La taratura degli strumenti di misura

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1 La taratura degl strument d msura L mportanza dell operazone d taratura nasce dall esgenza d rendere l rsultato d una msura rferble a campon nazonal od nternazonal del msurando n questone affnché pù msure d uno stesso oggetto, effettuate n temp e luogh dvers, sano confrontabl tra d loro. Nella maggor parte de cas pratc, la msurazone d una grandezza è eseguta con l obettvo d confrontare la msura ottenuta con altre msure ottenute da soggett dvers, n ambt dvers, mpegando apparecchature dverse. Questo accade, per esempo, per stablre se l dametro d un pstone ha un valore adeguato al corrspondente clndro, oppure se le dmenson d una scrvana sono adeguate allo spazo che abbamo a dsposzone nel nostro uffco. In altre stuazon, è necessaro confrontare le msure ottenute con valor d rfermento fornt da norme o regolament, come quando s verfca se le emsson elettromagnetche prodotte da un dspostvo elettronco sono nferor a lmt prestablt oppure se la concentrazone d un gas nqunante nell ara supera una certa sogla d allarme. In ogn caso, affnché quest confront abbano senso, rsulta ndspensable che le msure sano ottenute medante dspostv strettamente correlat a campon prmar, ossa medante dspostv rferbl. La rferbltà è defnta come la propretà che strument e campon acqusscono quando sono sottopost a taratura a fronte d campon rconoscut come prmar n un determnato contesto. 1. Organzzazone delle attvtà metrologche In molt Paes, tra cu l Itala, la metrologa nveste due ambt dstnt, cascuno con specfctà ed esgenze propre: la metrologa scentfca e tecnca e la metrologa legale. La prma ha l compto d rendere dsponbl, nelle attvtà scentfche, tecnche ed ndustral campon prmar delle untà d msura delle dverse grandezze fsche, n accordo con la defnzone che per cascuna d esse è data dal Sstema Internazonale delle Untà (SI). Questo compto è affdato, a lvello pù alto n cascun Paese, a Isttut nazonal d metrologa, qual sono chamat a garantre la rferbltà non solo nell ambto nazonale, ma anche ne confront d altr Paes e, pù n generale, a lvello nternazonale. 1

2 Il compto della metrologa legale è quello d verfcare che tutt gl strument d msura mpegat nelle transazon commercal (blance meccanche ed elettronche, msurator d carburant lqud, contator d volume d gas, strument per msure lnear, cronotachgraf, ecc ) o per qual specfche dsposzon legslatve prevedono ben defnt requst d rferbltà e d affdabltà, rspondano a requst prevst dalla legslazone vgente o n document normatv concordat nell ambto dell Organzzazone Internazonale d Metrologa legale (OIML). I compt d metrologa legale sono svolt, per quanto concerne l Itala, alle dpendenze del Mnstero dell Industra, del Commerco e dell Artganato, dall Uffco Centrale Metrco e da Uffc decentrat a lvello provncale, presso le Camere d Commerco La metrologa scentfca e tecnca La metrologa scentfca e tecnca, deve: - realzzare un untà, coè determnare, basandos sulla sua defnzone, l valore da assegnare, con l ncertezza mnma consentta dalle tecnche dsponbl, al parametro prncpale d un sngolo o, meglo, d un gruppo d campon materal con caratterstche elevate e paragonabl tra loro; - rprodurre un untà; n sostanza, sgnfca aggornare la realzzazone d un untà d msura secondo raccomandazon concordate e adottate a lvello nternazonale; - mantenere un untà, vale a dre mettere n punto un complesso spermentale, costtuto da campon suddett e da strument d msura, che sa n grado d garantre costantemente la dsponbltà dell untà tra le sue successve realzzazon o rproduzon; - dssemnare un untà, coè sgnfca ndvduare metod e mezz necessar perché le msure d una grandezza fsca, ottenute da una molteplctà d utlzzator, n determnat camp d msura e con assegnat lvell d ncertezza, sano rferte al campone prmaro realzzato n un certo ambto geografco da un Isttuto nazonale d metrologa oppure al campone adottato come nazonale nel medesmo ambto geografco. D norma agl Isttut nazonal d metrologa s rchedono un contnuo lavoro d messa a punto d nuove metodologe d msura, l progetto e la costruzone d nuov strument e sstem, l estensone de camp d msura delle dverse grandezze e una rduzone de relatv lvell d ncertezza. Tutto cò è conseguente all acquszone d nuove conoscenze fsche, alla dsponbltà d tecnologe pù avanzate e alle maggor e pù mpegnatve rcheste d rferbltà degl utlzzator; queste ultme sono collegate, a loro volta, con l esgenza d mglorare la qualtà e l affdabltà de prodott, de servz e de process ne settor d specfco nteresse.

