Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria 2011, matematicamente.it PROBLEMA1

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1 Ncola De Rosa, Lceo scentco d ordnamento sessone ordnara, matematcamente.t PROBLEMA S consderno le unzon e dente, per tutt l real, da: e sn. Fssato un convenente sstema d rermento cartesano Oy, s studno e e se ne dsenno rspettv rac G e G.. S calcolno le ascsse de punt d ntersezone d G con la retta y. Successvamente, s consderno punt d G a tanente orzzontale la cu ascssa è compresa nell ntervallo 6,6 e se ne ndchno le coordnate.. Sa R la reone del pano delmtata da G e G sullntervallo,. S calcol larea d R.. La reone R rappresenta la superce lbera dellacqua contenuta n una vasca. In on punto d R a dstanza dallasse y la msura della proondtà dellacqua nella vasca è data da h. Quale nterale dento dà l volume dellacqua? Supposte le msure n metr, quant ltr d acqua contene la vasca? RISOLUZIONE Punto Studamo la unzone : Domno: R; Intersezone ascsse: ; Intersezon ordnate: ; Smmetre: la unzone è dspar n quanto somma d unzon dspar; ; natt

2 Ncola De Rosa, Lceo scentco d ordnamento sessone ordnara, matematcamente.t Postvtà: la cubca è attorzzable n lo studo del seno de snol attor e della unzone stessa sono rappresentat nel quadro a lato: ; Asntot vertcal: non ve ne sono n quanto l domno è R; Asntot orzzontal: lm per cu non ve ne sono; Asntot oblqu: non ve ne sono n quanto Crescenza e decrescenza: la dervata prma è lm ; massmo mnmo per cu è strettamente crescente n strettamente decrescente n,, e, 6 per cu M, è 9

3 Ncola De Rosa, Lceo scentco d ordnamento sessone ordnara, matematcamente.t 6 un massmo e m, è un mnmo come raurato nel 9 quadro de sen: Concavtà e convesstà: 6 per cu la unzone ha concavtà verso l alto n, e verso l basso n, qund F, è un lesso a tanente oblqua d equazone y. lesso - + Il raco G è d seuto presentato: La unzone sn è una classca unzone snusodale, dspar, d perodo T che nterseca l asse delle ascsse ne punt k con k Z e l raco G è l seuente:

4 Ncola De Rosa, Lceo scentco d ordnamento sessone ordnara, matematcamente.t Punto Le ntersezon d con la retta y s calcolano rsolvendo l equazone ; utlzzando la reola d Run l equazone dventa da cu,. I punt d a tanente orzzontale sono punt n cu s annulla la cos e coè dervata prma cos k k con k Z e nell ntervallo 6,6 tal punt sono : 5 7 9,,,,,,,,,,,. Possamo procedere n un altro modo. Poché punt a tanente orzzontale sono massm e mnm della snusode, s avrà: Massm: sn k k con k Z Mnm: sn k k con k Z Nell ntervallo 6,6 comprendente 6 perod c sono 6 massm e se mnm: massm hanno ascssa k con 6 k 6 k Z k k Z k,,,,, ed ordnata y e sono,,,,,,,,,,, ; mnm hanno ascssa k con k 6 k Z k k Z k,,,,,

5 Ncola De Rosa, Lceo scentco d ordnamento sessone ordnara, matematcamente.t ed ordnata y e sono 9 5 7,,,,,,,,,,,. Abbamo così rtrovato l stess punt precedentemente calcolat. Punto La reone R d cu calcolare l area è d seuto raurata n ro: Dalla ura soprastante s evnce charamente che l raco sta sempre al d sopra del raco G n, G ; tuttava prma d procedere al,. calcolo mostramo analtcamente che Nell ntervallo, la dsuualanza è vercata n quanto dal seno. d entrambe deducamo che Nell ntervallo, la unzone sn n quanto la unzone seno ha come codomno, mentre la unzone è concava verso l alto, natt la sua dervata seconda 5

