Scienze Geologiche. Corso di Probabilità e Statistica. Prove di esame con soluzioni

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1 Scenze Geologche Corso d Probabltà e Statstca Prove d esame con soluzon

2 Corso d laurea n Scenze Geologche - Probabltà e Statstca Appello del 1 gugno Soluzon 1. (Punt 3) In una certa zona, la probabltà che una trvellazone da esto postvo è p= 0,70. Su 10 trvellazon fatte n modo ndpendente, quale è la probabltà che l numero d trvellazon con esto postvo sa compreso fra 6 e 8? La varable casuale X = numero d trvellazon, su 10, con esto postvo ha una dstrbuzone bnomale con n = 10 e p = 0,70: n x 10 x P( X x) (0, 70) (0,30), x 0,1,...,10. x Allora: P(6 X 8) (0, 70) (0, 30) (0, 70) (0, 30) (0, 70) (0, 30) , , , , , ,09 = 0, , , = 0, ,70.. (Punt 3) Sano A e B due event. S sa che P( A B ) 0, 80 e che P( A B ) 0, 0. Inoltre, P(B)=0,30. Calcolare P(A). P( A) P( A B) P( A B ) P( A B) P( B) P( A B) P( B ) 0,80 0,30 0, 0 0, 70 0, 4 0,14 0, (Punt 10) La tabella seguente presenta la dstrbuzone d 173 trvellazon rspetto alla loro profondtà (n metr) Profondtà (m.) Totale Frequenza a) Rappresentare l stogramma delle frequenze relatve della dstrbuzone. Per rappresentare l stogramma delle frequenze relatve, occorre consderare la denstà d frequenza relatva ne var ntervall: Classe estrem ntervallo Frequenza Fr. Ampezza Relatva ntervallo Denstà ,5 49,5 13 0, , ,5 59,5 41 0, , ,5 69,5 65 0, , ,5 79,5 39 0, , ,5 89,5 15 0, , , ,0400 0,0350 0,0300 0,050 0,000 0,0150 0,0100 0,0050 0, ,5 49,5 59,5 69,5 79,5 89,5

3 b) Calcolare la medana; Dal calcolo delle frequenze relatve cumulate s vede che l ntervallo che contene la medana è l ntervallo: 59,5 x 69,5. Classe estrem ntervallo Fr. Fr. Relatva Relatva cumulata ,5 49,5 0, , ,5 59,5 0, , ,5 69,5 0, , ,5 79,5 0,5434 0, ,5 89,5 0, , , (0,50 0,31139) La medana è: 59, 5 64, 5 m. 0,0376 c) Calcolare la meda artmetca e la varanza (d popolazone). Classe estrem ntervallo Frequenza Valore x (n ) centrale (x ) n ( x M ) ( x M ) n ,5 49, ,5 578,50 404, , ,5 59, ,5 34,50 10, , ,5 69, ,5 419,50 0, , ,5 79, ,5 905,50 97, , ,5 89, ,5 167,50 395, , , , La meda artmetca, M, è 11178,5/173 = 64, ,6 m. La varanza è uguale a 19197,687861/173 = 110, ,9693 m. 4. (Punt 10) Sa X la varable casuale profondtà d una trvellazone. Supponendo che la sua dstrbuzone sa normale con meda e varanza ugual a valor calcolat nell eserczo 3 (ossa, µ =64,6 e σ =110,9693), a) calcolare la probabltà che la varable casuale X assuma valor compres fra 54,5 e 74,5 metr; La devazone standard σ è la radce quadrata della varanza:10,534 m. 54,5 64, 6 74,5 64, 6 P(54, 5 X 74, 5) P Z 53, 4 53, 4 P( 0, 96 Z 0, 94) P( Z 0, 94) P( Z 0, 96) 0, 8639 (1 0, 83147) 0, ,66. b) Confrontare l valore della medana trovato nell eserczo 3 con quello della medana calcolata sulla base del modello normale. S sa che per la dstrbuzone normale la medana concde con µ. Qund, se s suppone che la varable casuale profondtà d una trvellazone è normale, la medana della dstrbuzone è uguale a 64,6 m. Tale valore non è molto dverso dal valore della medana della dstrbuzone emprca (64,5) e, del resto, era un rsultato prevedble, vsta la forma dell stogramma. 5. (Punt 4) La tabella seguente mostra la dstrbuzone d sette prelev d rocca secondo l tasso d umdtà e l altezza al lvello del mare. Lvello(m.) Tasso umdtà Calcolare, sulla base della retta d regressone, l tasso d umdtà d un campone prelevato all altezza d metr. Una volta trovat parametr della retta Y a bx dove Y è l tasso d umdtà e X l altezza al lvello del mare, s tratta d calcolare y a b(). S ha Cod( X, Y ) ( x x )( y y ) b ; a y bx Dev( X ) ( x x ) dove x e y sono, rspettvamente, la meda d X e la meda d Y. 3