3 Gl Isttut Metrologc nazonal sono ncarcat d mantenere collegament con gl organsm nternazonal e d svolgere attvtà d rcerca e d sostegno all ndustra nazonale nell ambto della metrologa, n Itala sono present tre dvers Isttut: l Isttuto d Metrologa Gustavo Colonnett (IMGC) del Consglo Nazonale delle Rcerche (CNR) per campon delle untà d msura mpegate nel campo della meccanca e della termologa (untà d massa, lunghezza, temperatura e forza); l Isttuto Elettrotecnco Nazonale Galleo Ferrars (IEN) per campon rguardant le untà d msura del tempo e delle frequenze e per le untà d msura mpegate nel campo dell elettrctà, della fotometra, dell optometra e dell acustca; l Isttuto Nazonale d Metrologa delle Radazon Ionzzant (INMRI) dell Ente per le Nuove Tecnologe, l Energa e l Ambente (ENEA) per campon delle untà d msura mpegate nel campo delle radazon onzzant. Fra compt fondamental della metrologa scentfca, e qund degl sttut metrologc prmar, come gà detto, sono da annoverare non solo la rcerca nel campo della msura, lo studo d nuov campon d untà d msura, la realzzazone de campon prmar delle untà d msura del Sstema nternazonale (SI), ma anche la conservazone e la dssemnazone de predett campon n va dretta, medante la taratura e la certfcazone d campon e strument metrc. In Itala, con la legge n. 73 dell 11 agosto 1991 è stato sttuto l Sstema Nazonale d Taratura (SNT). Costtuzone e compt del SNT sono così defnt dalla legge: l sstema nazonale d taratura è costtuto dagl sttut metrologc prmar e da centr d taratura, e ha l compto d asscurare la rferbltà a campon nazonal de rsultat delle msurazon. Nell stture l Sstema Nazonale d Taratura (SNT), la legge 73/91 ha confermato agl Isttut metrologc prmar (IMP) l compto d conservare campon nazonal, verfcarne la coerenza con quell d altr paes, e dssemnare le untà SI realzzate per mezzo d dett campon, drettamente o tramte Centr d taratura convenzonat, asscurando l rfermento metrologco ndspensable per le attvtà ndustral e commercal. La dssemnazone vene realzzata, qund, medante una catena metrologca che lega gl sttut metrologc prmar a laborator secondar, sa pubblc sa prvat, denomnat Centr d Taratura SIT (Servzo d Taratura n Itala), che con vare funzon operano nel campo della metrologa. Centr d Taratura sono laborator d donea capactà tecnca ed organzzatva che hanno stpulato delle convenzon con gl Isttut Metrologc prmar, per poter effettuare le tarature d strument d msura sulla base d campon secondar che sono confrontat perodcamente con quell nazonal. Quest confront perodc sono precedut da una complessa azone d esame e d valutazone delle capactà tecnche ed organzzatve del Centro. 3