6 Ncola De Rosa, Lceo scentco d ordnamento sessone ordnara, matematcamente.t 6 6 è postva e, noltre, poché e 5 8 per convesstà è mnore d n tutto,. Per dmostrare che vale la dsuualanza anche n, suddvdamo suddetto ntervallo nell unone de due sotto-ntervall, 5 5, e nzamo a provare che n entramb sotto-ntervall. In onuno de due sotto-ntervall entrambe le unzon sono crescent per cu valono le seuent catene d dsuualanze: 5 cos 5 cos da cu deducamo,. Ora poché vale la seuente dsuualanza: dt t dt t dt t dt t t t coè anche n, ; n conclusone abbamo provato che,. In dentva, l area rchesta vale 8 cos sn d d R S

7 Ncola De Rosa, Lceo scentco d ordnamento sessone ordnara, matematcamente.t Punto Per l calcolo del volume s può raonare n quersto modo. Un pano perpendcolare ala superce lbera dell acqua nterseca quest ultma per cu la sezone è un secondo un semento d lunhezza rettanolo d base sn h A sn, e qund d area ed altezza con. Se s consdera uno spessore d l volumetto nntesmo è dv A d sn d pertanto l volume rchesto è V sn Utlzzando l nterazone per part e la ormula d nterazone delle unzon polnomal, l volume è sn V d d sn d d cos sn 6 m 5 5 Poché m dm e dm l ltr contenut nella vasca sono 6 ltr 869,95 ltr. 5 7

8 Ncola De Rosa, Lceo scentco d ordnamento sessone ordnara, matematcamente.t PROBLEMA Sa la unzone denta sullnseme R de numer real da a be dove a e b sono due real che s chede d determnare sapendo che I ammette un massmo nel punto dascssa e che.. S prov che a = l e b = -.. S stud su R la unzone a be e se ne tracc l raco nel sstema d rermento Oy.. S calcol larea della reone d pano del prmo quadrante delmtata da, dallasse y e dalla retta y. Il protto d una azenda, n mlon d euro, è stato rappresentato nella tabella sottostante desnando con lanno d osservazone e con y l corrspondente protto. Anno y,97,,9,7,8,76,65 S cerca una unzone che speh l enomeno dellandamento del protto udcando accettable una unzone denta su R se per cascun, oetto dellosservazone, s ha: y. S verch, con lauto d una calcolatrce, che è accettable la unzone del punto e s dca, ustcando la rsposta, se è vero che, n tal caso, levoluzone del enomeno non potrà portare a prott neror a mlon d euro. 8

9 Ncola De Rosa, Lceo scentco d ordnamento sessone ordnara, matematcamente.t Punto RISOLUZIONE Per avere un massmo dobbamo supporre avrebbe l andamento d una classca unzone esponenzale che non ha massmo. La dervata della unzone a be a b a a b ae e e a altrment è. Imponendo la presenza del massmo n e qund s rcava a b ; mponendo nvece s rcava b ; n conclusone a, b a. Punto Invece d studare la unzone data e procederemo allo studo della unzone auslara e e po rcaveremo l raco d da quello d traslando quest ultmo verso le ordnate postve d una quanttà par a. e : Studamo qund Domno: R Intersezone ascsse: e e R ; Intersezon asse delle ordnate: ; poché 9

10 Ncola De Rosa, Lceo scentco d ordnamento sessone ordnara, matematcamente.t poché ; Postvtà: e e R Asntot vertcal: non ve ne sono n quanto l domno è R; Asntot orzzontal: lm lm e De LHosptal lm lm lm lm mentre per cu la e e retta y è asntoto orzzontale destro; Asntot oblqu: non ve ne sono n quanto lm lm e e lm massmo + - lesso e lm e ; e per, e strettamente decrescente Crescenza e decrescenza: la dervata prma è cu è strettamente crescente n n, per cu Concavtà e convesstà: verso l alto n M,e è un massmo relatvo ed assoluto; 9, 7 9 e e e per cu 7 F 7,6e è un lesso a tanente oblqua. 7 e verso l basso n,7 è concava da cu deducamo che

