Corsi a cui sono dedicati gli appunti: - Elettrotecnica A (7.5 cfu) - Teoria delle reti elettriche (5 cfu) Prof. Amedeo Premoli

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1 Cors a cu sono dedcat gl appunt: - Elettrotecnca A (7.5 cfu) - Teora delle ret elettrche (5 cfu) Prof. Amedeo Premol Defnzon are per k-porta Adnamco: Se cascuna delle relazon costtute non contene derate e/o ntegral delle tenson e corrent. Rsulta qund nsensble ad una alterazone nella scala del tempo. Dnamco: se almeno una delle relazon costtute contene la derata e/o ntegrale d una tensone o corrente. Tempo-arante: component tempo-arant hanno una caratterstca che ara nel tempo. Se almeno una delle relazon costtute dpende dal tempo. Tempo-narante: se cascuna delle relazon costtute non contene parametr dpendent dal tempo. Lneare: un k-porta è detto lneare se una qualsas combnazone lneare delle tenson e corrent d due qualsas stuazon elettrche è a sua olta una soluzone della caratterstca. Cascuna delle relazon costtute è lneare. Non-lneare: Altrment un componente è detto nonlneare quando almeno una delle relazon costtute è non-lneare. Omogeneo (solo per lnear): un k-porta lneare è detto omogeneo se ogn soluzone delle relazon costtute, se alterata per uno scalare qualsas, è a sua olta una soluzone. L orgne è soluzone delle equazon costtute. Non ha termn not. Altrment un componente è detto nonomogeneo. Dopp bpol Smmetra: un DB è detto smmetrco qualora le due relazon costtute non mutano allo scambo recproco delle due porte. Un doppo bpolo smmetrco non può essere undrezonale. Se le matrc R/G sono defnte, la smmetra del DB comporta la concdenza de termn sulla dagonale e d quell fuor dalla dagonale. Un-drezonale: un DB è detto un-drezonale qualora una delle due relazon costtute non conolge né la tensone né la corrente d una delle porte. Nel caso che le matrc R/G sano defnte, la un-drezonaltà del DB comporta la nulltà d uno de termn fuor dalla dagonale. Un DB è detto zerodrezonale quando cascuna relazone costtuta conolge solamente la tensone e corrente n una porta. Altrment un DB è detto bdrezonale. Bpol La tensone o la corrente n un bpolo è detta non-ncolata se non compare nella rappresentazone mplcta h + h h Omogeneo: la stuazone, appartene al domno costtuto del bpolo. La caratterstca de bpol omogene passa per l orgne degl ass. Impresso: una delle grandezze è non-ncolata, l altra assume un alore fsso. La caratterstca è parallela ad uno degl ass. Annullando l termne noto della rappresentazone mplcta troamo l bpolo omogeneo assocato. Tutt bpol omogene sono blateral, quello non-omogene sono unlateral. Rappresentazon esplcte: r + g + - bpol non-mpress sono controllabl sempre sa n tensone che n corrente.

2 Recproctà Consderamo un generco k-porta che oper n due stuazon elettrche derse: nella prma stuazone elettrca contraddstnta dal pedce ( ) a, le tenson e le corrent alle porte del k-porta sono ndcate da a ed a, mentre nella seconda stuazone elettrca, contraddstnta dal pedce ( ) b, le tenson e le corrent alle porte del k-porta sono ndcate da b ed b, rspettamente. Possamo T T defnre due potenze rtual, chamate potenze rtual mste, per l k-porta p ' an p '' b a Se le due potenze mste concdono per qualsas coppa d stuazon elettrche, l k-porta è detto recproco, altrment è detto non-recproco. Un componente adnamco tempo-narante è detto antrecproco se la somma delle potenze ncrocate è nulla per una qualsas coppa d stuazon. - un componente lneare nonomogeneo è né recproco né antrecproco. - Un bpolo lneare è sempre recproco Il k-porta è recproco se e solo se la matrce resstenza R è smmetrca. Il k-porta è antrecproco se e solo se la matrce R è antsmmetrca. Il k-porta è recproco se e solo se la matrce G è smmetrca. Il k-porta è antrecproco se e solo se la matrce G è antsmmetrca. La recproctà d un DB d cu sano note le matrc T e T mplca che l determnante della matrce sa untaro: T e T L antrecproctà d un DB mpca che la matrce T e T sa dagonale o antdagonale e che l suo determnante T e T sa, rspettamente, o -. Un DB smmetrco, d cu esste la matrce R, è anche recproco. Un DB smmetrco d cu esste la matrce H è n genere anche recproco. L unco caso n cu non è recproco è h ' h' h ' ± h ' ± Un DB smmetrco d cu esste la matrce T è n genere anche recproco. L unco caso n cu non è recproco è t ' t ' t ' ± t ' ± Teorema d recproctà Assumamo d troarc daant ad un componente che dstnguamo con l pedce ( ) a costtuto da due component che dstnguamo con pedc( ) b e( ) c. qualora component B e C sano recproc, l componente composto A è a sua olta recproco. Un componente composto da solo element recproc, è a sua olta recproco.

