che col passare del a l atturato o potrà ma essere erore a mlo d euro.

14 Corso d ordameto - Sessoe ordara - a.s. - QUESTIONARIO Questo U serbatoo ha la stessa capactà del cldro d massmo volume scrtto ua sera d rao 6 cm. Quale è la capactà ltr del serbatoo? Il questo può essere rsolto var mod, e presetamo due, l prmo che a uso d u metodo aaltco ed l secodo d u metodo stetco. Metodo aaltco Cosderamo la seuete ura rappresetate sezoe l cldro scrtto ua sera: Idchamo co, co < < 6, l altezza CB del cldro; d coseueza OH e l quadrato del rao d base del cldro è HB qud V( ) HB CB ( 6 ) la dervata prma: V '( ) ( 6 ) V ' V ' ( ) > < < ( ) < < ( ) OB OH 6 ; l volume del cldro è e per calcolare l valore massmo basta calcolare l cu seo è < 6 V ' massmo da cu rcavamo che l volume è massmo per e coè per altezza del cldro h cm e rao d base r 6cm. Il valore massmo, rcordado che dm cm l, è pertato V ma [ ( 6 )] 96 cm 96 dm 5,7 ltr Metodo stetco Idchamo co l dametro d base del cldro, co y la sua altezza e co. R 6cm l rao

15 Corso d ordameto - Sessoe ordara - a.s. - della sera. I orza d queste assuzo, applcado l teorema d Ptaora s ha AB + BC AC + y R. Il volume del cldro è V(, y) y se è massma la quattà y ( y ) ed esso è massmo : trattados del prodotto d due poteze postve e pochè e y hao somma costate (par a R ), l massmo lo s avrà quado le bas soo proporzoale al espoet e qud se y che equvale a y da cu, sosttuedo + y R, s ottee R, y R V 6 R, R 9 Questo R S trov l puto della curva Il volume massmo è cm 96 dm 5,7 ltr. y pù vco al puto d coordate (,). U puto P della curva ha coordate (, ) e la dstaza dal puto (,) è d ( ) ( ) + ( ) Massmzzare la uzoe dstaza è equvalete a massmzzare la uzoe quadrato della dstaza, per cu massmzzeremo la uzoe h ( ) d ( ) 7+ 6 ; la dervata prma è h '( ) 7 per cu la uzoe ( ) h è strettamete crescete 7,+ e strettamete decrescete 7, per cu preseta u mmo all ascssa 7. Il puto pù vco è qud 7, e la dstaza mma è d m

16 Corso d ordameto - Sessoe ordara - a.s. - Questo Sa R la reoe delmtata dalla curva y, dall'asse e dalla retta e sa W l soldo otteuto dalla rotazoe d R attoro all'asse y. S calcol l volume d W S cosder la ura sottostate rappresetate la eometra del questo: Il volume rchesto è par alla dereza tra l volume del cldro d altezza 8 e rao d base e l volume del soldo otteuto dalla rotazoe della curva ( y) y, y 8 ; l volume del cldro è V A h 8 metre l volume del soldo otteuto dalla rotazoe della curva C b ( ), y y y 8 è VD ( y) dy y dy y I coclusoe 96 6 V VC VD. 5 5 Alteratvamete pesamo la reoe R decomposta tat ouo de qual eera u soldo par alla dereza d due cldrett, modo che, tutvamete potremo pesare W come somma proressva d t usc cldrc coassal d spessore d, dove l rao vara da a. Il volume del usco (tesmo) può essere calcolato come prodotto dell area crcolare d base d rao estero ( ) + e rao tero Trascurado l tesm d orde superore a V 8 [ ], per l altezza: V ( + ). l volume tesmo sarà. Se l umero d usc cldrc cu suddvdamo l tervallo [,] è N l volume rchesto sarà: V N N lm V lm + + N N 5 d

17 Corso d ordameto - Sessoe ordara - a.s. - Questo Il umero delle combazo d oett a a è uuale al umero delle combazo del stess oett a a. S trov S deve rsolvere l equazoe Rcordado che C, k D, k k! C, C,, N. La codzoe d essteza è. ( ) ( ) ( k+ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k!, co k. Nel caso esame C,, C, e mpoedo l uualaza!! s ha: ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( 7) 6 cu,,, 7. Pochè per la codzoe d essteza deve essere la soluzoe accettable è 7. I alteratva, rcordado la propretà d smmetra de coecet bomal essedo k ed k, l uualaza è soddsatta se e qud se 7. Questo 5 S trov l'area della reoe delmtata dalla curva radat. L area rchesta è raurata ro d seuto: da, k k y cos e dall'asse da l a Rcordado che l coseo camba seo, da eatvo a postvo corrspodeza d l area S cos d cos d [ s ] [ s ] s( ) s( ) + s( ) s( ),5. 7