11 Ncola De Rosa, Lceo scentco d ordnamento sessone ordnara, matematcamente.t La unzone conserva la stessa ascssa d massmo assoluto d mentre l ordnata è ncrementata d, coè 7 M,e ; l punto d lesso a tanente oblqua è F 7,6e mentre l asntoto orzzontale sarà y. Il punto n cu nterseca l asse delle ascsse, nvece, non può essere dento a partre da quello n cu nterseca lo stesso asse. In questo caso l valore approssmato può essere calcolato tramte l metodo delle tanent o d Newton- Raphson che permette d calcolare teratvamente la radce tramte la ormula: n n n e n n n n n n e n n n n n n 9e 9e n n Poché, l unco zero, per l teorema del zer per le unzon contnue, apparterrà all ntervallo,. Applchamo allora l metodo suddetto con punto nzale e n cu sono concord. La tabella seuente mostra tutt pass dell alortmo:

12 Ncola De Rosa, Lceo scentco d ordnamento sessone ordnara, matematcamente.t n n n n n -, -,7 -,7 -,96,7 NO -,96 -,88,7 NO -,88 -,88,8 SI per cu con un errore nerore al centesmo possamo aermare che nterseca l asse delle ascsse n, 9. I rac d e sono d seuto presentat nel medesmo rermento cartesano (n ra contnua l raco e n tratteato G ): Punto La retta y= nterseca la unzone () n =, per cu l area della reone nta d pano, d seuto raurata n ro, è par a S d e d.

13 Ncola De Rosa, Lceo scentco d ordnamento sessone ordnara, matematcamente.t Utlzzando l nterazone per part s ha: e d e e d e 9e e 9e 6 Se, nvece, s ntende calcolare l area della reone nnta d pano del prmo quadrante delmtata da, dallasse y e dalla retta y quest ultma è par a: S d d e d e d. Sruttando l nteral calcolat precedentemente, l area dventa:

14 Ncola De Rosa, Lceo scentco d ordnamento sessone ordnara, matematcamente.t S 9e e d e d e 6 9e 8e 6 n cu s è sruttato l rsultato lm e. e Punto Attraverso l utlzzo della calcolatrce scentca rportamo valor assunt dalla unzone e per,,,,5, 6 : Anno y,97,,9,7,8,76,65 e e e e 5e,,,, 6, 9,, 7 Dalla tabella d valor soprastante deducamo che la unzone y e y è accettable, secondo l crtero ssato, per speare l enomeno dell andamento del protto. Tuttava, nonostante per on, non possamo dre che l evoluzone del enomeno porterà prott non neror a mlon d euro e cò è dovuto al atto che l approssmazone è accettable secondo l crtero y. Ad esempo, per 8, 8 7e 6 dventa per cu la condzone 5 y

15 Ncola De Rosa, Lceo scentco d ordnamento sessone ordnara, matematcamente.t 8 y8 8 y8 8 e y8 e e con un approssmazone con tre cre decmal possamo scrvere,9 y 8, per cu non abbamo nessuna aranza che l protto nel non sarà nerore a mlon d euro. 5

16 Ncola De Rosa, Lceo scentco d ordnamento sessone ordnara, matematcamente.t QUESTIONARIO Questo Un serbatoo ha la stessa capactà del clndro d massmo volume nscrtto n una sera d rao 6 cm. Quale è la capactà n ltr del serbatoo? Il questo può essere rsolto n var mod, ne presentamo due, l prmo che a uso d un metodo analtco ed l secondo d un metodo sntetco. Metodo analtco Consderamo la seuente ura rappresentante n sezone l clndro nscrtto n una sera. Indchamo con, con 6, l altezza CB del clndro; d conseuenza OH e l HB CB 6 V e per calcolarne l valore massmo basta calcolarne V 6 l cu seno è la dervata prma: V V V 6 + massmo - 6 da cu rcavamo che l volume è massmo per e coè per altezza del clndro h cm e rao d base r 6cm. 6