3 3 Rappresentazon per dopp bpol R r r r r G H' H'' T' g g g g h ' h' h' h' h '' h'' h'' h'' t ' t ' t ' t ' T'' t '' t '' t '' t '' N.B. l erso delle corrent, entrante, uscente nelle matrc d trasmssone. Potenza [R] p r + ( r + r ) + r P [ ] R (mpedenza Z) (ammettenza Y) [G] ( ) p g + g + g + g P [ ] G [H ] ( ) p h' + h ' + h ' + h ' P [ ] H' [H ] ( ) p h'' + h '' + h'' + h '' P [ ] H'' Potenza massma erogable da una sorgente che ha resstenza nterna R n rsulta par a: Veq IeqRn Pmax (per sorgent caratterzzabl come bpol non-omogene e non-mpress) 4Rn 4 Questo alore ene raggunto per o. g r La resstenza e la conduttanza de resstor present ne due modell equalent è la stessa poché essa concde con la resstenza del bpolo omogeneo assocato che non dpende dalla rappresentazone. un doppo bpolo è dsspato se la matrce R è semdefnta posta, coè dee aere det e gl element sulla dagonale prncpale deono essere. Per troare la massma potenza erogable occorre fare la derata della potenza rspetto alla tensone e porla uguale a. Se s tratta d un doppo bpolo occorre fare l sstema d derate rspetto alle tenson.

4 4 Per troare le rappresentazon cardnal con la matrce d trasmssone occorre usare metod algebrc. La conenzone normale (degl utlzzator) ede le corrent entrant nel doppo bpolo e la corrente opposta alla tensone nel bpolo. La conenzone non-normale (de generator) ede la corrente alla prma porta entrante e la corrente alla seconda porta uscente nel doppo bpolo e la corrente nello stesso erso della tensone nel bpolo.

5 5 Sorgent plotate - non-mpresso, omogeneo, undrezonale V sorgente d tensone plotata n corrente ( ) I R : rm p rm rm (transresstenza) T ' rm nonncolata / rm I sorgente d corrente plotata n tensone ( ) V G : gm p gm gm (transconduttanza) / gm T ' gm nonncolata I sorgente d corrente plotata n corrente ( ) I H ': β p β β (guadagno d corrente) T ' β nonncolata / β V sorgente d tensone plotata n tensone ( ) V H '': α p α α (guadagno d tensone) / α T α nonncolata

6 6 Trpol resst Stella r r ra + rc rc R : r r rc rb r + c trangolo g g gac + gab gab G : g g gab gbc g + ab trasformazone stella trangolo r r r r r r rbc rb + rc + rac ra + rc + rab ra + rb + r r r b c a c a b a b c trasformazon trangolo stella rab rac rbc rab rac rbc ra rb rc rab + rbc + rac rab + rbc + rac rab + rbc + rac Nel caso c sano component non lnear, allora occorre utlzzare l mpedenza assocata al componente. Data una matrce R è possble rcaare una forma ressta equalente solo se la matrce è smmetrca.

7 7 Nullore, T ' T ':, nonncolate - omogeneo, mpresso, atto Connesson d un nullore La connessone trasersale d un R < ra > Ba al nullore trbolare DBT è equalente ad unav I trpolare DBT con transresstenza r m r a la connessone d un R < ra > Ba n sere al termnale comune d un nullore trbolare DBT è equalente ad una I V trbolare DBT con transconduttanza gm r a I due resstor n parallelo alle due porte del nullore possono essere sosttut da due c.a. qualora la corrente fluente n ess non fosse d nteresse. I due resstor n sere alle due porte del nullore possono essere sosttut da due c.c. qualora la tensone a loro cap non sa d nteresse.

