Aritmetica e architetture

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1 Unverstà degl stud d Parma Dpartmento d Ingegnera dell Informazone Poltecnco d Mlano Artmetca e archtetture Sommator Rpple Carry e CLA Bozza da completare del 7 nov 03

2 La rappresentazone de numer Rappresentazone de numer: bnara Le cfre bnare sono dette bt (Bnary dgit) Un numero bnaro è costtuto da un vettore d bt B = b n- b b 0 b = {0, } Il valore d B e dato da: V(B) = b n- n- + + b + b 0 0 Un vettore d n bt consente d rappresentare numer natural nell ntervallo da 0 a n -. Per rappresentare numer postv e negatv s usano dverse codfche - -

3 Addzone senza segno La somma d numer postv s esegue sommando coppe d bt parallele, partendo da destra. S ha rporto quando s deve esegure la somma +. Le tabelle seguent mostrano le regole per la somma Utlzzando queste regole n modo dretto è possble Realzzare sommator modular Compost da blocch elementar dentc Crcut artmetc d questo tpo sono dett bt-slce Rporto n uscta

4 Addzone senza segno Un tale sommatore è strutturato n modo che l modulo n poszone -esma: Rceve n ngresso bt a e b degl operand Rceve n ngresso l rporto c del modulo precedente Produce la somma s Produce l rporto c + Il modulo n poszone 0 ha l bt d rporto =0 Il rporto può essere sfruttato per sommare l valore Necessaro per l calcolo del complemento a La somma d numero ad n bt rchede un tempo par ad n volte crca quello rchesto da un modulo d somma - 4 -

5 Half adder e Full Adder Mostrare uso d XOR e altre porte per somma e rporto e organzzazone a partre da HA e po FA Vedere Captolo 4 del testo Morrs-Mano - 5 -

6 Addzone senza segno Il calcolo esatto del rtardo s effettua basandos sulla seguente archtettura Sano T s e T r rtard per l calcolo della somma e del rporto rspettvamente a n- b n- a b a 0 b 0 FA n- FA FA 0 c n c c s n- s s 0 Il rtardo totale è dato dall espressone: T tot = (n-)t r + T s Il percorso crtco è qund quello del rporto - 6 -

7 Addzone veloce Le espresson d somma e rporto per lo stado sono: s = x 'y 'c + x 'y 'c '+ x y 'c ' x y c c + = x y + x c + y c Fattorzzando la seconda espressone s ha: c + = G + P c con G = x y e P = x + y Le funzon G e P Sono dette funzon d generazone e propagazone Possono essere calcolate n parallelo. Quando la funzone d generazone dello stado (coè G ) è uguale a, allora l rporto c + e uguale a ndpendentemente dal rporto n ngresso c - 7 -

8 Addzone veloce L espressone per c è: c = G - + P - c - Sosttuendo nell'espressone d c+ s ha: c + = G + P (G - +P - c - ) = G + P G - + P P - c - Contnuando con l'espansone fno a c0 s ottene: c + = G + P G - + P P - G P P -...P G P P -...P Il rporto può qund essere ottenuto Medante una forma a due lvell Attravarsando sue sole porte logche - 8 -

9 Addzone veloce Il rtardo totale per ottenere tutte le somme ed l rporto pù a snstra c + è dato dalla somma d: Un rtardo d porta per l calcolo delle funzon d generazone e d propagazone rtard d porta logca per calcolare l rporto -esmo rtardo d porta logca per negare l valore del rporto rtard d porta logca per calcolare la somma -esma Totale: 6 rtard d porta logca Il rtardo non ndpende dalla lunghezza degl operand Problema: Realzzazone crcutale per operand lungh (ad esempo 3 bt) fa uso d porte con un fan-n molto elevato - 9 -

10 Addzone veloce Dvsone del sommatore completo n blocch Un sommatore a 4 bt, ad esempo, rchede porte a 5 ngress, come mostra l equazone seguente: c 4 = G 3 + P 3 G + P 3 P G + P 3 P P G 0 + P 3 P P P 0 Il rporto c 4 è generato con rtardo d porte Collegando n cascata 8 d tal sommator s ottene un sommatore a 3 bt con rtardo par a: rtardo d porta logca per le funzon G e P rtard d porta logca per c 4, c 8,, c 8 e c 3 3 rtard per la somma s 3 Totale: + *8 + 3 = 0 rtard d porta logca - 0 -

11 Addzone veloce I sommator che sfruttano l meccansmo della generazone de rport n antcpo sono dett Carry-Look-Ahead Adders o CLA Il meccansmo presentato può essere applcato rcorsvamente a blocch d 4 bt dell esempo precedente In questo modo s ottengono sommator ancora pù veloc pur mantenendo lmtato l fan-n delle porte n ngresso - -

12 Archtetture I metod vst per l'esecuzone delle oerazon artmetche su numer rappresentat secondo una specfca codfca bnara possono essere mplementat medante opportune archtetture Tal archtetture Dpendono dalla scelta della codfca Naturale, Modulo e segno, Complemento a,... Sono caraterzzate da una effcenza varable Possono essere o meno faclmente scalabl Nel seguto sono presentate alcune delle prncpal archtetture artmentche - -