17 Ncola De Rosa, Lceo scentco d ordnamento sessone ordnara, matematcamente.t Il valore massmo, rcordando che dm cm l, è pertanto V V 96 cm 96 dm 5,7 ma ltr Metodo sntetco Indchamo con l dametro d base del clndro, con y la sua altezza e con R 6cm l rao della sera. In orza d queste assunzon, applcando l teorema d Ptaora s ha AB V BC AC, y y y R. Il volume del clndro è ed esso è massmo se è massma la quanttà y y : trattandos del prodotto d due potenze postve e poché e y hanno somma costante (par a R ), l massmo lo s avrà quando le bas sono proporzonal al esponent e qund se y che equvale a y da cu, sosttuendo n y R, 6 s ottene R, y R. Il volume massmo è 6 Vma V R, R R 96 cm dm 5,7 ltr. 7

18 Ncola De Rosa, Lceo scentco d ordnamento sessone ordnara, matematcamente.t Questo S trov l punto della curva,. y pù vcno al punto d coordnate E possble rsolvere l questo attraverso due metod, l prmo che a uso del strument dell anals nntesmale e l secondo che, nvece, utlzza l strument della eometra analtca. L presentamo entramb. Metodo analtco Un punto P della curva, posto, ha coordnate 8, e la dstanza dal punto (,) è d 7 6. Mnmzzare la unzone dstanza è equvalente a mnmzzare la unzone quadrato della dstanza, per cu mnmzzeremo la unzone h d 7 ; la dervata prma è h 7 per cu 6 7 la unzone h è strettamente crescente n, e strettamente 7 7 decrescente n, per cu presenta un mnmo all ascssa. In alternatva, poché h d 7 6 è l equazone d una parabola con concavtà verso l alto, l mnmo è raunto nell ascssa del vertce b 7 a. Metodo eometrco Il punto Q a dstanza mnma è l punto della curva la cu tanente è perpendcolare al semento PQ, coè tale che l prodotto de coecent anolar vala -. Il enerco coecente della retta tanente è m con mentre l coecente anolare della retta PQ è

19 Ncola De Rosa, Lceo scentco d ordnamento sessone ordnara, matematcamente.t m. Imponendo m m s rcava da cu In ambo cas l punto pù vcno è, e la dstanza mnma è Questo d mn 7 Sa R la reone delmtata dalla curva y, dallasse e dalla retta e sa W l soldo ottenuto dalla rotazone d R attorno allasse y. S calcol l volume d W 7 5 S consder la ura sottostante rappresentante la eometra del questo: Il volume rchesto è par alla derenza tra l volume del clndro d altezza 8 e rao d base e l volume del soldo ottenuto dalla 9

20 Ncola De Rosa, Lceo scentco d ordnamento sessone ordnara, matematcamente.t y y, y ; l volume del clndro è rotazone della curva 8 V C A h 8 mentre l volume del soldo ottenuto dalla b rotazone della curva y y, y 8 è VD ydy y dy y V VC VD In conclusone 5 5. Possamo rsolvere l questo n altro modo. Pensamo la reone R decomposta n tant rettanol onuno de qual enera un soldo par alla derenza d due clndrett, n modo che, ntutvamente potremo pensare W come somma proressva d nnt usc clndrc coassal d spessore d, dove l rao vara da a. Il volume del usco (nntesmo) può essere calcolato come prodotto dell area crcolare d base d rao esterno e rao nterno, per l altezza: V. Trascurando l nntesm d ordne superore a l volume nntesmo sarà V. Se l numero d usc clndrc n cu suddvdamo l ntervallo, è N l volume rchesto sarà: V lm N V lm N N N 5 d