8 8 Trasformatore deale n n n T ' T '' n H ' H '' n n n n È un componente nerte. È sa recproco, sa antrecproco. n: rapporto d trasformazone. Connesson d un trasformatore trasformatore deale chuso su un resstore è equalente ad un resstore con resstenza n r u trasformatore deale chuso su una a è equalente ad una con tensone mpressa n a trasformatore deale chuso su una îa è equalente ad una î con corrente mpressa par a a n trasformatore deale chuso su un c.c. è equalente ad un c.c. trasformatore deale chuso su un c.a. è equalente ad un c.a. una resstenza tra l termnale non comune della prma porta ed l termnale comune della seconda è equalente ad un c.a.

9 9 Induttor accoppat Gl nduttor accoppat sono recproc. ( t) L M ( t) Rappresentazone dfferenzale ( t) M L ( t) ene Energa mmagazznata w ( t) L ( t) + L ( t) + M ( t) ( t) Propretà gl nduttor accoppat sono equalent, lmtatamente all stante tt, ad una coppa d si con corrent mpresse L ( t) e L ( t ) Sere e parallelo degl nduttor accoppat La connessone n sere delle due porte è equalente ad un L L L + L M La connessone n parallelo delle due porte è equalente ad un L L Coeffcente d accoppamento k [, + ] M L L eq eq L L M L L M + + Modello equalente gl nduttor accoppat ammettono un modello equalente consstente n due nduttor dsaccoppat con nduttanza L s n sere e L p n parallelo e un tr.d. Nel caso k± L s è nullo. L M M n k Lp k L Ls ( k ) L L L L L Gl nduttor accoppat dentano arabl d stato solo se k<. Se k ± le corrent ne nduttor accoppat sono legate da una relazone algebrca, solo una corrente denta arable d stato, l crcuto è d ordne. L s,l p M ndfferente Altro modello equalente Vale solo nel caso sa trpolare: L L M L L M L M a b c

10 Gratore g g m gm T' m R G g T'' g m m gm g gm m È un componente nerte. È antrecproco. g m : transconduttanza d grazone. Connesson d un gratore Un gratore con la seconda porta chusa su un resstore R u è equalente ad un unco resstore con resstenza par a g R Un gratore con la seconda porta chusa su unav è equalente ad una Î d alore g V Un gratore con la seconda porta chusa su una Î è equalente ad unav I d alore g Un gratore con la seconda porta chusa su un C è equalente ad un L Un gratore con la seconda porta chusa su un L è equalente ad un C m u eq C / g L g m eq eq m Un gratore con la seconda porta chusa su un c.c. è equalente ad un c.a. Un gratore con la seconda porta chusa su un c.a. è equalente ad un c.c. Se l gratore non è chuso su una semplce resstenza, allora occorre usare l mpedenza assocata all elemento non lneare. m m

11 Cascata d dopp bpol. se le matrc d trasmssone dretta de due dopp bpol sono defnte, la corrspondente matrce (totale) ene ottenuta medante l loro prodotto. se le matrc d trasmssone nersa sono defnte, la corrspondente matrce totale ene ottenuta medante l loro prodotto. 3. se uno de dopp bpol conness è undrezonale, anche l doppo bpolo composto è undrezonale. 4. la cascata d due tr.d. è equalente ad un tr.d. l cu rapporto d trasformazone concde col prodotto de rapport. 5. un resstore n sere alla seconda porta d un tr.d. è equalente ad un resstore n sere alla a b a ( ) b a n r n r n prma porta con resstenza a a / n / n 6. un resstore n parallelo alla seconda porta d un tr.d. è equalente ad un resstore n parallelo a a n n alla prma porta con resstenza a b b a / / ( ) a n g g n / n 7. la cascata d due grator è equalente ad un tr.d. l cu rapporto d trasformazone concde col b a g / g. rapporto delle due transconduttanze d grazone ( m m ) 8. la cascata d un tr.d. e un gratore è equalente ad un gratore l cu rapporto d grazone concde col rapporto d grazone del gratore rspetto alla costante d trasformazone del b a tr.d.( gm / n ). 9. Un resstore n parallelo alla seconda porta d un gratore è equalente ad un resstore n sere a a / / ( ) b a g m gm r / g m alla prma a b a g / r m gm. un resstore n sere alla seconda porta d un gratore è equalente ad uno n parallelo alla a b a / g m r / g prma ( ) m a a b a gm g gm m r. la cascata d duev V è equalente ad unav V l cu guadagno n tensone concde col prodotto de guadagn[ α α ].. la cascata d due I I è equalente ad una I I l cu guadagno n corrente concde col prodotto de guadagn. β β 3. la cascata d una I I ed unav V è equalente ad un nullore. (dem l contraro) 4. se n una cascata d dopp bpol è presente un nullore, l doppo bpolo composto sarà un nullore. 5. dopp bpol n cascata danno orgne ad un derso tpo d doppo bpolo se l ordne n cu sono conness ene nertto. 6. un DB è zero drezonale alle pulsazon degl zer de bpol conness n parallelo e alle pulsazon degl zer de bpol conness trasersalmente. Dobb bpol a ponte Dopp bpol a ponte sono equlbrat se l prodotto delle resstenze (mpedenze) de ram oppost è lo stesso. In questo caso è possble sostture l bpolo d ponte con un c.a. poché a suo cap non c è dfferenza d tensone.