4 . La rferbltà Come gà detto n precedenza, prototp e realzzazon spermental dell untà costtuscono campon prmar al cu mantenmento o realzzazone s mpegnano l BIPM e alcun altr laborator nazonal. Spesso per comodtà gl stess laborator utlzzano de campon secondar che tuttava devono essere perodcamente confrontat con prmar, perché ess non realzzano drettamente l untà e sono soggett a error (polarzzazon) non controllabl n modo dretto e a derve nel tempo. Quest process d confronto sono anche dett tarature. La taratura consste nel confronto d uno strumento con un altro, d mglore qualtà, ottenendo un nseme d dat d correzone per le letture dello strumento tarato. In questo modo è possble ottenere per lo strumento tarato una ncertezza resdua mnore d quella precedentemente assegnatagl. Prma d esegure la taratura è necessaro tenere presente l lvello d accuratezza desderato per lo strumento n prova (accuratezza che deve essere commsurata alla sua stabltà nel tempo), utlzzare un rfermento d lvello adeguatamente superore, e usare un metodo d confronto che permetta l consegumento dell accuratezza stablta. In generale, affnché l operazone d taratura port a una stma affdable dell ncertezza che caratterzza lo strumento da tarare, s accetta convenzonalmente che lo strumento d rfermento debba essere caratterzzato da una sua ncertezza ntrnseca almeno quattro volte nferore a quella dello strumento n prova. Un rapporto d dec a uno tra le ncertezze de due strument è consderato penamente soddsfacente. Fg.1: Esempo d catena d rferbltà 4

5 I dspostv per msurazone devono qund essere legat a campon prmar nazonal od nternazonal attraverso una catena nnterrotta d confront, detta catena d rferbltà, n cascuno de qual deve essere dcharata l ncertezza d msura. Un esempo d catena d rferbltà è mostrato n fgura, dove s osserva che le fasce d valore dventano sempre pù ampe quanto pù c s sposta verso l basso, n quanto ogn confronto che trasfersce la rferbltà da campon prmar agl altr dspostv aggunge necessaramente ncertezza. 3. Compatbltà delle msure Spesso rsulta necessaro confrontare msure dverse della stessa grandezza per verfcarne la congruenza. Questo non può ovvamente essere nterpretato come verfca dell uguaglanza tra due numer, vsto che una msura è costtuta da un ntervallo d valor. S rcorre percò al concetto d compatbltà, defnto come la condzone che s verfca quando le fasce d valore assegnate n dverse occason come msura dello stesso parametro nello stesso stato hanno almeno un elemento n comune. La defnzone mette n evdenza l fatto che l confronto tra due o pù msure ha senso solo quando le msure s rferscono allo stesso msurando nello stesso stato del sstema n msura. Qualora s volessero confrontare msure ottenute n dfferent stat del sstema, sarebbe prma necessaro rferre le msure allo stesso stato, mpegando un opportuno modello matematco che descrve la dpendenza del msurando dalle grandezze che defnscono lo stato del sstema. S osserv, noltre, che per verfcare la condzone d compatbltà tra due msure è necessaro, che le msure sano state ottenute a partre da strument e campon rferbl; noltre: devono essere ndvduat e corrett eventual effett sstematc che nfluenzano n modo sgnfcatvo le msure; deve essere mpegato lo stesso metodo per la stma dell ncertezza d msura; devono essere consderat tutt contrbut d ncertezza sgnfcatv, tra qual v è spesso l effetto dell operatore. Fg.: Esempo d confronto tra msure per la verfca della compatbltà 5

6 In Fg. sono mostrate, ad esempo, tre possbl stuazon dervant dal confronto tra msure, le msure d Fg..a mostra una condzone d compatbltà tra le msure m 1 e m, mentre nella Fg..b è mostrata una stuazone d non compatbltà. Come s rcava anche dalla Fg..c la compatbltà non gode della propretà transtva: la compatbltà tra m 1 e m e tra m e m 3 non mplca la compatbltà tra m 1 e m 3. Alternatvamente s può affermare che due msure, m 1 e m, sono compatbl con un dato lvello d confdenza se la loro dfferenza é nferore all ncertezza estesa della dfferenza stessa: m-m 1 U(m-m 1 ) 4. Taratura d uno strumento d msura Il dagramma d taratura è la relazone che permette d rcavare da ogn valore della grandezza d uscta, L 0, la corrspondente fasca d valor ragonevolmente attrbubl al msurando, ΔM. L nformazone completa vene d solto fornta specfcando separatamente (n forma grafca, tabulare, o analtca) dove s colloca la fasca d valore, medante un punto stuato n poszone ntermeda nella fasca, e l ampezza della fasca stessa. La taratura è soltamente svolta dal costruttore prma d affdare l dspostvo all utlzzatore, anche se n alcun cas, soprattutto per campon, l costruttore fornsce dspostv non tarat; n questo caso è l utlzzatore che deve provvedere all operazone d taratura. Fg. 3: Esempo d dagramma funzone d taratura 6