21 Ncola De Rosa, Lceo scentco d ordnamento sessone ordnara, matematcamente.t Questo Il numero delle combnazon d n oett a a è uuale al numero delle combnazon del stess oett a a. S trov n. S deve rsolvere l equazone Cn, Cn,, n N. n La condzone d esstenza è n. n Dn, k n n n n k Rcordando che Cn, k, k! k! con n k. Nel caso n esame n n n n n n n n Cn,, Cn,!! e mponendo l uualanza s ha: n n n n n n n n n n n n 6 n n n n 7 da cu n,,, 7. Poché per la condzone d esstenza deve essere n la soluzone accettable è n 7. In alternatva, rcordando la propretà d smmetra de coecent n n bnomal, essendo k ed n k, l uualanza è k n k soddsatta se n e qund se n 7.

22 Ncola De Rosa, Lceo scentco d ordnamento sessone ordnara, matematcamente.t Questo 5 S trov larea della reone delmtata dalla curva da = l a =. L area rchesta, par a cos d, è raurata n ro. Rcordando che l coseno camba seno, da neatvo a postvo n corrspondenza d l area rchesta rsulta par a y cos e dallasse S cos d cos d cos d sn sn sn sn sn sn, 5. Questo 6 tan tan a S calcol lm. a a Il problema s pone per a appartenente al domno della unzone tan tan a tanente e coè per a k, k Z. Il lmte lm s a a presenta nella orma ndetermnata / per cu applcando de l Hosptal

23 Ncola De Rosa, Lceo scentco d ordnamento sessone ordnara, matematcamente.t s ha lm. Un rsultato del enere era prevedble n a cos cos a quanto l lmte rchesto concde con la denzone d dervata della unzone tan n a. Questo 7 S prov che lequazone: ha una sola radce compresa ra - e. La unzone è contnua e strettamente crescente n tutto l domno R n quanto la dervata prma è sempre postva; noltre assume al estrem dell ntervallo (-; ) seno dscorde n quanto, per cu a norma del teorema del zer per le unzon contnue esste un unco zero dell equazone e compreso n,. La soluzone dell equazone può anche essere rcavata per va raca rsolvendo l sstema y y

24 Ncola De Rosa, Lceo scentco d ordnamento sessone ordnara, matematcamente.t La curva y è una potenza ad esponente dspar, denta n R, postva per, strettamente decrescente n tutto l domno e presenta n, un lesso a tanente orzzontale d equazone y ; la curva y è una retta. Questo 8 In che cosa consste l problema della quadratura del cercho? Perché è così spesso ctato? La quadratura del cercho, asseme al problema della trsezone dellanolo e a quello della duplcazone del cubo, costtusce un problema classco della eometra reca. In sostanza quello della quadratura del cercho non è altro che un classco problema d matematca (pù precsamente d eometra) l cu scopo è costrure un quadrato che abba la stessa area d un dato cercho, con uso esclusvo d ra e compasso. Dal punto d vsta alebrco, ndcat con r l rao del cercho e con l l lato del quadrato da trovare, vale la relazone: r l l r Nel 88 u dmostrato che non era possble costrure un lato d msura l r solo con ra e compasso e cò derva dal atto che l numero è trascendente.