4 x y ( x x ) ( y y) ( x x )( y y ) ( x x ) , , , , , , x 0, y 36, , , , , , , , , , S ha, qund, b = -1,849 ed a =73,7143. Il tasso d umdtà al lvello metr è uguale a 33,17143, ossa crca 33%. 4

5 Corso d laurea n Scenze Geologche - Probabltà e Statstca Appello del 14 luglo Soluzon 1. (Punt 3) Per procedere allo scavo d un pozzo n un certo sto, s decde d esamnare rsultat d 10 carotagg d terreno; se 8 o pù carotagg rsultano postv, allora s procede alla trvellazone. Avendo valutato par a 0,7 la probabltà che un carotaggo da esto postvo, a) calcolare la probabltà che s proceda alla trvellazone; b) qual è l numero atteso d carotagg postv? a) La varable casuale X = numero d trvellazon, su 10, con esto postvo ha una dstrbuzone bnomale con n = 10 e p = 0,70: n x 10 x P( X x) (0, 70) (0,30), x 0,1,...,10. x S procede alla trvellazone se X è maggore o uguale a 8. Tale evento ha probabltà d verfcars par a: P( X 8) (0, 70) (0, 30) (0, 70) (0, 30) (0, 70) (0, 30) , , ,3 + 0, = 0, , , = 0, ,38. b) E(X) = 10 x 0,7= 7.. (Punt ) Sano A e B due event. S sa che P( B A ) 0, 40 e che P( B A ) 0, 0 P( B) P( B A) P( B A) P( B A) P( A) P( B A) P( A). Inoltre, P(A)=0,70. Calcolare P(B). 0, 40 0, 70 0, 0 0,30 0, (Punt 10) La tabella seguente presenta la dstrbuzone d 180 trvellazon rspetto alla loro profondtà (n metr) Profondtà (m.) Totale Frequenza a) Rappresentare l stogramma delle frequenze relatve della dstrbuzone. Per rappresentare l stogramma delle frequenze relatve, occorre consderare la denstà d frequenza relatva ne var ntervall: Classe Estrem ntervallo Frequenza Fr. relatva Ampezza Denstà ,5 44,5 15 0, , ,5 54,5 40 0, 10 0, ,5 64,5 70 0, , ,5 74,5 38 0, , ,5 84,5 17 0, , ,