7 S dstnguono dunque due seguent tp d nformazone:. Curva d taratura: può nglobare tutte le caratterstche della precsone. E la relazone bunvoca (o almeno unvoca) tra ogn valore della grandezza d uscta e l corrspondente valore da assegnare al punto centrale della fasca d valore relatva al msurando. Quando la curva d taratura è una retta, coè esste una relazone d proporzonaltà fra uscta e msurando, essa vene espressa d regola con un coeffcente chamato costante d taratura.. Incertezza d taratura: E la larghezza della fasca d valore. Può essere specfcata: - n valore assoluto, con la stessa untà d msura del msurando; - n valore relatvo, rapportandola al valore del punto ntermedo della fasca a cu è assocata; - n valore rdotto, rapportandola a un determnato valore del campo d msura, d solto l lmte superore. Dalla funzone d taratura possono essere rcavate alcune caratterstche, spesso fornt anche separatamente: a) Sensbltà: la sensbltà, che può essere defnta con rfermento a un punto qualsas della curva d taratura e concde con l nverso della pendenza della curva stessa. Nel caso partcolare n cu la curva d taratura è una retta, la sensbltà è par all nverso della costante d taratura. Essa è dunque espressa con rfermento alle untà d msura del msurando e della grandezza d uscta; ad esempo, n un sensore d forza con uscta n tensone, n volt/newton. b) Lneartà: E un ndcazone d quanto la curva d taratura s dscosta dall andamento rettlneo. E specfcata fornendo l valore massmo dello scostamento de sngol punt della curva d taratura da una retta d rfermento opportunamente defnta. S defnscono dunque tant tp d lneartà quant sono mod d sceglere la retta d rfermento, ma quale che sa la retta a cu s fa rfermento, la lneartà, coè l massmo scostamento, vene espressa d regola o n valore relatvo o, pù spesso, n valore rdotto. Le defnzon utlzzate per la retta d rfermento sono le seguent: Lneartà rferta allo zero: La retta d rfermento passa per l estremo nferore della curva d taratura, corrspondente all estremo nferore del campo d msura, ed è traccata n modo da rendere mnmo l pù elevato (n valore assoluto) degl scostament. Lneartà rferta agl estrem: La retta d rfermento congunge due estrem della curva d taratura corrspondent a due estrem del campo d msura. Lneartà ndpendente: La retta d rfermento è quella che rende mnmo l pù elevato (n valore assoluto) degl scostament. 7

8 Lneartà secondo mnm quadrat: La retta d rfermento è quella che corrsponde al valor mnmo della somma de quadrat degl scostament. Maggor dettagl a rguardo sono rportat nell appendce B. Fg.4 Esempo d rette d rfermento per valutare la lneartà della curva d taratura c) Isteres: Indca la tendenza d uno strumento d fornre valor d lettura dvers n corrspondenza dello stesso msurando, quando questo è fatto varare per valor crescent o decrescent. Essa vene valutata come la massma dfferenza fra valor della grandezza d uscta corrspondent al medesmo msurando, quando s consderano tutt possbl valor entro l campo d msura, ed ogn valore vene raggunto, prma partendo dall estremo nferore, po partendo dall estremo superore. L steres vene espressa specfcando la varazone massma che s può verfcare nell uscta, n valore assoluto o n percentuale della portata, a partà d msurando e d condzon operatve, entro un determnato ntervallo d tempo. 5. Controllo d taratura e messa a punto d uno strumento d msura Le prestazon metrologche d uno strumento d msura sono soltamente garantte dal costruttore per un determnato ntervallo d tempo. Spesso l tempo trascorso dall operazone d taratura è consderata una grandezza d nfluenza ed allo strumento sono assegnat dagramm d taratura dfferent, per esempo, a 90 gorn, a 1 anno ed a ann dalla taratura. Il costruttore fornsce anche un ndcazone rguardo al massmo ntervallo d tempo dalla taratura entro cu lo 8

