Dipartimento di Statistica Università di Bologna. Matematica Finanziaria aa lezione 3:

Transcript

1 Dpartmento d Statstca Unverstà d Bologna Matematca Fnanzara aa lezone 3: professor Danele Rtell 1/31?

2 Captalzzazone msta S usa l regme composto per l numero ntero d ann e l regme semplce per la parte rmanente. ( ) m(t, C) = C (1 + ) [t] 1 + (t [t]) [t] := max {n N : n t} è la parte ntera d t 2/31?

3 Eserczo. Il captale d ha dato, al tasso annuo = 0, 025 l montante d Determnare l tempo d captalzzazone n regme msto. 3/31?

4 Eserczo. Il captale d ha dato, al tasso annuo = 0, 025 l montante d Determnare l tempo d captalzzazone n regme msto. Questa volta è meno banale delle due precedent. 1. er trovare l numero ntero d ann rsolvamo come fossmo n regme composto = (1 + 0, 025) t t ln 1, 025 = ln t = 21, /31?

5 2. Saputo che l numero ntero d ann è 21 dalla formula d captalzzazone n regme msto, rcordato che l numero {t} = t [t] (parte frazonara d t) è compreso fra 0 e 1 abbamo: = 5 000(1, 025) 21 (1 + 0, 025 {t}) {t} = 0, /31?

6 2. Saputo che l numero ntero d ann è 21 dalla formula d captalzzazone n regme msto, rcordato che l numero {t} = t [t] (parte frazonara d t) è compreso fra 0 e 1 abbamo: = 5 000(1, 025) 21 (1 + 0, 025 {t}) {t} = 0, coè {t} = 360 0, = gorn coè 5 mes e 25 gorn Rsposta 21 ann, 5 mes, 25 gorn 5/31?

7 Eserczo. La somma d mpegata n regme msto per 4 ann e 9 mes ha fruttato l montante d S chede d determnare l tasso d mpego. 6/31?

8 Eserczo. La somma d mpegata n regme msto per 4 ann e 9 mes ha fruttato l montante d S chede d determnare l tasso d mpego. Questo è un problema dffcle la sua equazone rsolvente è ( = (1 + x) ) 12 x er rsolverla dovremo rcorre a metod approssmat che vedremo n seguto pp /31?

9 Lqudazone degl nteress n regme semplce Quando s applca la captalzzazone semplce s deve tener conto del fatto che, trascorso un perodo d tempo untaro, è consuetudne pratcare la lqudazone degl nteress Il perodo d captalzzazone è, d norma, un anno. 7/31?

10 Se s nveste un captale C al termne del prmo anno d mpego del captale è dsponble l montante C (1 + ) 8/31?

11 Se s nveste un captale C al termne del prmo anno d mpego del captale è dsponble l montante C (1 + ) Al termne del secondo anno la captalzzazone darà l montante C (1 + ) 2 8/31?

12 Se s nveste un captale C al termne del prmo anno d mpego del captale è dsponble l montante C (1 + ) Al termne del secondo anno la captalzzazone darà l montante C (1 + ) 2 In generale dopo n ann, ragonando nduttvamente, l montante è: C (1 + ) n. 8/31?

13 Captalzzazone frazonata: regme composto Confronto fra captalzzazon annual e captalzzazon n frazon d anno mensl bmestral trmestral quadrmestral semestral 9/31?

14 rspetto a 2 2 = (1 + ) 1/2 1 resa una frazone d anno, ad esempo l semestre, s mpone l uguaglanza fra montant alla fne del prmo anno 1 + = (1 + 2 ) 2. l ndce 2 c rcorda l numero de semestr n un anno. Se s vuole convertre n semestrale un tasso annuo basta rsolvere 10/31?