12 Partcolar confgurazon d DB S sommano le matrc G Se l gratore ha una mpedenza a ponte, allora occorre calcolare la matrce G tot G gr + G mp e edere n che modo s resce a scomporre. S sommano le matrc Z DB n parallelo e sere Parallelo d DB a b Se entrambe le matrc conduttanzag e G esstono, anche la matrce conduttanza totale esste e ene ottenuta medante la loro somma: c c a b a b g g g + g g + g c c a b a b g g g + g g + g Parallelo d un generco DBT ed un nullore trbolare a Il parallelo d un nullore trbolare ed un generco DBT con matrce G è equalente ad unav I trbolare con transresstenza r m g a (ed nullore) Sere d DB a b Se le matrc resstenza R e R esstono, anche la matrce resstenza totale esste e ene ottenuta medante la loro somma: c c a b a b r r r + r r + r c c a b a b r r r + r r + r Informazon are su bpol e dopp bpol Un qualsas bpolo n sere ad una Î denta un c.c. Pure una V.

13 3 Stella d Mller Trangolo d Mller Nel caso non s abbano resstenze ma condensator e nduttor algono le stesse regole, occorre solo utlzzare l mpedenza assocata nece che la resstenza. sc sc α + Rcorda: C C ( α + ) Modello equalente d Theenn e Norton La R la s troa dsattando tutt generator ndpendent. eq Se c sono generator plotat allora s usa V test Z). Se c sono solo generator plotat, V eq, I eq n parallelo (per troare Y), Î test n sere (per troare

14 4 Rappresentazone ntegrale t condensatore ( t) ( ) d C τ τ + t C scarco n t cost ( t) + ( t t) C t Induttore ( t) ( ) d L τ τ + t L scarco n t cost ( t) + ( t t) L Rappresentazone dfferenzale Condensatore ( t) C ( t) A t se ( τ ) Icost V ( t) C A t se ( τ ) Vcost I ( t) L Induttore ( t) L ( t) Conserato: l condensatore e l nduttore sono dett component conserat nel senso che sono n grado d accumulare l laoro elettrco assorbto sotto forma d energa, che può essere ntegralmente resttuta n temp success. Energa mmagazznata: C [ ( )] c t L[ ( )] l t Potenza effetta condensatore p( t) C ( t) ( t) Induttore p( t) L ( t) ( t) Laoro effetto C ( t) C ( t) Condensatore w( t) L ( t) L ( t) Induttore w( t) C chuso su un R ( t) ( t) ( t) τ RC L chuso su un R ( t) ( t) R ( t) τ L costante d tempo L C τ rc gl r g Vale la relazone t t τ τ c c ( t ) e ( t ) e Canddate d stato Le grandezze c ( t) ed l ( t) sono canddate d stato del crcuto n cu l rspetto componente è nserto. C sono crcut degener n cu la grandezza non denta arable d stato.