9 strumento è n grado d fornre msure secondo un dagramma d taratura assegnato. Superato questo ntervallo d tempo, è ndspensable che lo strumento sa sottoposto a controllo d taratura, ossa ad un operazone che permette d controllare se le letture fornte da uno strumento n corrspondenza d una sere d msurand not sono contenute entro un dagramma d taratura preassegnato. Durante questa operazone, le grandezze d nfluenza devono essere comprese ne camp per cu è dcharato l dagramma d taratura dello strumento. L esecuzone del controllo d taratura rchede qund d dsporre de campon che realzzano la sere d msurand da applcare all ngresso dello strumento; quest msurand devono noltre essere realzzat con un ncertezza trascurable rspetto all ncertezza fornta dallo strumento sottoposto a taratura. Quando l esto del controllo è negatvo, rsulta probable che lo strumento non sa pù n grado d fornre msure secondo l dagramma d taratura preassegnato. In questo caso rsulta ndspensable rcorrere alla messa a punto dello strumento, ossa ad un nseme d operazon automatche o parzalmente manual (o totalmente manual nel caso d strument non dotat d propre capactà d elaborazone) che mpongono allo strumento d fornre partcolar letture n corrspondenza a partcolar msurand applcat al suo ngresso. Un esempo d messa a punto è quello che porta a determnare e spesso correggere l errore d zero n uno strumento, n altre parole la sua ndcazone quando al suo ngresso non è applcata la grandezza cu è sensble. Una volta determnata l enttà dell errore d zero (offset), essa soltamente può venre automatcamente compensata dallo strumento, sottraendola (algebrcamente) al valore del msurando, fornendo così all operatore la msura gà corretta. Altra tpca operazone d messa a punto che può essere effettuata da uno strumento evoluto è quella della correzone del suo fattore d scala, che è l fattore d proporzonaltà tra la grandezza d ngresso e l corrspondente valore d msura n uscta. Applcando all ngresso una quanttà o un segnale d rfermento (campone d adeguate caratterstche metrologche) e predsponendo opportunamente lo strumento, quest ultmo può confrontare la sua lettura con l valore d rfermento e correggere l fattore d scala affnché lettura e valore d rfermento vengano a concdere. Operazon d messa a punto d questo tpo vengono normalmente esegute da strument qual blance elettronche, multmetr elettronc, ecc In seguto all operazone d messa a punto, lo strumento può nuovamente fornre msure secondo l dagramma d taratura preassegnato. E mportante non confondere l processo d messa a punto con quello d taratura: l prmo garantsce solo la mglor predsposzone dello strumento affnché possa effettuare al meglo delle sue capactà le msure, ma non fornsce alcuna nformazone sulle caratterstche metrologche dello strumento (ncertezza); l operazone d taratura è fnalzzata nvece a fornre propro queste ultme nformazon. Soltamente, alla messa a punto segue un controllo d taratura, che ha lo scopo d accertare la valdtà del dagramma d taratura dello strumento e qund la buona ruscta della messa a punto. 9