15 Analogamente l tasso quadrmestrale equvalente 3 è defnto da: 1 + = (1 + 3 ) 3, n quanto suddvdamo l anno n tre quadrmestr. tasso trmestrale: tasso bmestrale: tasso mensle: 1 + = (1 + 4 ) = (1 + 6 ) = ( ) 12 11/31?

16 In generale se s dvde l perodo d captalzzazone n p N sottoperod la relazone d equvalenza è: 1 + = (1 + p ) p, da cu: p = (1 + ) 1 p 1. 12/31?

17 Captalzzazone frazonata: regme semplce Confronto fra captalzzazon annual e captalzzazon n frazon d anno a) mensl b) bmestral c) trmestral d) quadrmestral e) semestral 1 + = 1 + j p p, p = 12, 6, 3, 4, 2 = j p = p 13/31?

18 Tass nomnal convertbl Tasso nomnale convertble p ( N) volte Nel regme composto anzché utlzzare l tasso p s utlzza l tasso provenente dal regme semplce j p Tale tasso produce captalzzazon maggor del tasso annuo equvalente, nfatt: (1 + j p ) p 1 > p j p =. 14/31?

19 Dsuguaglanza d Bernoull Sa x 1 un numero reale. Allora per ogn n N s ha che: (1 + x) n 1 + n x 15/31?

20 Dmostrazone La tes è ovva se x = 0, e per x = 1 Sa x 0, 1. Se n = 1 la tes s rduce a (1 + x) 1 = x 16/31?

21 Dmostrazone La tes è ovva se x = 0, e per x = 1 Sa x 0, 1. Se n = 1 la tes s rduce a (1 + x) 1 = x Ammettamo che essta s N per cu vale la tes. Se x > 1 allora 1 + x > 0 qund: (1 + x) s+1 = (1 + x) s (1+x) (1 + s x) (1+x) = 1+(1 + s) x+s x 2. L ultmo termne è strettamente postvo, dunque: (1 + x) s (1 + s) x, da cu l nduttvtà della formula 16/31?

22 Sgnfcato fnanzaro d e Se un credtore versa denaro con maturazone d nteresse, nell potes n cu n ogn sngolo momento l nteresse maturato captalzz proporzonalmente al tasso annuo, quale sarà l rsultato alla fne dell anno? 17/31?

23 Supponamo d aver depostat 1 e che gl nteress sano captalzzat n volte all anno al tasso x. Dopo l prmo perodo d tempo l saldo è b 1 = ( 1 + x ). n 18/31?

24 Supponamo d aver depostat 1 e che gl nteress sano captalzzat n volte all anno al tasso x. Dopo l prmo perodo d tempo l saldo è b 1 = ( 1 + x ). n Dopo l secondo perodo b 2 = ( 1 + x ) b 1 = n ( 1 + x n) 2. 18/31?

25 Supponamo d aver depostat 1 e che gl nteress sano captalzzat n volte all anno al tasso x. Dopo l prmo perodo d tempo l saldo è b 1 = ( 1 + x ). n Dopo l secondo perodo b 2 = ( 1 + x ) b 1 = n ( 1 + x n) 2. Dopo n perod b n = ( 1 + x n) n. 18/31?

26 Captalzzazone stantanea sgnfca mandare n : lm b n = lm (1 + x n n n ) n 19/31?

27 Captalzzazone stantanea sgnfca mandare n : ma se scrvamo: lm b n = lm (1 + x n n n ) n ( 1 + x ) [ n ( = 1 + x ] n/x x n n) 19/31?

28 Captalzzazone stantanea sgnfca mandare n : ma se scrvamo: lm b n = lm (1 + x n n n ) n ( 1 + x ) [ n ( = 1 + x ] n/x x n n) vedamo che: lm b n = lm (1 + x ) n = e x n n n 19/31?

29 Forza stantanea d nteresse Consderamo la generca legge d captalzzazone n una varable m(t, C) = Cf(t). Calcolamo l nteresse per untà d captale fra gl stant t + h e t Cf(t + h) Cf(t) Cf(t) Il rapporto non dpende dal captale nzale C. = f(t + h) f(t). (1) f(t) 20/31?