6 b) Calcolare l terzo quartle; Dal calcolo delle frequenze relatve cumulate s vede che l ntervallo che contene l terzo quartle è l ntervallo: Classe Estrem ntervallo Frequenza Fr. relatva Fr. Relatva Denstà cumulata ,5 44,5 15 0, , , ,5 54,5 40 0, 0, , ,5 64,5 70 0, , , ,5 74,5 38 0, , , ,5 84,5 17 0, , , , (0, 75 0,694444) Il terzo quartle è: 64,5 67,13 m. 0,01111 c) Calcolare la meda artmetca e la varanza (d popolazone). Frequenza Valore Estrem ntervallo (n ) centrale (x ) x n ( x M ) ( x M ) n 34,5 44, ,5 59,5 404, , ,5 54, ,5 1980,0 10, ,387 54,5 64, ,5 4165,0 0,013 0,864 64,5 74, ,5 641,0 97, ,047 74,5 84, ,5 1351,5 395, , ,0 0597,7778 La meda artmetca, M, è 10730/180 = 59, ,6 m. La varanza è uguale a 0597,7778/180 = 114, ,4 m. 4. (Punt 8) Sa X la varable casuale profondtà d una trvellazone. Supponendo che la sua dstrbuzone sa normale con meda uguale a 59,6 m e varanza uguale a 114,4 m a) calcolare la probabltà che la varable casuale X assuma valor compres fra 54,5 e 74,5 metr; La devazone standard σ è la radce quadrata della varanza: 10,69579 m. 54,5 59, 6 74,5 59, 6 P(54, 5 X 74, 5) P Z 10, 70 10, 70 P( 0, 48 Z 1, 39) P( Z 1, 39) P( Z 0, 48) 0,601 0,60. b) Determnare la profondtà x 1 tale che Prob( X x1 ) 0,5 (prmo quartle) e la profondtà x tale che Prob( X x ) 0,75 (terzo quartle). In valor standard Q1 = -0,6745 e Q3 = 0,6745. Pertanto x 1 = 5,3830 e x = 66, (Punt 7) La tabella seguente mostra la dstrbuzone d otto prelev d rocca secondo l tasso d umdtà e l altezza al lvello del mare n una certa zona. Lvello(m.) Tasso umdtà a) Calcolare, sulla base della retta d regressone, l tasso d umdtà d un campone prelevato alla profondtà d 0 metr. b) Calcolare l coeffcente d correlazone lneare d Bravas-Pearson e commentare l rsultato. Una volta trovat parametr della retta Y a bx dove Y è l tasso d umdtà e X l altezza al lvello del mare, s tratta d calcolare y a b(0). S ha Cod( X, Y ) ( x x )( y y ) b ; a y bx Dev( X ) ( x x ) dove x e y sono, rspettvamente, la meda d X e la meda d Y. Inoltre, l coeffcente d correlazone è: 6

7 r Cod( X, Y ) ( x x )( y y ) Dev( X ) Dev( Y ) ( x x) ( y y) x y ( x x ) ( y y) ( x x )( y y ) ( x x ) ( y y) ,5 4, , ,5 1806, ,5 6, , ,5 70, ,5 7, , ,5 56, ,5 -, ,5000 6,5 6,5 5 3,5-14, ,5000 6,5 10, ,5-17, , ,5 306, ,5-19, , ,5 380, ,5 -, , ,5 506, , , ,00 a) I coeffcent della retta d regressone d Y rspetto a X sono b = -1,8381 ed a = 78, Il tasso d umdtà al lvello 0 metr è uguale a 4,095, ossa crca 4%. b) Il coeffcente r è -0,9448. S tratta d un numero negatvo: all aumentare del lvello sul mare, l tasso d umdtà dmnusce. Inoltre s tratta d un valore molto vcno a -1, e cò ndca che la natura del legame fra le due varable è ben descrtto dal modello lneare. 7

8 Corso d laurea n Scenze Geologche - Probabltà e Statstca Appello del 1 settembre (Punt 3) Se la probabltà che una trvellazone n una determnata area da esto postvo è uguale a 3/4, calcolare la probabltà che, su 6 trvellazon effettuate n modo ndpendente, ve ne sano almeno 4 con esto postvo. La varable casuale X = numero d trvellazon, su 6, con esto postvo ha una dstrbuzone bnomale con n = 6 e p = 0,75: n x 6 x P( X x) (0,75) (0,5), x 0,1,...,6. x Allora: P( X 4) (0,75) (0,5) (0,75) (0,5) (0,75) (0,5) = 0, ,83.. (Punt ) Sa H l'evento "un fossle esamnato appartene all era xyz" ed E l'evento "un fossle esamnato possede la caratterstca wqt". Dverse font d nformazone permettono d stablre che: P( H E ) 0,90 ; P( H E ) 0,05 ; P( E ) 0,10. Calcolare la probabltà dell evento H. P( H ) P( H E) P( H E) P( H E) P( E) P( H E) P( E) 0, (Punt 10) La tabella seguente presenta la dstrbuzone d 600 automobl rspetto alla durata (n mnut) d parcheggo n un parcheggo a pagamento, rlevata n un dato gorno della settmana. Durata del parcheggo Tot. (mnut) Frequenza a) Una volta defnt gl estrem effettv degl ntervall d durata del parcheggo, rappresentare l stogramma delle frequenze relatve della dstrbuzone. Commentare brevemente, analzzando la forma dell stogramma. Durata del parcheggo (mnut) estrem ntervallo Frequenza Fr. Relatva Ampezza ntervallo Denstà Fr. Relatva cumulata ,5 30,5 54 0, ,0043 0, ,5 60,5 75 0, ,004 0, ,5 10,5 93 0, ,006 0, ,5 180, , ,0055 0, ,5 40, , ,009 0, ,5 300,5 66 0, ,0018 0, ,5 600,5 9 0, ,0001 1,0000 Tot ,0000 8