10 .8 Esecuzone della taratura Nell esecuzone d una taratura statca tutt gl ngress (desderat, nterferent, modfcant) eccetto uno sono fssat a valor costant. D conseguenza anche le uscte varano con valor costant all nterno d un certo campo. Le relazon tra ngresso e uscta svluppate n questo modo costtuscono una taratura statca valda sotto le fssate condzon d costanza d tutt gl altr ngress. Durante l processo d taratura l ngresso applcato, che deve essere noto con ncertezza nferore d almeno un ordne d grandezza rspetto all ncertezza del sstema sottoposto a taratura, vene fatto varare n un certo campo e s regstrano le relatve msure fornte dallo strumento da tarare. L operazone d taratura può essere effettuata (ved Fg.5): - fornendo un ngresso noto medante un calbratore, coè un generatore d tensone, o corrente, contnua d elevata precsone; - oppure facendo varare l ngresso ed effettuare la taratura per confronto medante uno strumento campone. (a) (b) Fg.5: Esemp crcutal per la taratura d un voltmetro Per entrambe le soluzon adottate, una sngola msurazone per ogn lvello d tensone è caratterzzata da uno scostamento rspetto al valore fornto n ngresso (ΔV = V out - V n ) che ha due component: una aleatora ed una sstematca. Come è noto, per rdurre la varabltà casuale del rsultato d una msurazone bsogna aumentare l numero d osservazon e consderare l valore medo osservato nelle prove rpetute. In questo modo lo scostamento tra l valore medo delle msure ed l valore n ngresso è dovuto solo ad effett sstematc. Per cò che concerne la varazone dell ngresso s utlzza un passo costante dell ntervallo d taratura; se l ntervallo scelto vene coperto sa per valor crescent che per valor decrescent, è 10

11 possble evdenzare eventual effett d steres sullo strumento. Per poter valutare eventual effett sstematc bsogna calcolare l valore medo de valr msurat n corrspondenza d uno stesso ngresso: lo scostamento tra la meda, x, e l ngresso rappresenta l errore che commette lo strumento nella msura d quel valore. Lo scarto tpo spermentale, s, nvece, consente d rcavare l ncertezza della taratura. In partcolare l dagramma d taratura può essere rcavato consderando le mede e gl scart tpo. Rappresentando dat raccolt su d un pano cartesano mettendo n ascssa valor lett e sulle ordnate corrspondent valor d ngresso, s ha che la curva che unsce valor med de valor msurat rappresenta la curva d taratura, mentre le altre due crve possono essere rcavate unendo valor. Inolte l dagramma d taratura può essere costruto consderando le curve che unscono: x+ks e x -ks dove l fattore d copertura k va scelto n funzone del lvello d confdenza e della dstrbuzone che meglo modella l processo d msurazone. Lo scopo è quello d ottenere la curva d taratura, dalla quale è possble determnare tutt parametr d nteresse. Innanztutto è possble rportare n un dagramma cartesano valor med dell ngresso corrspondent delle dverse letture sullo strumento da tarare. Fg.6: Rappresentazone de valor med Ad esempo n Fg.7 sono rportat la curva ed l dagramma d taratura potzzando un comportamento lneare dello strumento, e consderando le rette calcolate col metodo de mnm quadrat, consderando valor med e un fattore d copertura par a 3. 11

12 Fg. 7: Esempo d dagramma d taratura E possble valutare la presenza d effett sstematc confrontando la retta de valor med con quella deale (y = x), coè con la retta avente offset par a zero e pendenza d 45 ; così facendo s determnano l errore d offset, n corrspondenza dell ntercetta della retta, e l errore d guadagno, legato al coeffcente angolare della stessa. Fg. 8:Curve d taratura deale (y = x) e reale (y = a 1 x +a 0 ) 1

13 .8 Esempo d taratura d un voltmetro In Fg. 9 è rportato l crcuto per realzzare la taratura d un voltmetro. E rappresenta un almentatore varable, Vc un voltmetro campone e Vx l voltmetro da tarare. Fg. 9: Crcuto per la taratura d un voltmetro. Dopo aver montato l crcuto, sono effettuate le msure d tensone con due voltmetr. In partcolare, varando l valore dell almentazone, s fa n modo da ottenere sul voltmetro ncognto l valore esatto per ogn punto (ad esempo: 1.00V,.00V, ecc.), mentre l valore d tensone rportato sul voltmetro campone rappresenta l valore realmente erogato. Inoltre s deve precsare che le msure non s fanno per un unco punto, ma bsogna esamnare l comportamento dello strumento su tutt valor d tensone dal valore mnmo fno a quello d fondo scala; s procede al rlevamento de valor d tensone da 1V a 0V, con passo d 1V, rpetendo la sere d msure pù volte (n questo caso 0) a causa degl effett aleator e sstematc della msura, procedendo sa per letture n salta (10), coè dal valore mnmo al valore massmo, sa per letture n dscesa (10), coè dal valore massmo a quello mnmo (per evdenzare eventual effett d steres). out 0,000 18,000 16,000 14,000 1,000 10,000 8,000 6,000 4,000,000 0,000 0,00 5,00 10,00 15,00 0,00 n Fg. 10: Valor msurat 13