30 Dvdendo la frazone n (1) per la lunghezza dell ntervallo d tempo h > 0 abbamo l nteresse per untà d captale medo nell ntervallo [t, t + h] : f(t + h) f(t) f(t) 1 h = f(t + h) f(t) h 1 f(t). (1b) 21/31?

31 Dvdendo la frazone n (1) per la lunghezza dell ntervallo d tempo h > 0 abbamo l nteresse per untà d captale medo nell ntervallo [t, t + h] : f(t + h) f(t) f(t) 1 h = f(t + h) f(t) h 1 f(t). (1b) assando al lmte per h 0 + n (1b) ottenamo l nteresse per untà d captale stantaneo al tempo t f(t + h) f(t) lm h 0 + h 1 f(t) = f (t) f(t) (1c) 21/31?

32 La funzone δ(t) vene chamata dervata logartmca della funzone f(t), n quanto: δ(t) = f (t) f(t) = d dt ln f(t). 22/31?

33 La funzone δ(t) vene chamata dervata logartmca della funzone f(t), n quanto: δ(t) = f (t) f(t) = d dt ln f(t). Dal punto d vsta fnanzaro, trattandos dell nteresse per untà d captale stantaneo, s parla d forza stantanea d nteresse 22/31?

34 La peculartà del regme composto è che la forza stantanea d nteresse è costante nel tempo, nfatt se f(t) = (1 + ) t è evdente che: δ(t) = f (t) f(t) = (1 + )t ln(1 + ) (1 + ) t = ln(1 + ). 23/31?

35 La peculartà del regme composto è che la forza stantanea d nteresse è costante nel tempo, nfatt se f(t) = (1 + ) t è evdente che: δ(t) = f (t) f(t) = (1 + )t ln(1 + ) (1 + ) t = ln(1 + ). Mentre nel regme semplce, f(t) = 1 + t s vede che: δ(t) = f (t) f(t) = 1 + t. 23/31?

36 Usando le equazon dfferenzal a varabl separabl, possamo d nvertre l punto d vsta e concludere che l regme esponenzale è l unco regme a godere d specfche propretà. 24/31?

37 Usando le equazon dfferenzal a varabl separabl, possamo d nvertre l punto d vsta e concludere che l regme esponenzale è l unco regme a godere d specfche propretà. Infatt se cercassmo quel regme d captalzzazone con forza d nteresse costante, dcamo uguale a δ > 0, c troveremmo a consderare l equazone dfferenzale separable: 24/31?

38 Usando le equazon dfferenzal a varabl separabl, possamo d nvertre l punto d vsta e concludere che l regme esponenzale è l unco regme a godere d specfche propretà. Infatt se cercassmo quel regme d captalzzazone con forza d nteresse costante, dcamo uguale a δ > 0, c troveremmo a consderare l equazone dfferenzale separable: f (t) = δf(t), f(0) = 1, 24/31?

39 Usando le equazon dfferenzal a varabl separabl, possamo d nvertre l punto d vsta e concludere che l regme esponenzale è l unco regme a godere d specfche propretà. Infatt se cercassmo quel regme d captalzzazone con forza d nteresse costante, dcamo uguale a δ > 0, c troveremmo a consderare l equazone dfferenzale separable: f (t) = δf(t), f(0) = 1, che, usando la formula rsolutva porge: f 1 dz z = t 0 δdt = ln f = δt = f(t) = e δt 24/31?

40 Questo sgnfca che l regme composto è caratterzzato, nel senso che è l unco regme d captalzzazone con questa propretà, dal fatto d aver forza stantanea d nteresse costante nel tempo. 25/31?