15 5 Soluzone generale dell equazone generale nonomogenea per crcut d prm ordne con sorgent costant t t x( t) x x exp + x τ cost cost ( ) soluzone transtora cost t ( t) ( () ) exp + τ cost C C C C soluzonea regme cost t ( t) ( () ) exp + τ cost L L L L

16 6 Soluzone lbera lb a( t t ) x la soluzone lbera x ( t) e dpende esclusamente dal alore nzale x della canddata d stato x( t) e non dpende dalle grandezze mpresse. Essa concde con la soluzone partcolare del crcuto omogeneo assocato, determnata dal medesmo alore d x. Essa concde con la soluzone generale del crcuto omogeneo assocato, qualora x sa consderato ndetermnato. Modo naturale ( ) a t t e x l esponenzale che costtusce la soluzone lbera, ene chamato modo naturale del crcuto d prm ordne e a ene ene detta pulsazone naturale del crcuto dnamco. Indpendentemente dal alore d x,la soluzone lbera a< decresce a è costante a> cresce naturale perché questa funzone del tempo non dpende dalle grandezze mpresse ma nasce spontaneamente del crcuto dnamco. τ / a è chamata costante d tempo. Rappresenta l ntersezone tra l asse de temp e la tangente all esponenzale nel punto nzale. Soluzone forzata for la soluzone forzata x ( t) dpende dalle grandezze mpresse e non dpende da x. Concde con la soluzone effetta del crcuto orgnaro, qualora l alore nzale della canddata sa nullo. - la soluzone forzata composta rsulta uguale alla somma delle soluzon forzate a cascuna sorgente mpressa. Matrce d stato: ene defnta matrce d stato A la matrce del crcuto omogeneo assocato. Le pulsazon della matrce d stato sono gl autoalor della matrce d stato. Queste pulsazon sono chamate pulsazon natural.

17 7 Regme snusodale u( t) u cos( ωt + φ) ampezza u,pulsazone ω,fase φ frequenza ω f π perodo π T f ω antcpo\rtardo φ t ω u( t) u cos( ωt + φ) R u exp( jφ ) exp( jωt) { } u exp( jφ ) ndpendente dal tempo e specfco d cascuna snusode exp( jω t) dpendente dal tempo e comune all nseme delle snusod sofrequenzal Csod Le csod costtuscono una classe d funzon real d arable reale. Cascuna csode è caratterzzata da una specfca coppa d parametr scalar compless, chamat fasore e pulsazone complessa. fasore l fattore complesso u u exp( jφ ) soluzone u (modulo del faore)ampezzau della snusode u (fase del faore)argomento della snusode n t,φ. u( t) u cos( ωt + u) t t ( ( ω )) τ ( ω ) x( t) x x cos t + x e + x cos t + x soluzone transtora t sm τ sm c ( t) c () c () e + c ( t) t sm τ sm l ( t) l () l () e + l ( t) soluzone snusodale a regme

18 8 Fasor quadro delle relazon costtute de component dnamc omogene componente domno tempo domno fasor mpedenza j C ( t) C ( t) jωc z( jω) jωc ωc L ( t) L ( t) jωl z( jω) jωl LL g / r b / x ( t) L ( t) + M ( t) jωl + jωm ( t) M ( t) + L ( t) jωm + jωl bpol compost mpedenza z( jω ) ammettenza y( jω ) mpedenza ammettenza rapporto fasor z( jω) r( ω) + jx( ω) y( jω) g( ω) + jb( ω) parte reale r( ω) resstenza g( ω) conduttanza parte mmagnara x( ω) reattanza b( ω) suscettanza g( ω) r( ω) parte reale r( ω) g( ω) g ω + b ω r ω) + x( ω) ( ) ( ) ( b( ω) x( ω) parte mmagnara x( ω) b( ω) g( ω) + b( ω) r( ω) + x( ω) y x( ω) fase dell mpedenza φ arctan arctan x r( ω) Induttor accoppat matrce mpedenza z( jω) jωl z ( jω) z( jω) jωm z ( jω) jωl - S può ndcare l C solo con la sua reattanza xc x[ Ω ] - S può ndcare l L solo con la sua reattanza x x[ Ω ] Quando faccamo cont con Fourer occorre usare: -C x j - L x j Ne crcut n cuω rsulta ncognto occorre usare le legg d Ohm e d Krchoff per calcolare l equazone d stato: l ( t) L l ( t) c ( t) C c( t) ( t) R ( t) l

