Introduzione e modellistica dei sistemi
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- Raffaele Pieri
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1 Introduzone e modellstca de sstem Element fondamental Rappresentazone n arabl d stato Esemp d rappresentazone n arabl d stato 007 Poltecnco d Torno
2 Resstore deale Resstore deale d resstenza R R R equazone costtuta nel domno del tempo è: () t R () t R mentre nel domno delle trasformate d aplace è: N.B.: l equazone costtuta è d tpo statco Untà d msura: [R ] Ω, [ R ] V, [ R ] A R R V ( s ) R I ( s ) R R Poltecnco d Torno
3 ondensatore deale ondensatore deale d capactà equazone costtuta nel domno del tempo è: () t d () t dt mentre nel domno delle trasformate d aplace è: I ( s) sv ( s) ( t 0 ) N.B.: l equazone costtuta è data da un equazone dfferenzale s scegle come arable d stato Untà d msura: [ ] F, [ ] V, [ ] A 5 Induttore deale Induttore deale d nduttanza equazone costtuta nel domno del tempo è: () t d () t dt mentre nel domno delle trasformate d aplace è: V ( s) s I ( s) ( t 0 ) N.B.: l equazone costtuta è data da un equazone dfferenzale s scegle come arable d stato Untà d msura: [ ] H, [ ] V, [ ] A Poltecnco d Torno
4 Generator deal Generatore deale d tensone Generatore deale d corrente N.B.: costtuscono gl ngress del sstema dnamco Poltecnco d Torno 4
5 Rappresentazone n arabl d stato (/) S scrono le equazon costtute soltanto per component con memora (condensator e nduttor) S scrono le equazon topologche della rete elettrca, applcando le legg d Krchhoff (a nod e alle magle) o un qualsas altro metodo d anals d crcut elettrc (potenzal a nod, corrent cclche) S ntroduce una arable d stato x per ogn componente con memora, sceglendo n partcolare a tensone applcata ad ogn condensatore a corrente che scorre n ogn nduttore S assoca una arable d ngresso u j a ogn generatore deale d tensone o d corrente 9 Rappresentazone n arabl d stato (/) S rcaano le equazon d stato del tpo dx () t (), (), () dt a partre dalle equazon costtute e topologche precedent, esprmendo x soltanto n funzone d arabl d ngresso e stato, se necessaro rcorrendo anche a equazon costtute d eentual resstor S rcaano le equazon d uscta del tpo y () t g t, x (), t u () t k k x t f t x t u t esprmendo ogn arable d nteresse y k soltanto n funzone d arabl d ngresso e d stato Poltecnco d Torno 5
6 Esempo # d rappresentazone (/) Rcaare la rappresentazone n arabl d stato della seguente rete elettrca, assumendo come arabl d nteresse le tenson e R R Equazon costtute: ) ) () ( t) d t d ( t) dt () t dt d () t dt 007 Poltecnco d Torno 6
7 Esempo # d rappresentazone (/) Rcaare la rappresentazone n arabl d stato della seguente rete elettrca, assumendo come arabl d nteresse le tenson e R R Equazon topologche: ) () t () t () t () t (equazone alla magla) 4) () t () t () t () t (equazone al nodo) Esempo # d rappresentazone (/) Rcaare la rappresentazone n arabl d stato della seguente rete elettrca, assumendo come arabl d nteresse le tenson e R R Varabl d stato: () t x () t () t x () t Poltecnco d Torno 7