14 Per poter evdenzare gl effett sstematc, nnanztutto, per ogn punto d rfermento sono valutat l valore medo μ e la devazone standard σ, cu valor sono rportat nella tabella I: 1,00,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 µ 1,000,005 3,003 4,003 4,998 5,998 7,001 7,999 9,003 9,999 σ 0,0105 0,006 0,01030,00770,01060,01160,00690,00890,01040,009 11,00 1,00 13,00 14,00 15,00 16,00 17,00 18,00 19,00 0,00 µ 11,0051,00313,0014,0015,00615,99917,00718,00119,0000,005 σ 0,00870,01040,00940,01090,0110,00750,01910,01170,00990,0165 Tab. I: Valore medo e devazone standard de punt d taratura Una volta not quest valor, è possble ottenere l dagramma d taratura rportante le curve, ottenute per nterpolazone lneare da punto a punto, d μ, μ-3σ e μ+3σ. 5,000 0,000 15,000 10,000 µ-3σ µ µ+3σ 5,000 0,000 1,00 4,00 7,00 10,00 13,00 16,00 19,00 Fg. 11: Curva d taratura Dal dagramma d taratura, entrando col valore letto, s può determnare la fasca d valor ragonevolmente attrbubl al msurando. Per determnare l equazone della retta reale, y = mx + b, s utlzza la tecnca de mnm quadrat rcavando m = 1, e b = 0, per cu valor per ogn punto della retta a mnm quadrat sono rportat n Tab. II 14

15 1,00,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 Ln-3σ max 0,949 1,943,94313,9434,94335,94346,94357,94368,94379,9438 Ln 1,0001,0003,0003 4,0004 5,0005 6,0006 7,0007 8,00089,000910,001 Ln+3σ max 1,0573,05743,05754,05765,05776,05787,0579 8,058 9,058110,058 11,00 1,00 13,00 14,00 15,00 16,00 17,00 18,00 19,00 0,00 Ln-3σ max 10,94411,9441,94413,94414,94415,94416,94417,94518,94519,945 Ln 11,0011,00113,001 14,001 15,001 16,00 17,00 18,0019,000,00 Ln+3σ max 11,0581,05813,05814,05915,05916,05917,05918,05919,0590,059 Tab. II Valor della curva d regressone Lo scostamento, punto per punto, della curva d regressone dalla retta deale è: 1,00,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 E ln -3σ max -0,0573-0,0574-0,0575-0,0576-0,0577-0,0578-0,0579-0,0580-0,0581-0,058 E ln -0,0001-0,000-0,0003-0,0004-0,0005-0,0006-0,0007-0,0008-0,0009-0,0010 E ln +3σ max 0,0571 0,0570 0,0569 0,0568 0,0567 0,0566 0,0565 0,0564 0,0563 0,056 11,00 1,00 13,00 14,00 15,00 16,00 17,00 18,00 19,00 0,00 E ln -3σ max -0,0583-0,0584-0,0585-0,0586-0,0587-0,0588-0,0589-0,0590-0,0591-0,059 E ln -0,0011-0,001-0,0013-0,0014-0,0015-0,0016-0,0017-0,0018-0,0019-0,000 E ln +3σ max 0,0561 0,0561 0,0560 0,0559 0,0558 0,0557 0,0556 0,0555 0,0554 0,0553 Tab. III Scostamento della curva d regressone dalla retta deale L errore d non lneartà, defnto come l valore assoluto della dfferenza tra valor della curva lneare da valor med, è: 1,00,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 NL 0,0001 0,005 0,004 0,00 0,009 0,00 0,0008 0,0019 0,005 0, ,00 1,00 13,00 14,00 15,00 16,00 17,00 18,00 19,00 0,00 NL 0,0041 0,00150,001 0,0006 0,004 0,007 0,0055 0,00080,003 0,007 Tab. IV Errore d non lneartà 15