18 Corso d ordameto - Sessoe ordara - a.s. - Questo 6 S calcol ta lm a ta a a Il problema s poe per a apparteete al domo della uzoe taete e coè per a + k, k Z. Il lmte applcado de l Hoptal s ha ta ta a lm s preseta ella orma determata / per cu a a lm a cos cos l lmte rchesto cocde co la dezoe d dervata della uzoe Questo 7 a. U rsultato del eere era prevedble quato ta a. S prov che l'equazoe: + + ha ua sola radce compresa ra - e. La uzoe ( ) + + è cotua e strettamete crescete tutto l domo R quato la dervata prma '( ) + è sempre postva; oltre assume al estrem dell tervallo (,) seo dscorde quato ( ) <, ( ) > per cu a orma del teorema del zer per le uzo cotue esste u uco zero dell equazoe ( ) + + e compreso (,). Alteratvamete la soluzoe dell equazoe può essere rcavata per va raca rsolvedo l sstema y. La curva y + y è ua poteza ad espoete dspar, deta R, postva per <, strettamete decrescete tutto l domo e preseta (,) u lesso a taete orzzotale d equazoe y ; la curva y +, vece, ua retta. Questo 8 I che cosa cosste l problema della quadratura del cercho? Perchè è così spesso ctato? La quadratura del cercho, asseme al problema della trsezoe dell'aolo e a quello della duplcazoe del cubo, costtusce u problema classco della eometra reca. I sostaza quello della quadratura del cercho o è altro che u classco problema d matematca (pù precsamete d eometra) l cu scopo è costrure u quadrato che abba la stessa area d u dato cercho, co uso esclusvo d ra e compasso. Dal puto d vsta alebrco, dcat co r l rao del cercho e co l l lato del quadrato da trovare, vale la relazoe: r l l r 8

19 Corso d ordameto - Sessoe ordara - a.s. - Nel 88 u dmostrato che o era possble costrure u lato d msura l r solo co ra e compasso e cò derva dal atto che l umero è trascedete. Questo 9 S prov che, ello spazo ordaro a tre dmeso, l luoo eometrco de put equdstat da tre vertc d u traolo rettaolo è la retta perpedcolare al pao del traolo passate per l puto medo dell 'poteusa. Foramo due tp d soluzoe al questo, ua co metodo stetco ed ua co metodo aaltco. Metodo stetco Cosderamo la ura sottostate: O traolo rettaolo è scrvble ua crcoereza d cetro M, puto medo dell poteusa BC, e rao BM MC AM. Per questo motvo, preso u qualsas puto P sulla perpedcolare per M al pao del traolo, le tre dstaze PA, PB e PC soo uual quato poteuse d tre traol rettaol, PAM PBM - PMC, avet catet coruet. Per dmostrare che la retta questoe è l luoo rchesto dobbamo dmostrare che o puto equdstate da A, B e C s trova su tale retta. A tale scopo basta otare che l luoo de put equdstat da A e B è l pao perpedcolare ad AB el suo puto medo, aaloamete per A e C e per B e C: put equdstat da A, B e C apparteoo cotemporaeamete a quest tre pa, che hao comue propro la retta perpedcolare al pao del traolo ABC el puto medo M dell poteusa BC. Metodo aaltco Cosderamo u sstema d coordate ello spazo modo che vertc del traolo rettaolo soo O (,,), A( a,,), B(, b,) e sa P ( y, z), u eerco puto dello spazo. La codzoe AP BP OP, rcordado la ormula della dstaza tra due put, s rcoduce a: ( a) ( ) ( y b) + y + z + + z + y + ( ) ( ) z 9

20 Corso d ordameto - Sessoe ordara - a.s. - Uualado la ( ) e la ( ) rcavamo a metre uualado la ( ) e la ( ) rcavamo b y, coè otteamo le equazo della retta perpedcolare al traolo, apparteete al a b pao z, e passate per l puto,, Questo Nella ura a lato, deotat co I, II e III, soo dseat tre rac. Uo d ess è l raco d ua uzoe, u altro lo è della uzoe dervata e l'altro acora d. Quale delle seuet alteratve detca correttamete cascuo de tre rac? ' '' A) I II III B) I III II C) II III I D) III II I E) III I II S motv la rsposta. La rsposta esatta è D. cocdete co l puto medo del lato AB. Iatt se assumamo come la uzoe III c redamo coto che la dervata prma s aulla due put corrspodeza del massmo e del mmo relatvo che assume. Ioltre deve avvere che la dervata prma deve essere postva tra meo to e l massmo d, eatva tra massmo e mmo, e po d uovo postva dal mmo po. E cò è quello che succede ella uzoe II. Ioltre la dervata secoda deve azzerars solo zero che è lesso per, passado da valor eatv a valor postv, cosa che accade per la uzoe I. Alteratvamete possamo otare come delle tre uzo, due soo dspar e coè I e III e ua è par, la II. Vsto che la dervata d ua uzoe dspar è par e vceversa, la uzoe dervata prma o può essere che la II. I questo modo le alteratv possbl restao la A e la D. Ma la A va scartata quato la uzoe II assume sa valor postv che eatv e qud o può essere la dervata della I, perchè dervado la I s ottee ua uzoe sempre postva. Pertato l alteratva corretta è la D.