8 Esempo # d rappresentazone (/) Rcaare la rappresentazone n arabl d stato della seguente rete elettrca, assumendo come arabl d nteresse le tenson e R R Varabl d ngresso: t () u () t ut () t () u () t 5 Esempo # d rappresentazone (/) Equazon costtute e topologche: ) () t d () t dt ) () t () t () t () t ) () t d () t dt 4) () t () t () t () t Varabl d stato e d ngresso: () t x () t () t () u t, ut () () t x () t () t u () t Equazon d stato: ( ) x d dt u x u R x R x x u f ( t x u),, Poltecnco d Torno 8
9 Esempo # d rappresentazone (/) Equazon costtute e topologche: ) () t d () t dt ) () () () () t t t t ) () t d () t dt 4) () t () t () t () t Varabl d stato e d ngresso: () t x () t () t () u t, ut () () t x () t () t u () t Equazon d stato: x d dt x x u R u x x u f ( t, x, u) R ( ) 7 Esempo # d rappresentazone (/) Equazon costtute e topologche: ) () t d () t dt ) () t () t () t () t ) () t d () t dt 4) () t () t () t () t Varabl d stato e d ngresso: () t x () t () t () u t, ut () () t x () t () t u () t Equazon d uscta: y R Rx g ( t, x, u) y Poltecnco d Torno 9
10 Esempo # d rappresentazone (/) Equazon costtute e topologche: ) () t d () t dt ) () t () t () t () t ) () t d () t dt 4) () t () t () t () t Varabl d stato e d ngresso: () t x () t () t () u t, ut () () t x () t () t u () t Equazon d uscta: y R Rx g ( t, x, u) y x g ( t x u) y t y ( t ) y t,, 9 Esempo # d rappresentazone (/) R Equazon d stato: x x x u x x x u R Equazon d uscta: y Rx y x Se R, R, e sono costant, l sstema è TI ha come rappresentazone n arabl d stato ( xt) Axt () But () y () t x() t Du() t R 0 R A, B,, D R Poltecnco d Torno 0
11 Esempo # d rappresentazone (/) Rcaare la rappresentazone n arabl d stato della seguente rete elettrca, n cu y () t () t e l bpolo ha caratterstca () t () t () t Equazon costtute: ) () () t d t dt ) () t d () t dt d () t dt Esempo # d rappresentazone (/) Rcaare la rappresentazone n arabl d stato della seguente rete elettrca, n cu y () t () t e l bpolo ha caratterstca () t () t () t Equazon topologche: ) () t () t () t (equazone alla magla) 4) () t () t () t () t (equazone al nodo) 007 Poltecnco d Torno
12 Esempo # d rappresentazone (/) Rcaare la rappresentazone n arabl d stato della seguente rete elettrca, n cu y () t () t e l bpolo ha caratterstca () t () t () t Varabl d stato: () t x () t () t x () t Esempo # d rappresentazone (/) Rcaare la rappresentazone n arabl d stato della seguente rete elettrca, n cu y () t () t e l bpolo ha caratterstca () t () t () t Varabl d ngresso: t () u () t ut () t () u () t Poltecnco d Torno
13 Esempo # d rappresentazone (/) Equazon costtute e topologche: ) () t d () t dt ) () t () t () t ) () t d () t dt 4) () t () t () t () t 5) () t () t () t Varabl d stato e d ngresso: () t x () t () t () u t, ut () () t x () t () t u () t Equazon d stato: x d dt u x x u f ( t, x, u) 5 Esempo # d rappresentazone (/) Equazon costtute e topologche: t d t dt t t t ) () () ) () () () ) () t d () t dt 4) () t () t () t () t 5) () t () t () t Varabl d stato e d ngresso: () t x () t () t () u t, ut () () t x () t () t u () t Equazon d stato: x d dt ( ) x x x u f ( t, x, u) x u (x u x x ) Poltecnco d Torno
14 Esempo # d rappresentazone (/) Equazon costtute e topologche: ) () t d () t dt ) () t () t () t ) () t d () t dt 4) () t () t () t () t 5) () t () t () t Varabl d stato e d ngresso: () t x () t () t () u t, ut () () t x () t () t u () t Equazone d uscta: y x g ( txu,, ) 7 Esempo # d rappresentazone (/) Equazon d stato: Equazone d uscta: x x u x x x x u y x Il sstema rsulta non lneare, a causa del bpolo aente caratterstca statca non lneare Il sstema è noltre dnamco, a tempo contnuo, a dmensone fnta (n ), MIMO (p, q ), propro, stazonaro nel caso e sano costant Poltecnco d Torno 4