9 b) Calcolare la durata medana; La medana è uguale a: 144,1364 mnut. [= 10,5 +(0,50-0,37)/ 0,0055] c) Calcolare la durata meda artmetca e la varanza. Durata del Valore parcheggo centrale n x n ( x M ) ( x M ) ( x M ) n (mnut) (x ) ,5 30, ,0-14, , , ,5 60, ,5-99, , , ,5 10, ,5-54, , , ,5 180, ,0 5, , , ,5 40, ,5 65, , , ,5 300, ,0 15, , , ,5 600, ,5 305, , ,77 Tot , Durata meda =144,53 mnut Varanza = 6997,07 (mnut) 4. (Punt 7) Sa X la varable casuale normale con meda µ = 180 e varanza σ = 100. a) calcolare la probabltà che la varable casuale X assuma valor compres fra 165 e 175; P(165 X 175) P Z P( 1,5 Z 0,5) P( Z 0,5) P( Z 1,5) 0,417 0,4. b) determnare x 1 tale che Prob( X x1 ) 0,05 (ossa l 5 centle) e x tale che Prob( X x ) 0,95 (ossa l 95 centle). In valor standard, z 1 = -1,645 e z = +1,645. Qund. x 1 = 163,55 e x = 196,45 5. (Punt 8) Per un lago naturale, ne 10 ann dal 1994 al 003, s sono regstrat seguent lvell (espress n cm rspetto allo 0 drometrco): Anno (x) Lvello (y) a) Calcolare l coeffcente d correlazone lneare d Bravas-Pearson e commentare l rsultato. 9

10 b) Calcolare, sulla base della retta d regressone d y rspetto alla varable x, l lvello nell ultmo anno d osservazone. Vsto l valore dell ndce d accostamento, quale conclusone s può trarre? Anno (x) Lvello (y) ( x ) ( y y) ( x x )( y y ) ( x x ) ( y y) , ,5 0, , , , , , ,5, ,5-4 0, ,5 4 0, , ,5, , ,5 6, , ,5 1, , ,5 0, , cod devx DevY r Cod( X, Y ) ( x x )( y y ) Dev( X ) Dev( Y ) ( x x) ( y y) r = -0,8336 La correlazone è negatva (l lvello tende a decrescere negl ann) ed l grado d accostamento è abbastanza buono. Infatt l ndce d accostamento è R = 0,6049 (coè crca l 70% della varabltà totale è spegata dal modello lneare). Cod( X, Y ) ( x x )( y y ) Retta d regressone Y = a + bx, b ; a y bx Dev( X ) ( x x ) Y= ,95x. Il valore stmato per l anno 003 è crca 1,9. 10

