PROBLEMA DI SCELTA FRA DUE REGIMI DI

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1 PROBLEMA DI SCELTA FRA DUE REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE Prerequst: legge d captalzzazone semplce legge d captalzzazone composta logartm e loro propretà dervate d una funzone pendenza d una curva n un punto cambamento d scala soluzone approssmata d equazon con l metodo dcotomco Obettv: Saper sceglere tra due possbltà d nvestmento la pù favorevole all nvesttore ( problema d ottmzzazone) Descrzone sntetca dell attvtà: Dato un captale C s determna l montante a tasso noto n regme composto e a tasso ncognto a regme semplce. S rappresenta sul pano cartesano l grafco della legge fnanzara a regme composto. Studando l andamento della pendenza della funzone a regme semplce s ndvdua quale delle due è pù convenente per l nvesttore. In partcolare:. se la pendenza della funzone a regme semplce è uguale o mnore alla pendenza della funzone a regme composto nel punto t=0 è vantaggosa la captalzzazone composta per qualsas ntervallo d tempo, 2. per pendenze del regme semplce maggor della pendenza della funzone a regme composto n t=0 le due curve s ncontrano n un ulterore punto d ascssa t. Il regme d captalzzazone semplce è convenente nell ntervallo (0,t ), successvamente convene quello

2 composto. La determnazone dell ascssa t avvene con l metodo dcotomco. Introduzone teorca: Una delle operazon fondamental della matematca fnanzara è quella della captalzzazone. In queste operazon una persona (credtore) dà n uso, ad una certa epoca t, per un prefssato perodo d tempo ( durata del prestto) un captale C ad un altra persona (debtore), la quale, al termne t 2 della durata ( t 2 t ) deve restture al credtore l captale C avuto n prestto, aumentato d un compenso (allo stesso modo come un affttuaro paga l canone d afftto al propretaro dell appartamento per la durata dell uso dell mmoble) detto nteresse e ndcato con la lettera I. La somma M del captale C pù l l nteresse I è detta montante: M = C + I Schematcamente I C C t t 2 t La prass per la determnazone d I è quella per cu vene stablto tra le due part ( credtore-debtore) l nteresse che produce l untà monetara consderata ( un euro, un dollaro, una sterlna. ) n un perodo d tempo consderato untaro ( anno, semestre, quadrmestre,.); così s parla d nteresse untaro effettvo: annuo ndcato con

3 semestrale quadrmestrale trmestrale OSSERVAZIONE. Gl ndc degl nteress untar sono ntutv: nella captalzzazone semestrale la captalzzazone avvene 2 volte all anno, n quella quadrmestrale 3 volte all anno ecc. All nteresse untaro annuo non s mette l ndce. I regm fnanzar possono essere molteplc; consderamo solo quell dell nteresse semplce e dell nteresse composto, e per semplctà nel caso d captalzzazone annua, con captal espress n euro. REGIME FINANZIARIO AD INTERESSE SEMPLICE L nteresse semplce I prodotto da un captale C per un perodo d tempo t ( t = t 2 t ) all nteresse untaro effettvo annuo è proporzonale al captale C mpegato, alla durata t e al tasso d mpego. Pertanto possamo scrvere I = Ct ( ) E noto che n una equazone oltre ad avere l uguaglanza numerca de due membr, deve essere verfcata anche l uguaglanza dmensonale de due membr; a prma vsta sembra che nella ( ) non s verfch la seconda denttà essendo I, C, espress n euro e t n ann; n realtà l uguaglanza dmensonale è garantta dal fatto che l nteresse è una percentuale per un untà d tempo, ed ha qund le dmenson d /t.

4 Determnamo ora l montante M = C + I = C + Ct (2) e qund ottenamo la legge d captalzzazone semplce ( t) M = C + (3) nel caso n cu s scelga t = 0, è t = t 2 0 = t 2. Allora consderato un pano cartesano n cu sono rportat n ascssa temp ed n ordnata captal ( captale nvestto C, nteress maturat I, montant M raggunt ), la (3) è rappresentata da una semretta d pendenza C e orgne l punto (0. C). La () è qund rappresentata da una semretta parallela a quella che rappresenta l montante, con orgne nell orgne del sstema cartesano scelto. REGIME FINANZIARIO AD INTERESSE COMPOSTO Propretà caratterstca d questo regme: gl nteress maturat alla fne d ogn perodo ( anno, bmestre, quadrmestre., a seconda del perodare della captalzzazone) s addzonano al captale e dventano fruttfer, asseme al captale, per perod successv. Consderamo l seguente schema, nel quale M (=, 2, 3, 4,., n 2, n, n) sono montant raggunt alla fne del prmo anno, del secondo anno, del terzo.. d deposto del captale C: C M M 2 M 3 M n 2 M n M n =M n 2 n n t Il montante all epoca n è

5 ( ) n M = C + (4) Dmostramo la (4) medante l prncpo d nduzone: PRINCIPIO DI INDUZIONE Sa P una propretà che dpende da n appartenente a numer natural. Se P è vera per n =, e dall essere P vera per n, segue che P è vera anche per n allora P è vera per qualunque n. Per n = la (4) dventa M=C( + ); questa è vera perché è la (3) nel caso n =. Supponamo ora che la (4) sa vera per n, coè n! = C + n! ( ) M ; quest ultmo montante è la somma d denaro d cu l nvesttore dspone all epoca n ; questa somma, dopo un ulterore anno d deposto aumenta, e dventa che è propro la (4). n ( ) n " ( ) ( ) n " + +! + = C + = C( ) n M = C +, Descrzone della parte d laboratoro. Il problema proposto è rsolto con Derve.6, s veda l fle allegato.