16 Un altro parametro d nteresse da determnare è la classe dello strumento, defnta come: erroremax classe = 100 fondoscala µ-3σ µ µ+3σ Fg. 1: Curve d errore Infne, è possble consderare separatamente punt determnat n salta, e quell n dscesa e valutare le due rette d regressone, n modo da poter calcolare l errore d steres. 16

17 APPENDICE Regressone a mnm quadrat Un dagramma spermentale, ottenuto da rsultat d msura, spesso mostra una dpendenza y = f(x) che appare ragonevolmente approssmable con una funzone nota. Ad esempo potrebbe sussstere una relazone del tpo y = sn(kx), oppure y = ax, ecc, ma altresì potrebbe non essere mmedato ndvduare valor pù opportun da assegnare a k o ad a. Alternatvamente, da un anals teorca, possamo conoscere quale tpo d relazone matematca dovrebbe essere rappresentata, ma la dspersone de dat è talmente grande (ad es. per la presenza del rumore) che non ruscamo a defnre con suffcente affdabltà valor d alcun parametr mportant. Ad esempo, se anche sappamo che deve sussstere una relazone lneare, del tpo y = mx + b, tuttava possamo non essere n grado d ndvduare con buona precsone parametr della retta, ossa valor d m e b. Un metodo molto usato per affrontare quest problem è quello della regressone secondo mnm quadrat. Questo metodo consente d trovare valor de parametr che ndvduano completamente una specfca relazone funzonale, che s suppone adatta a descrvere l andamento de punt spermental. Secondo l metodo, s opera n modo da rendere mnma la somma de quadrat degl scart tra valor ottenut emprcamente, y (x ), e corrspondent valor della funzone d regressone, y(x). In partcolare, adottando una relazone lneare del tpo y = mx + b s ha un tpo d regressone defnta regressone lneare. Supporremo noltre che la varable ndpendente x (che spesso è l tempo o un altra grandezza d comando accuratamente msurata) sa determnata per n punt x, not con ncertezza trascurable: pertanto la dspersone de rsultat spermental è sostanzalmente concentrata sugl n valor y. Per l punto -esmo d msura, lo scarto δ tra l valore emprco, y, e quello della curva d regressone, y(x ), vale: δ = y [m x + b] e qund dobbamo cercare valor d m e b per qual n = 1 δ è mnma. Indchamo ora con 17

18 Φ( m, b) = δ n = 1 = n = 1 ( y mx la somma degl scart quadratc (funzone d due varabl). Per cercare un mnmo d questa funzone, annullamo le dervate prme d Φ rspetto a m e b. S ha dunque: φ = 0 m φ = 0 b ( m x ) + b x = ( m x ) + nb = b) y x y dove tutte le sommatore sono ovvamente estese per che va da 1 fno a n. Abbamo ottenuto un sstema lneare d due equazon n due ncognte, m e b appunto, la cu soluzone è: b m n x n y x ( x ) = x x y x x y y m = n x ( x ) n = Notamo che la seconda soluzone per b, ottenuta per sosttuzone, è pù compatta ma rchede la preventva determnazone d m. S verfca puttosto agevolmente che la soluzone trovata corrsponde a un mnmo d Φ(m,b). Per avere una stma oggettva della bontà della nostra soluzone, che vuole appunto rappresentare una retta, s può calcolare l coeffcente d correlazone r fra le varabl x e y, che n questo caso rsulta essere: y x r = n x y x y [ n x ( x ) ] n y ( y ) [ ] Il coeffcente d correlazone, rcordamo sempre compreso tra +1 e 1 ndca n questo caso quanto sa valdo l rsultato della regressone lneare calcolata secondo coeffcent m e b d sopra. Nel caso d dat d partenza bene allneat, r assume valor prossm agl estrem: r = ±1. Per r = +1 s ha una relazone lneare con pendenza postva; per r = -1 la pendenza è negatva; per r = 0 s ha a che fare con dat completamente correlat, o meglo lnearmente ndpendent, per cu non è possble trovare una nterpolazone lneare nel senso de mnm quadrat. 18

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