15 Esempo # d rappresentazone (/4) Rcaare la rappresentazone n arabl d stato della seguente rete elettrca, n cu y () t () t R R Equazon costtute: ) ( t ) d ( t ) dt ) () t d () t dt d () t dt () t () t ) () t d () t dt d () t dt () t () t ( ) 9 Esempo # d rappresentazone (/4) Rcaare la rappresentazone n arabl d stato della seguente rete elettrca, n cu y () t () t R R Equazon topologche: 4) () t () t () t (equaz. alla magla ) 5) () t () t () t ()(equaz. t alla magla ) 6) () t () t () t (equazone al nodo) Poltecnco d Torno 5
16 Esempo # d rappresentazone (/4) Rcaare la rappresentazone n arabl d stato della seguente rete elettrca, n cu y () t () t R R Varabl d stato: () t () t () () () x t xt t () t () t x () t () t Esempo # d rappresentazone (/4) Rcaare la rappresentazone n arabl d stato della seguente rete elettrca, n cu y () t () t R R Varable d ngresso: ut () t () 007 Poltecnco d Torno 6
17 Esempo # d rappresentazone (/4) Equazon costtute e topologche: ) () t d () t dt 4) () () () t t t ) () t d () t dt 5) () t () t () t () t ) () t d () t dt 6) () t () t () t Varabl d stato e d ngresso: () t x () t, ut () [ t ()] () t x () t Equazon d stato: x d dt R x ) R x ( u x R x x x u f t x u R R (,, ) Esempo # d rappresentazone (/4) Equazon costtute e topologche: ) () t d () t dt 4) () () () t t t ) () t d () t dt 5) () t () t () t () t ) () t d () t dt 6) () t () t () t Varabl d stato e d ngresso: () t x () t, ut () [ t ()] () t x () t Equazon d stato: x d dt ) ( R ( x R d () t dt) x x x R R x x x x x x f ( t, x, u) Poltecnco d Torno 7
18 Esempo # d rappresentazone (/4) Equazon costtute e topologche: ) () t d () t dt 4) () t () t () t ) () t d () t dt 5) () t () t () t () t ) () t d () t dt 6) () t () t () t Varabl d stato e d ngresso: () t x () t, ut () [ t ()] () t x () t Equazone d uscta: y d t dt x f ( t xu) () R y x x g t x u,, (,, ) 5 Esempo # d rappresentazone (/4) x x x u Equazon d stato: R R R x x x R Equazone d uscta: y x x Se R, R,, e sono costant, l sstema è TI ha come rappresentazone n arabl d stato Axt () But () y () t x() t Du() t R R A R, B R,, D Poltecnco d Torno 8
19 Esempo # d rappresentazone (4/4) Una rete elettrca è detta degenere se contene: Magle d condensator (ne cu lat sono present solo condensator e/o generator d tensone) e/o Tagl d nduttor ( cu lat sono costtut solo da nduttor e/o generator d corrente, come n quest ultmo esempo n cu e sono n sere) Nelle ret degener, l numero totale d condensator e nduttor present è maggore della dmensone n del sstema, poché le tenson su condensator o le corrent negl nduttor non sono tutte ndpendent In generale, la dmensone n del sstema è par al numero d arabl d stato lnearmente ndpendent Poltecnco d Torno 9
Introduzione e modellistica dei sistemi
Introduzione e modellistica dei sistemi Modellistica dei sistemi dinamici elettrici Elementi fondamentali Rappresentazione in variabili di stato Esempi di rappresentazione in variabili di stato Modellistica
ω 0 =, abbiamo L = 1 H. LC 8.1 Per t il condensatore si comporta come un circuito aperto pertanto la corrente tende a zero: la R