11 Corso d laurea n Scenze Geologche - Probabltà e Statstca Appello del 16 dcembre Soluzon 1. (Punt 3) Se la probabltà d rlevare n una determnata localtà una concentrazone d radon maggore d 300 Bq/mc è uguale a 0,0, calcolare la probabltà che, su 10 rlevazon effettuate n modo ndpendente, s rlev una concentrazone mnore d 300 Bq/mc almeno 9 volte. La probabltà che la concentrazone sa mnore d 300 Bq/m è p = 0,80. Qund, la varable casuale X = numero d rlevazon, su 10, n cu la concentrazone è mnore d 300 Bq/m ha una dstrbuzone bnomale con n = 10 e p = 0,80: P( ) (0,80) x x X x (0,0), x 0,1,...,10. x Allora: P( X 9) PX ( 9) Px ( 10) 0,684 0,1074 0,3758. (Punt ) Sa E l'evento "la concentrazone d radon è maggore d 300 Bq/mc " ed H l'evento "l rlevatore effettua una msura corretta". Sapendo che: P( H E ) 0,90 ; P( H E ) 0,99 ; P( E ) 0,0. Calcolare la probabltà che l rlevatore effettu una msura corretta. P( H) P( H E) P( H E) P( H E) P( E) P( H E) P( E) 0,90 0, 0,99 0,8 0, (Punt 10) La tabella seguente presenta la dstrbuzone d 560 automobl rspetto alla durata d parcheggo (n mnut) n un parcheggo a pagamento, rlevata n un dato gorno della settmana. Durata del parcheggo (mnut) Tot. Frequenza c) d) a) Una volta defnt gl estrem effettv degl ntervall d durata del parcheggo, rappresentare l stogramma delle frequenze relatve della dstrbuzone. Commentare brevemente, analzzando la forma dell stogramma. Durata del Fr. estrem ntervallo Fr. Ampezza parcheggo Frequenza Denstà Relatva Relatva ntervallo (mnut) cumulata ,5 30,5 50 0, ,0043 0, ,5 60, , ,0060 0, ,5 10, , ,0045 0, ,5 180,5 00 0, ,0060 0, ,5 40,5 0 0, ,0006 0, ,5 300,5 10 0, ,0003 0, ,5 600,5 30 0, ,000 1,0000 Tot ,

12 0,0070 0,0060 0,0050 0,0040 0,0030 0,000 0,0010 0, ,560,5 10,5 180,5 40,5 300,5 600,5 b) Calcolare l terzo quartle; Il terzo quartle è uguale a: 156, mnut. [= 10,5 +(0,75-0,5357)/0,0060] e) Calcolare la durata meda artmetca e la varanza. Durata del parcheggo (mnut) Valore centrale (x ) n x n ( x M ) ( x M ) ( ) x M n ,5 30, ,0-104, , , ,5 60, ,0-78,88 6,67 667, ,5 10, ,0-33, ,1 1718, ,5 180, ,0 6,1 68, , ,5 40, ,0 86,1 7415, , ,5 300, ,0 146,1 1349, , ,5 600, ,0 36, , ,76 Tot , ,96 Durata meda =14,38 mnut Varanza = 8978, 69 (mnut) 4. (Punt 7) Sa X la varable casuale normale con meda µ = 180 e varanza σ = 100. a) calcolare la probabltà che la varable casuale X assuma valor compres fra 175 e 185; P(175 X 185) P Z P( 0,5 Z 0,5) P( Z 0,5) P( Z 0,5) 0,389. b) determnare x 1 tale che Prob( X x1 ) 0,10 (ossa l 10 centle) e x tale che Prob( X x ) 0,90 (ossa l 90 centle). Per la normale standard, l 10 centle è -1,8 e l 90 centle è 1,8. Percò, x 1 = 167, e x = 19,8. 5. (Punt 8) Per un lago naturale, negl ann dal 1997 al 004, s sono regstrat seguent lvell (espress n cm rspetto allo 0 drometrco): Anno (x) Lvello (y)