41 Questo sgnfca che l regme composto è caratterzzato, nel senso che è l unco regme d captalzzazone con questa propretà, dal fatto d aver forza stantanea d nteresse costante nel tempo. Nel caso generale: forza stantanea d ntessa non specfcata funzone δ(t) l fattore montante della legge d captalzzazone assocata s determna come segue: ln f(t) = t 0 ( t δ(s) ds = f(t) = exp 0 ) δ(s) ds. 25/31?

42 Eserczo Dopo aver dmostrato che la funzone f(t) = t + 1 2(1 + t) + 1 2, è un fattore d captalzzazone, se ne calcol la forza stantanea d nteresse. 26/31?

43 Eserczo Dopo aver dmostrato che la funzone f(t) = t + 1 2(1 + t) + 1 2, è un fattore d captalzzazone, se ne calcol la forza stantanea d nteresse. In prms s deve verfcare che f(0) = 1 26/31?

44 Eserczo Dopo aver dmostrato che la funzone f(t) = t + 1 2(1 + t) + 1 2, è un fattore d captalzzazone, se ne calcol la forza stantanea d nteresse. In prms s deve verfcare che f(0) = 1 o che la f(t) è crescente f (t) = 1 1 2(t + 1) 2 > 0 26/31?

45 Infne s deve valutare δ(t) = δ(t) = f (t) f(t) 2t 2 + 4t + 1 (t + 1) (2t 2 + 3t + 2) 27/31?

46 Attualzzazone L attualzzazone pone l problema nverso della captalzzazone. E possede un ttolo d credto esgble nel futuro Questo sgnfca n concreto che un soggetto D s mpegna a corrspondere a E l captale C n una fssata data futura operazone d attualzzazone s nverte la stuazone studata nella captalzzazone 28/31?

47 Attualzzazone L attualzzazone pone l problema nverso della captalzzazone. E possede un ttolo d credto esgble nel futuro Questo sgnfca n concreto che un soggetto D s mpegna a corrspondere a E l captale C n una fssata data futura E decde d rvolgers ad un ntermedaro B allo scopo d cedere mmedatamente l credto, n modo da avere subto dsponble l captale C a < C operazone d attualzzazone s nverte la stuazone studata nella captalzzazone 28/31?

48 Defnzone. Dremo legge d attualzzazone assocata alla legge d captalzzazone m(t; C) la funzone a (t; C): m (t; a(t; C)) = C 29/31?

49 La funzone d attualzzazone è determnata dalla funzone captalzzazone cu fa rfermento C = m (t; a(t; C)) 30/31?

50 La funzone d attualzzazone è determnata dalla funzone captalzzazone cu fa rfermento C = m (t; a(t; C)) = a(t; C) f(t) 30/31?

51 La funzone d attualzzazone è determnata dalla funzone captalzzazone cu fa rfermento C = m (t; a(t; C)) = a(t; C) f(t) 30/31?

52 La funzone d attualzzazone è determnata dalla funzone captalzzazone cu fa rfermento C = m (t; a(t; C)) = a(t; C) f(t) a(t; C) = C f(t) 30/31?

53 La funzone d attualzzazone è determnata dalla funzone captalzzazone cu fa rfermento C = m (t; a(t; C)) = a(t; C) f(t) a(t; C) = C f(t) ϕ(t) = 1 f(t) 30/31?

54 La funzone d attualzzazone è determnata dalla funzone captalzzazone cu fa rfermento C = m (t; a(t; C)) = a(t; C) f(t) a(t; C) = C f(t) ϕ(t) = 1 f(t) s dce fattore d attualzzazone conugato al fattore d captalzzazone. È ben defnto n forza del fatto che f(t) > 0. 30/31?

55 I fattor d attualzzazone conugat rspettvamente alle legg lneare ed esponenzale sono: ϕ L (t) = t, 31/31?

56 I fattor d attualzzazone conugat rspettvamente alle legg lneare ed esponenzale sono: ϕ L (t) = t, ϕ E(t) = 1 (1 + ) t 31/31?