25 Ncola De Rosa, Lceo scentco d ordnamento sessone ordnara, matematcamente.t Questo 9 S prov che, nello spazo ordnaro a tre dmenson, l luoo eometrco de punt equdstant da tre vertc d un tranolo rettanolo è la retta perpendcolare al pano del tranolo passante per l punto medo dellpotenusa. Fornamo due tp d soluzone al questo, una con metodo sntetco ed una con metodo analtco. Metodo sntetco Consderamo la ura a lato. On tranolo rettanolo è nscrvble n una crconerenza d centro M, punto medo dell potenusa BC, e rao BM MC AM. Per questo motvo, preso un qualsas punto P sulla perpendcolare per M al pano del tranolo, le tre dstanze catet conruent. Per dmostrare che la retta n questone è l luoo rchesto dobbamo dmostrare che on punto equdstante da A, B e C s trova su tale retta. A tale scopo basta notare che l luoo de punt equdstant da A e B è l pano perpendcolare ad AB nel suo punto medo, analoamente per A e C e per B e C: punt equdstant da A, B e C appartenono contemporaneamente a quest tre pan, che hanno n comune propro la retta perpendcolare al pano del tranolo ABC nel punto medo M dell potenusa BC. Metodo analtco Consderamo un sstema d coordnate nello spazo n modo che vertc del tranolo rettanolo sano O,,, Aa,,, B, b, e sa P, y, z un enerco punto dello spazo; d conseuenza l punto medo dell potenusa AB sarà 5

26 Ncola De Rosa, Lceo scentco d ordnamento sessone ordnara, matematcamente.t A B A yb z A zb a b M,,,,. La condzone AP BP OP, rcordando la ormula della dstanza tra due punt, s rconduce a: a y z y b z y z Uualando la e la rcavamo parallelo al pano yz e passante per e la rcavamo a coè l equazone del pano mentre uualando la a,, b y coè l equazone del pano parallelo al pano, z e passante per, b. L ntersezone tra due pan suddett, a b entramb passant per M,,, dà una retta r parallela all asse z, e percò perpendcolare al pano y su cu ace l tranolo, passante a b per l punto M,, concdente con l punto medo dell potenusa AB. 6

27 Ncola De Rosa, Lceo scentco d ordnamento sessone ordnara, matematcamente.t Questo Nella ura a lato, denotat con I, II e III, sono dsenat tre rac. Uno d ess è l raco d una unzone, un altro lo è della unzone dervata e laltro ancora d. Quale delle seuent alternatve dentca correttamente cascuno de tre rac?. A) I II III B) I III II C) II III I D) III II I E) III I II S motv la rsposta. La rsposta esatta è D. Inatt se assumamo come la unzone III c rendamo conto che la dervata prma s annulla n due punt n corrspondenza del massmo e del mnmo relatvo che assume. Inoltre deve avvenre che la dervata prma deve essere postva tra meno nnto e l massmo d, neatva tra massmo e mnmo, e po d nuovo postva dal mnmo n po. E cò è quello che succede nella unzone II. Inoltre la dervata seconda deve azzerars solo n zero che è lesso per, passando da valor neatv a valor postv, cosa che accade per la unzone I. Alternatvamente possamo notare come delle tre unzon, due sono dspar e coè I e III e una è par, la II. Vsto che la dervata d una unzone dspar è par e vceversa, la unzone dervata prma non può essere che la II. In questo modo le alternatve possbl restano la A e la D. Ma la A va scartata n quanto la unzone II assume sa valor postv che neatv e qund non può essere la dervata della I, perché 7

28 Ncola De Rosa, Lceo scentco d ordnamento sessone ordnara, matematcamente.t dervando la I s ottene una unzone sempre postva. Pertanto l alternatva corretta è la D. Un ulterore metodo d rsoluzone del questo consste nell escludere che l raco d possa essere I (cò esclude A e B come alternatve) e II (cò esclude C come alternatva) e po tra le alternatve D ed E rmanent escludere la E. Se l raco d osse I, l raco della dervata seconda dovrebbe essere sempre postvo n quanto è strettamente crescente; tuttava, né II né III hanno rac tutt al d sopra dell asse delle ascsse per cu escludamo le alternatve A e B. Se l raco d osse II, poché è crescente per l raco d dovrebbe essere postvo per cosa che non è arantto dal raco III per cu la C è da escludere. Qund l raco d è III; l raco d deve annullars ne punt d massmo e mnmo relatvo d e cò è arantto da II e non da I. In conclusone l alternatva E va scartata e la rsposta al questo è D. 8