19 9 Funzon d rete Una funzone d rete è l rapporto tra l fasore d una grandezza d ramo y( t) scelta come uscta ed l fasore d una grandezza mpressa uˆ( t) che ha l ruolo d ngresso. La csode d uscta è nulla qualora la pulsazone della csode d ngresso concda con uno zero della funzone d rete. Zero all nfnto mpedsce la presenza d csod con pulsazone s nella grandezza d uscta. Zero nell orgne mpedsce la presenza d termn costant nella grandezza d uscta. Coppa d zer mmagnar pur mpedsce la presenza d snusod con pulsazone s ± ω Coppa d zer compless mpedsce la presenza d csod con pulsazone s σ ± jω Per calcolare l mpedenza d un crcuto s nsersce una sorgente d corrente al posto d un opportuno c.a. latente n parallelo e s calcola la tensone generata. Per calcolare l ammettenza d un crcuto s nsersce una sorgente d tensone al posto d un opportuno c.c. latente n sere e s calcola la corrente generata.

20 POTENZA Potenza stantanea e potenza atta Potenza effetta stantanea: P ( t) ( t) potenza stantanea: la potenza stantanea assorbta da un bpolo (o porta d un bpolo) è una snusode con pulsazone ω sorapposta ad una costante p( t) cos( φ φ ) + ( ωt + φ + φ ) Pcostante Pfluttuante cost l contrbuto costante P concde con la potenza atta; mentre l contrbuto snusodale P flu è app chamato potenza fluttuante; la sua ampezza P è chamata potenza apparente. La potenza stantanea osclla tra l alore massmo e mnmo: Pmn < Pmax > Pmax + Pmn Pmax Pmn Pcost Papp La potenza atta è defnta come la meda della potenza stantanea p( t) su un nterallo d tempo[ t, t ] suffcentemente lungo rspetto alla dnamca d p( t ) : t P p( t) dt t t t La potenza atta P assorbta da un bpolo operante n regme snusodale concde con la componente costante della potenza stantanea eff eff alor effcac Potenza complessa * Potenza complessa: P cos( φ φ ) + j sn ( φ φ ) potenza atta potenzareatta * * * z y r x g b P + j j P P + jq La parte reale della potenza complessa concde con la potenza atta. La parte mmagnara della potenza complessa è chamata potenza reatta. Il modulo della potenza complessa concde con la potenza apparente. P P + Q u u u Relazone tra potenza reatta ed energa massma mmagazznata max Q ωw per l condensatore max Q ωw per l nduttore Corollaro della potenza reatta: la potenza reatta assorbta da un componente composto è uguale alla somma delle potenze reatte assorbte da K component che fanno parte del bpolo composto. Relazone tra la potenza atta, reatta e stantanea p( t) P[ + cos(ωt + φ φ )] + Qsn(ωt + φ φ ) potenza attastantanea potenza reattastantanea

21 P P max + P mn P P + P + Q max u u u P max mn app P P app ( ) Q P P P P P + Q mn u u u ± Q ± Pmn Pmax P z P * u ru u gu Qu xu z ru Potenza atta dsponble d una sorgente snusodale: ˆ * Pdsp se zu zs 8rs Quadro della potenza stantanea assorbta da bpol comun mn max P P r r R r [ + cos(ωt + φ )] cost app r r P P C c ωc cos(ωt φ π / ) P mn ωc ωc P ωc max + + cost app P P mn ωl max ωl P P ωl L l (ωt + φ π / ) cost app ωl P P corollaro d Boucherot Quando un DB è chuso su un condensatore, la potenza reatta assorbta da tutto l bpolo composto è la potenza reatta assorbta dal condensatore moltplcata per l determnante della matrce d trasmssone dretta del DB. In un DB contenente un solo componente con parte mmagnara, la parte reatta della potenza assorbta dal DB concde necessaramente con la potenza reatta assorbta dalla parte mmagnara del componente. u

22 Rsonator deal Rsonatore sere deale Impedenza zs ( j ) j L j L jωc + ωc Rsonatore parallelo deale Impedenza ( ) y p j j C j C jωl + ωl Pulsazone d rsonanza ω LC Frequenza d rsonanza ω f π Se ω ω l rsonatore deale n sere ene sosttuto da un corto crcuto l rsonatore deale n parallelo ene sosttuto da un crcuto aperto relazone tra frequenza centrale e frequenze lateral f f f