8. Per t l condensatore s comporta come un crcuto aperto pertanto la corrente tende a zero: la funzone non può essere la (c). caando α e ω 0 s ottengono seguent alor: α 5 0 e ω 0 0. Essendo α > ω 0 l crcuto
Corso di Elettrotecnica
Unerstà degl Stud d Paa Facoltà d Ingegnera orso d orso d Elettrotecnca Teora de rcut rcut elettrc n funzonamento perturbato rcut elettrc n funzonamento perturbato I IRUITI OMPRENONO: Sorgent nterne d
Esercizi sulle reti elettriche in corrente continua (parte 2)
Esercz sulle ret elettrche n corrente contnua (parte ) Eserczo 3: etermnare gl equvalent d Thevenn e d Norton del bpolo complementare al resstore R 5 nel crcuto n fgura e calcolare la corrente che crcola
Circuiti elettrici in regime stazionario
rcut elettrc n regme stazonaro Metod d anals www.de.ng.unbo.t/pers/mastr/ddattca.htm ersone del -0-00 Premessa Nel caso pù generale è possble ottenere la soluzone d un crcuto rsolendo un sstema formato
La corrente vale metà del valore finale quando 0,2(1 e ) = 0, 1; risolvendo l equazione si
7.6 La corrente nzale è edentemente nulla. on l nterruttore chuso la costante d tempo è τ = L/ = 1/200 s. Il alore fnale è ( ) = 20/100 = 0,2 A. on l espressone (7.13b) a pag. 235 del lbro s ottene 200t
Principi di ingegneria elettrica. Lezione 2 a
Prncp d ngegnera elettrca Lezone 2 a Defnzone d crcuto elettrco Un crcuto elettrco (rete) è l nterconnessone d un numero arbtraro d element collegat per mezzo d fl. Gl element sono accessbl tramte termnal
Circuiti elettrici in regime stazionario
rcut elettrc n regme stazonaro omponent www.de.ng.unbo.t/pers/mastr/ddattca.htm (ersone del 3-9-0) Bpol resst Equazon caratterstca d un bpolo ressto f, 0 L equazone d un bpolo ressto defnsce una cura nel
il diodo a giunzione transistori ad effetto di campo (FETs) il transistore bipolare (BJT)
Contenut del corso Parte I: Introduzone e concett ondamental rcham d teora de crcut la smulazone crcutale con PICE element d Elettronca dello stato soldo Parte II: Dspost Elettronc l dodo a gunzone transstor
I O R 2 R 1 E O. i 1 I X R 3. (figura - 2.0) (figura - 2.0a)
ESEZO.0: ssegnata la rete lneare d fgura.0, realzzata con l collegamento d generator ndpendent, generator plotat ed element passv, s determn la corrente X che crcola nella resstenza. Sono not: ; O ; b
Componenti resistivi
omponent resst www.de.ng.unbo.t/pers/mastr/ddattca.htm (ersone del 4--08) Bpol resst Bpolo ressto: componente a due termnal aente equazone caratterstca del tpo f (t), (t), t0 (f funzone generca) L equazone
Elettrotecnica - Modulo 1 - Ing. Biomedica, Ing. Elettronica per l Energia e l Informazione A.A. 2018/19 - Prova n.
Tpo 1 Compt A01-A0-A05-A07-A09-A11-A1-A15-A17-A19-A21-A2-A25-A27-A29 Es. 1: (Esempo d rsoluzone) 1. Scelto l albero formato da lat 1, 2, 4, 5, 6 le ncognte sono le corrent d magla I, I 7 e I 9. r11r21r22
Riassunto. l A. 1 Ampere (A) = 1 C/s. P = L / t = i V = V 2 /R= R i 2. Q t dq dt. Q t. lim
assunto Q t lm t0 Q t dq dt Ampere (A) = C/s V l A l A P = L / t = V = V 2 /= 2 La potenza elettrca Mentre passa la corrente, l energa potenzale elettrca s trasforma n energa nterna, dsspata sotto forma
3 = 3 Ω. quindi se v g = 24 V, i = 1,89 A Dobbiamo studiare tre circuiti; in tutti e tre i casi si ottiene un partitore di corrente.
