una variabile casuale è continuase può assumere un qualunque valore in un intervallo

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1 Varabl casual contnue Se samo nteressat alla temperatura massma gornaleraquesta è una varable casuale msurata n un ntervallo contnuoe qund è una v.c. contnua una varable casuale è contnuase può assumere un qualunque valore n un ntervallo Se la var. casuale è contnua non è possble elencare tutte le sngole realzzazon (coè tutt valor) perché quest sono una nfntà pù che numerable e qund non s può attrbure una probabltà a sngol valor ESEMPIO: la probabltà che ogg al temperatura max sa esattamente 5,1 è 0 S può però determnare la probabltà per ntervall d valor: laprobabltàcheogglatemperaturamassmasaràtra5 e6

2 Dal dscreto al contnuo (1) Un campone d schede logche d un elettrodomestco è stato raggruppate n class annual d durata: Durata Schede h Suddvdamo ora le class n 0 sottoclass d ampezza untara: Durata Schede Durata Schede L stogramma sarà formato da rettangol d base uno e altezza par alla fr. relatva

3 Dal dscreto al contnuo () Supponamo ora d estendere la rlevazone all nfnto, ma con class par ad un nfntesmo dx: [ x, x+dx] ovvero l ntorno pù pccolo dverso dal punto sngolo L stogramma non è pù traccable e dventa smle al polgono d frequenza f(x) Per tale motvo nel caso var. casual contnue non s può pù parlare d funzone d probabltà x

4 Denstà d probabltà Chameremo funzone d denstàla funzone matematca f(x) per cu l area sottesa alla funzone, corrspondente ad un certo ntervallo, è uguale alla probabltà che X assuma un valore n quell ntervallo f x,0 0,7 f (x)dx= 0, 9 1,5 0,5 1,0 0,5 0,9 P( 0,5< X< 0,7) 0,0 0,0 0,5 0,7 1,0 La f. d denstà d una V.C. contnua X è una funzone defnta su R per ogn valore della X X

5 Propretà della denstà d probabltà 1. La f(x)è sempre non negatva. L area totale sottesa alla funzone è par a 1: + f ( x )dx = 1 3. La probabltà che la v.c.assuma un partcolare valore dell ntervallo è zero N.B. La f(x) non dà la probabltà d X, ma è proporzonale alla prob. che X rcada n un ntervallo nfntesmale centrato su X

6 Alcune consderazon La funzone d denstà per le v.c. contnue goca (nel contnuo) lo stesso ruolo della dstrbuzone d probabltà per le v.c. dscrete Consderamo una stazone d servzo con una csterna per la benzna da 1000 ltr, rempta ogn mattna prma dell apertura. L anals delle vendte passate ndca che non è possble prevedere la quanttà totale d benzna venduta n un dato gorno, ma l lmte nferore sarà 0 e l lmte superore 1000 ltr: la capactà della csterna. Inoltre l anals storca ndca che tutte le rcheste nell ntervallo da 0 a 1000 ltr, sono egualmente probabl X = ltr d benzna vendut n un dato gorno Potremmo essere nteressat a conoscere le probabltà d dvers lvell d vendte gornalere, tenendo conto che le quanttà vendute, tra 0 e 1000 ltr, hanno tutte la stessa probabltà

7 La dstrbuzone d probabltà d X è unformen : s ha coè la stessa probabltà per ogn ntervallo d vendte da 0 a 1000 In altr termn la funzone d denstà d probabltà è costante nell ntervallo e può essere scrtta come: f ( x) = se 0 x 1000 altrove f x 0.001, 0,50 Es. la probabltà che le vendte sano tra 50 e 750 ltr, con f(x)=0.001 ordnata della funzone d denstà costante, è par a 0.50, coè l area sottesa sull ntervallo tra 50 e 750 0,0 0,

8 Funzone d rpartzone nel contnuo (1) La defnzone d funzone d rpartzoneper le v.c.contnue è smle al caso dscreto Data una v.c.contnua X, la funzone che fa corrspondere a valor x le probabltà cumulate P(X x) vene detta funzone d rpartzone. F ( x ) = P( X x ) = x f (w )dw La FdR può essere usata per calcolare la probabltà d un ntervallo: se ae bsono due possbl valor d X con a<b, la probabltà che X assuma valor tra a ebè par a P(a<X<b) = F(b) -F(a)