23 3 FILTRI Funzon d butterworth F( jω) n ω ε n s + ε + ω ε n + ω ( ω ) ω - massma pattezza n banda passante e monotctà n banda attenuata. - Il fattore tra parentes quadre agsce come un unco fattore, parametr ω, n, ε agscono come sol. - I pol concdono con le radc dell equazone ( ) n ω s ω ε - Dstrbuzone de pol delle funzon d Butterworth lungo un semcercho nel sempano snstro d Gauss n Funzon d Chebyshe F( jω) ω s + ε Cn + ε Cn ω ω - ondulazone costante n banda passante e monotctà n banda attenuata - ω determna la larghezza della banda passante,ε determna l ampezza dell oscllazone n banda passante,al crescere d n a partà de alor precedent cresce la pendenza n banda d transzone qund la seletttà del fltro. - Dstrbuzone de pol lungo una semellsse nel sempano snstro. - Cascun polnomo d Chebyshe Cn( x) rsulta caratterzzato dal numero massmo possble d semoscllazon concdente con l grado del polnomo stesso. - Formula trgonometrca de polnom d C. Cn( x) cos[ n arccos( x) ] Funzon d Cauer - Andamento a ondulazone costante n banda passante ed n banda attenuata con comportamento monotonco n fase d transzone. - Fase d transzone molto corta.

24 4 Anals dnamca d un flp-flop Caratterstca adnamca a zg-zag (costtuta da 3 segment lnear). Punt d mpasse: è l fenomeno del salto (dscontnutà analtca) tra due punt dstant d una caratterstca adnamca (mpasse pont). Connettendo un nduttore n sere alla sorgente d tensone ottenamo un crcuto con punt d equlbro stabl e capactà d memora.

25 5 Rmozone d un polo all nfnto Sere d una nduttanza: s parte da Z( s) e s dee elmnare l fattore pù alto d grado al numeratore. Parallelo d un condensatore: s parte da Y ( s) e s dee elmnare l fattore pù alto d grado del numeratore. Rmozone d un polo nell orgne Sere d un condensatore: s parte da Z( s) e s dee elmnare l termne noto del numeratore. Parallelo d una nduttanza: s parte da Y ( s) e s dee elmnare l termne noto del numeratore. Rmozone d una costante Occorre edere che tpo d rete occorre (Cauer prmo tpo o Cauer secondo tpo) e po occorre alutare l fattore Z( ) o Z (). Regole pratche Se l grado del numeratore è maggore del grado del denomnatore è pù utle elmnare un polo all nfnto dell mpedenza puttosto che un polo nell orgne dell ammettenza. S può elmnare un polo nell orgne solo se la dfferenza tra grad del numeratore e del denomnatore è mnore o uguale a. Se l grado del denomnatore è maggore del grado del numeratore è pù utle rmuoere un polo all nfnto dell ammettenza. Zero nell orgne polo all nfnto Impedenze ed ammettenze Z( s) parallelo d component Y ( s) + Y ( s)

26 6 Matrc Un amatrce quadrata è detta smmetrca se gl element d ogn coppa smmetrca rspetto alla dagonale prncpale sono ugual. Altrment la matrce è detta asmmetrca. Una matrce quadrata è detta antsmmetrca se ogn elemento della dagonale prncpale è nullo e gl element d ogn coppa smmetrca rspetto alla dagonale stessa sono oppost. Matrce nersa a b d b M M c d c a det M Autoalor matrce a b λ a λ b c d λ c d λ Se le matrc cardnal d un doppo bpolo sono antsmmetrche, l doppo bpolo è nerte. La matrce sngolare è una matrce che ha determnante nullo. La matrce d stato è la matrce del crcuto omogeneo assocato. Le pulsazon natural sono date da pol del crcuto:. se ho unv le pulsazon natural sono date dal polo dell ammettenza pochè I V A, V I Z l nerso ale per Î ( ) L. altrment la pulsazone naturale è data dallaτ C Req del crcuto R 3. se l crcuto non ha generator occorre nserre un generatore d proa per calcolare la sua mpedenza/ammettenza. (generatore tensone n sere, generatore corrente n parallelo). 4. la pulsazone reale è negata. eq

27 7 Vare Trasformazon d Eulero j e π j 4 π j 4 π je sn ωt j 3cos( ωt) sn( ωt) Formule trgonometrche π cos x + sn ( x). π sn x + cos( x) π cos x π sn x per troare la tensone o la corrente n un resstore nel tempo t dopo l apertura (o chusura) d un nterruttore, occorre trasformare l C n una V e l L n una I, a questo punto calcolare la tensone o corrente che c nteressa. Cò ale solo per l tempo t. M.F. - kofl