5. Per la propretà d lneartà la tensone può essere espressa come = k g, doe g è la corrente del generatore. Utlzzando dat n Fgura a abbamo - = k 6, qund k = - ½. In Fgura b la corrente del generatore è
Metodi di analisi per circuiti resistivi
Metod d anals per crcut resst www.de.ng.unbo.t/pers/mastr/ddattca.htm ersone del 7-0-07 Premessa Nel caso pù generale è possble ottenere la soluzone d un crcuto rsolendo un sstema formato dalle equazon
3- Bipoli di ordine zero
Tpologe d m-bpol Elettrotecnca 3- Bpol d ordne zero Sono ndduate da legam matematc che gl m- bpol presentano tra tenson e corrent alle porte; ogn tpo d legame defnsce una partcolare tpologa d m-bpolo;
Componenti resistivi
omponent resst www.de.ng.unbo.t/pers/mastr/ddattca.htm (ersone del 3-9-03) Bpol resst Bpolo ressto: componente a due termnal aente equazone caratterstca del tpo f (t), (t), t0 (f funzone generca) L equazone
Circuiti elettrici in regime stazionario
Crcut elettrc n regme stazonaro Component www.de.ng.unbo.t/pers/mastr/ddattca.htm (ersone del 0-0-00) Bpol resst Equazon caratterstca d un bpolo ressto f, 0 L equazone d un bpolo ressto defnsce una cura
Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici. Stabilità interna di sistemi dinamici LTI
Equlbro e stabltà d sstem dnamc Stabltà nterna d sstem dnamc LTI Stabltà nterna d sstem dnamc LTI Stabltà nterna d sstem dnamc LTI TC Crter d stabltà per sstem dnamc LTI TC Stabltà nterna d sstem dnamc
Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici. Stabilità dell equilibrio di sistemi dinamici non lineari per linearizzazione
Equlbro e stabltà d sstem dnamc Stabltà dell equlbro d sstem dnamc non lnear per lnearzzazone Stabltà dell equlbro d sstem dnamc non lnear per lnearzzazone Stabltà dell equlbro d sstem NL TC Crter d stabltà
CAPITOLO 3 CIRCUITI DI RESISTORI
CAPITOLO 3 CIRCUITI DI RESISTORI Pagna 3. Introduzone 70 3. Connessone n sere e connessone n parallelo 70 3.. Bpol resstv n sere 7 3.. Bpol resstv n parallel 77 3.3 Crcut resstv lnear e sovrapposzone degl
Esercitazioni di Elettrotecnica: circuiti in regime stazionario
Unerstà degl Stud d assno serctazon d lettrotecnca: crcut n regme stazonaro ntono Maffucc er settembre Maffucc: rcut n regme stazonaro er- Sere, parallelo e parttor S alcolare la resstenza ualente sta
i 2 R 2 i (v -v ) i O v S RID + -
NLII DEL GUDGN, DELL EITENZ DI INGE E DELL EITENZ DI UCIT DI UN MPLIFICTE PEZINLE, NELL IPTEI DI GUDGN FINIT, DI EITENZ DI INGE FINIT E DI EITENZ DI UCIT NN NULL consdereranno separatamente cas d resstenza
Metodi di analisi R 1 =15Ω R 2 =40Ω R 3 =16Ω
Metod d anals Eserczo Anals alle magle n presenza d sol generator ndpendent d tensone R s J R Determnare le tenson sulle resstenze sapendo che: s s 0 R R 5.Ω s J R J R R 5Ω R 0Ω R 6Ω R 5 Dsegnamo l grafo,
Bipoli resistivi. (versione del ) Bipoli resistivi
Bpol resst www.de.ng.unbo.t/pers/mastr/ddattca.htm (ersone del 6--0) Bpol resst Bpolo ressto: componente a due termnal aente equazone caratterstca del tpo f (t), (t), t0 (f funzone generca) L equazone
METODI PER L ANALISI DEI CIRCUITI CIRCUITI PRIVI DI MEMORIA.