13 Sommator: Full Adder s = x y c + x y c + x y c + x y c x y c Full Adder s x y c = x y + x c + + y c c + Full Adder c x y c s c

14 Sommator: Rpple Carry [] Rpple-Carry Archtecture x n- y n- x y x 0 y 0 c n Full Adder c n- c Full Adder c Full Adder s n- s s 0 Rpple-Carry Adder x n- y n- x 0 y 0 c n n-bt Rpple Carry Adder s n- s 0-4 -

15 Sommator: Rpple Carry [] Rpple-Carry Block Archtecture x kn- y kn- x n- y x n- n y n x n- y n- x 0 y 0 c kn n-bt Rpple Carry Adder c (k-)n c n n-bt Rpple Carry Adder c n n-bt Rpple Carry Adder s kn- s (k-)n s n- s n s n- s 0-5 -

16 Sommator: Carry Look-Ahead [] Carry Look-Ahead Logc: Internal archtecture x n- y n- x y x 0 y 0 G n- P n- G P G 0 P 0 Carry Look-Ahead Logc x n- y n- x 0 y 0 c n CLA Logc c c c n- c - 6 -

17 Sommator: Carry Look-Ahead [] Carry Look-Ahead Logc x n- y n- x 0 y 0 c n Carry Look-Ahead Logc x n- y n- c n- x y x 0 y 0 c Full Adder Full Adder Full Adder s n- s s 0-7 -

18 Addzone veloce calcolo de rport n parallelo L espressone per l rporto c + può essere calcolata n modo teratvo. Infatt c = G - + P - c - Sosttuendo nell'espressone d c + s ha: c + = G + P (G - +P - c - ) = G + P G - + P P - c - Contnuando con l'espansone fno a s ottene: c + = G + P G - + P P - G P P -...P G P P -...P Le espresson ottenute sono forme a due lvell (rtardo: porte) Il rporto n uscta d ogn sngolo stado può essere calcolato n parallelo tramte: le funzon d generazone G e le funzon d propagazone P l rporto n ngresso allo stado 0, I sommator che sfruttano l meccansmo della generazone de rport n antcpo sono dett Carry-Look-Ahead Adders o CLA

19 Addzone veloce calcolo delle prestazon P 3 G 3 P G P G P 0 G 0 P G P G P 0 G 0 P G P 0 G 0 P 0 G 0 3 c 4 x 3 y 3 c 3 x y c x y c x 0 y 0 s 3 5 s 5 5 s s 0 c =G 0 +P 0 c = G +P G 0 +P P 0 c 3 = G +P G +P P G 0 +P P P 0 c 4 = G 3 + P 3 G + P 3 P G + P 3 P P G 0 + P 3 P P P 0-9 -

20 Addzone veloce calcolo delle prestazon Il rtardo totale per ottenere tutte le somme ed l rporto pù a snstra c + è dato dalla somma d: Un rtardo d porta per l calcolo delle funzon d generazone e d propagazone (G = x y e P = x + y ) Due rtard d porta logca per calcolare l rporto -esmo (SOP) Due rtard d porta logca per calcolare la somma -esma (SOP) Totale: 5 rtard d porta logca Il rtardo è ndpendente dalla lunghezza degl operand Problema: Realzzazone crcutale per operand lungh (ad esempo 3 bt) fa uso d porte con un fan-n molto elevato: non pratcable!! Soluzone: addzonatore veloce a blocch - 0 -

21 Addzone veloce a blocch Il sommatore completo a n bt è ottenuto utlzzando un nseme d blocch costtut da CLA a m bt Il blocco è costtuto da un sommatore CLA a 4 bt (ragonevole). Il rporto fnale d questo sommatore ha la seguente espressone: c 4 = G 3 + P 3 G + P 3 P G + P 3 P P G 0 + P 3 P P P 0 che può essere rscrtta come c uscta = G + P con l tempo d rtardo per l calcolo d P e G: P = attraversamento d porte logche ( per calcolare P 3, P, P e P 0, per calolare l prodotto) G = attraversamento d 3 porte logche - -

22 Addzone veloce CLA a 4 bt P 3 G 3 P G P G P 0 G 0 P G P G P 0 G 0 P G P 0 G 0 P 0 G 0 3 c 4 x 3 y 3 c 3 x y c x y c x 0 y P 3 P P P 0 s 3 P 3 P P P 0 G 3 G G G 0 s s s 0 X 3-0 y bt CLA P 3 G 3 G P 5 S

23 Esempo Sommatore a 6 bt costruto con CLA a 4 bt X 5- y 5- X -8 y -8 X 7-4 y 7-4 X 3-0 y 3-0 c c 8 c P G 6 S 5-3 P G 6 S -8 3 P G 6 S P G 5 S c 6 c 4 =.. c 3 =.. c = G +P G 0 +P P 0 c =G 0 +P