9 Funzone d rpartzone nel contnuo () Nell esempo consderato la F.d.R. è data da: F( x) = 0.001x per 0 x 1000 Dalla fgura s vede che la probabltà d vendere tra 0 e 400 ltr è: P(X 400) = (0.001)(400) = 0.40 Laprobabltàdvenderetra50e 700ltrè: P(a<X<b) = P(50<X<750) = 0.001b a = 0.001(b-a) = 0.001(750-50) = 0.50

10 Esempo Una squadra d manutenzone è responsable d un tratto d un oleodotto lungo km. La v.c. dstanza(n km) alla quale può verfcars un guasto è rappresentata da: 0.5 se 0 x f( x ) = 0 altrove Trovare la FdR e la probabltà che l guasto s verfch tra l Km 0.5 e 1.5 F(x 0 ) = 0.5x 0 per 0 x 0 f(x) P(0.5<X<1.5) = F(1.5) - F(0.5) = = (0.5)(1.5) -(0.5)(0.5) = concde con l area sottesa alla f.d denstà n [0.5,1.5] 0 x

11 VALORE ATTESO DI UNA VARIABILE CASUALE Anche per le varabl casual è utle dsporre d msure che sntetzzno le caratterstche della dstrbuzone l valore attesoè la corrspondente msura della meda (per dat real) per una v.c.x, ed è defnto come: Se la v.c. è dscreta: = ( X ) x P( x ) E µ = + Se la v.c. è contnua: E ( X ) = µ = x f ( x) dx (essendo 0 la per una v.c. contnua la probabltà assocata ad ogn sngolo valore n un ntervallo)

12 Esempo Dall esame d dvers lbr d testo d argomento economco-azendale è stato rlevato che l 81% d tutte le pagne era prvo d error; l 17% ne conteneva 1 e l % ne conteneva. Usando la v.c. X per ndcare l n d error n una pagna scelta a caso da uno d quest lbr, la dstrbuzone d probabltà è: P(0)=0.81 P(1)=0.17 P()=0.0 Nel determnare la meda d X (n medo d error per pag. che c aspettamo d trovare) dvers rsultat debbono essere pesattramte le probabltà del loro verfcars: (0)(0.81)+(1)(0.17)+()(0.0) = ( ) = E( X ) = = 0. 1 x P x µ

13 Altro Esempo: v.c.dscreta x P(x) E ( X ) 1 3 = = P(X) 0,168 0,14 0,11 0,084 0,056 0, X Nelle dstrbuzon d prob. smmetrche l valore atteso s trova esattamente al centro della dstrbuzone

14 Esempo: v.c.contnua Consderamo la v.c. X ~ λe λx x con λ costante postva 0,0 1,6 Ilvaloreattesoèdatoda 1, E X ( ) + = xλe λx 1 dx = λ 0,8 0,4 0,0 0,0 0,5 1,0 1,5,0,5 3,0 Ad esempo: tempo medo d attesa prma che venga sbrgata una certa pratca n un uffco pubblco

15 Varanza d una varable casuale La varanza V(X) d una varable casuale X è defnta da Se la v.c. è dscreta V X = x E X P x ( ) ( ) ( ) V X = x E X f x dx Se la v.c. è contnua ( ) ( ) ( ) Notazone alternatva: + V X { X E X } ( ) ( V X E X ) E( X ) = E ( ) ( ) =

16 Esempo Rprendamo l esempo delle automobl: basandos sulle vendte degl ann precedent l drettore d una concessonara sa che ogn gorno, l n d auto vendute per una certa categora vara tra 0 e 5 X P(X) 0,15 0,30 0,0 0,0 0,10 0,05 Calcolamo l valore atteso e la varanza 0,3 0, 0, ( ) µ xp( x ) E X = = = 0 0, ,30 + L+ 5 0,05 = 1,95 ( ) ( ) V( X) = σ = ( x µ ) P x = x P x µ = + + L+ = (0 1,95) 0,15 (1 1,95) 0,3 (5 1,95) 0,05 1,9475

17 Teorema d Chebyshev Sa Xuna varable casuale e kun valore reale postvo, allora vale la seguente dsuguaglanza: P E X k SD X X E X k SD X 1 k ( ) ( ) ( ) + ( ) 1 Indpendentemente dalla dstrbuzone della var. casuale, la probabltà che X assuma valor dstant dalla meda pù d k devazon standard è al pù 1/k P ( X E( X ) k SD( X )) k 1