MTODI P NISI DI IUITI Nel seguto vengono llustrat, medante esemp, alcun tra metod pù utlzzat per l'anals de crcut elettrc. Il problema che s vuole rsolvere è l seguente: assegnato l crcuto elettrco e le
Circuiti dinamici. Circuiti del secondo ordine. (versione del ) Circuiti del secondo ordine
rcut dnamc rcut del secondo ordne www.de.ng.unbo.t/pers/mastr/ddattca.htm (versone del 9-6- rcut del secondo ordne rcut del secondo ordne: crcut l cu stato è defnto da due varabl x ( e x ( Per un crcuto
Elettrotecnica - Modulo 1 - Ing. Biomedica, Ing. Elettronica per l Energia e l Informazione A.A. 2017/18 - Prova n luglio 2018.
ognome Nome Matrcola Frma 1 Part svolte: E1 E E3 D Eserczo 1 A G7 6 B V G6 T V 1 D V 5 g11 0 G g1 g Supponendo not parametr de component e della matrce d conduttanza del trpolo T, llustrare l procedmento
Autronica LEZIONE N 4
Autronca LEZIONE N 4 lassfcazone de sstem elettronc umore Dstorson Frequenze tpche de segnal elettronc TEOIA DELLE ETI ELETTIHE Grandezze elettrche Element crcutal Equazon fsche Legge d Ohm Equazon topologche
MODELLI DI SISTEMI. Modelli di sistemi dinamici Operatore D. Trasformate di Laplace. CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Meccatronica
Modell d sstem dnamc CONTOI UTOMTICI Ingegnera Meccatronca http://www.automazone.ngre.unmore.t/pages/cors/utomazone%20industrale.htm MODEI DI SISTEMI S prenderanno n esame alcun esemp d modell matematc
Grafi ed equazioni topologiche
Graf ed equazon topologche www.de.ng.unbo.t/pers/mastr/ddattca.htm (ersone del --) Premessa Se s ndca con l l numero d corrent e l numero d tenson de component d un crcuto, la rsoluzone del crcuto rchede
Teorema di Thévenin-Norton
87 Teorema d Téenn-Norton E detto ance teorema d rappresentazone del bpolo, consente nfatt d rappresentare una rete lneare a due morsett (A, B) con: un generatore d tensone ed un resstore sere (Téenn)
Amplificatori operazionali
Amplfcator operazonal Parte 3 www.de.ng.unbo.t/pers/mastr/ddattca.htm (versone del 9-5-) Confgurazone nvertente generalzzata Se nella confgurazone nvertente s sosttuscono le resstenze R e R con due mpedenze
E' il rapporto tra la quantità di carica che attraversa una sezione del conduttore e l'intervallo di tempo impiegato.
Corrent e crcut Corrent e crcut corrente: la quanttà d carca che attraversa una superfce nell untà d tempo Q t lm t0 Q t dq dt 1 Ampere (A) = 1 C/s E' l rapporto tra la quanttà d carca che attraversa una
LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA
CAPITOLO 33 LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA 1 L INTENSITÀ DELLA CORRENTE ELETTRICA 1! v! a t! F m e! E m t v! e t m! E Fssato l ntervallo d tempo t, s può scrvere! v! E 2 Q t 4,0 10 2 A 5,0 s 0,20 C 3 t
Principio di sostituzione - I
67 Prncpo d sosttuzone - I In una rete elettrca (lneare o non-lneare) un coponente elettrco, o un nsee d coponent elettrc (lnear o non lnear), può essere sosttuto con un altro coponente o nsee d coponent
Teoremi dei circuiti
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DAI CIRCUITI AI GRAFI
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LA CAPACITÀ ELETTRICA DEI CORPI
Pagna 1 d 6 LA CAPACIÀ ELERICA DEI CORPI La capactà elettrca de corp rappresenta l atttudne de corp ad osptare sulla loro superfce una certa quanttà d carca elettrca. L U.I. d msura è l FARAD segue pertanto
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2002 sper. autonoma 1 M.Vincoli
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