13 r c) Calcolare l coeffcente d correlazone lneare d Bravas-Pearson e commentare l rsultato. d) Calcolare, sulla base della retta d regressone d y rspetto alla varable x, l lvello che dovrebbe raggungere nel 005. e) Rappresentare grafcamente la retta d regressone Anno (x) Lvello (y) ( x ) ( y y) ( x x )( y y ) ( x x ) ( y y) ,5 57,375-00,815 1,5 391, ,5 54, ,9375 6,5 956, ,5 9,375-14,065,5 87, ,5 17,375-8,6875 0,5 301, ,5 74,375 37,1875 0,5 5531, ,5-45,65-68,4375,5 081, ,5-57,65-144,065 6,5 330, ,5-109,65-383,6875 1,5 1017, ,5000 4, ,8750 Meda=000,5Meda=54,375 Cod(X,Y) devx DevY Cod( X, Y ) ( x x )( y y ) Dev( X ) Dev( Y ) ( x x) ( y y) r = - 0,8 La correlazone è negatva (l lvello tende a decrescere negl ann) ed l grado d accostamento è abbastanza buono. Infatt l ndce d accostamento è R = 0,6788 (coè crca l 68% della varabltà totale è spegata dal modello lneare). Cod( X, Y ) ( x x )( y y ) Retta d regressone Y = a + bx, b ; a y bx Dev( X ) ( x x ) Y= x Il valore stmato per l anno 005 è crca 15,8. 13

14 Corso d laurea n Scenze Geologche Probabltà e Statstca Appello del 0 marzo (Punt ) L'anals d una rocca contenente prte ha mostrato che la probabltà che essa present mpurtà è uguale al 40%. Se s selezonano n modo ndpendente 10 campon d rocca, quale è la probabltà che non pù d due campon presentno mpurtà? La varable casuale X = numero d campon, su 10, con mpurtà ha una dstrbuzone bnomale con n =10 e p = 0,40: n x 10 x P( X x) (0,40) (0,60), x 0,1,...,10. x Allora: P( X ) (0, 40) (0,60) (0, 40) (0,60) (0,40) (0,60) 0, (Punt 3) Sano A e B due event. S sa che P( B A ) 0,30 e che P( B A ) 0,70. Inoltre, P(A)=0,70. Calcolare P( A B ). P( B A) P( B A) P( A) P( B A) P( A) P( A B) P( B) P( B) P( B A) P( B A) P( B A) P( A) 0, 70 0, 70 0, 49 0,84. P( B A) P( A) P( B A) P( A) 0,70 0,70 0,30 0,30 0,58 3. (Punt 10) La tabella seguente presenta la dstrbuzone d 50 campon d rocca rspetto al loro peso (n gramm) Frequenz Peso (gramm) a Totale 50 a) Rappresentare l stogramma della dstrbuzone; Peso estrem ntervallo Frequenza Ampezza ntervallo Denstà Fr. cumulata ,5 9, , ,5 39, , ,5 49, , ,5 59, , ,5 69, , ,5 79, , ,5 99,5 0 0,1 50 Tot

15 ,00 1,80 1,60 1,40 1,0 1,00 0,80 0,60 0,40 0,0 0,00 b) Calcolare la medana (50/ ) 5 Medana 39,5 43, 7 1, c) Calcolare la meda artmetca e la varanza Valore centrale (x ) ,5 99,5 n x n ( x M ) ( x M ) ( ) x M n 19,5 9,5 4,5 4 98,0 -,8 519,84 079,36 9,5 39,5 34, ,0-1,8 163,84 61,44 39,5 49,5 44, ,0 -,8 7,84 94,08 49,5 59,5 54, ,5 7, 51,84 36,88 59,5 69,5 64,5 5 3,5 17, 95, ,0 69,5 79,5 74,5 4 98,0 7, 739,84 959,36 79,5 99,5 89,5 179,0 4, 1780, , , ,00 Meda = 47.3 Varanza = (Punt 8) Sa X una varable casuale normale con meda uguale a 64 e varanza uguale a 100. a) Calcolare la probabltà che la varable casuale X assuma valor compres fra 54 e 74; P(54 X 74) P Z P( 1 Z 1) P( Z 1) P( Z 1) 0,68. b) Calcolare l 10 centle ed l 90 centle. In valor standard, l 10 centle è z 1 = -1,8 e l 90 centle è z = +1,8. 10 centle : x 1 = 51,18 gramm 90 centle : x = 76,8 gramm 5. (Punt 8) La tabella seguente mostra la dstrbuzone d sette prelev d rocca secondo l tasso d umdtà e l altezza al lvello del mare. Lvello(m.) Tasso umdtà

16 a) In base al modello lneare quale è l tasso d umdtà d un campone prelevato all altezza d 40 metr? b) Calcolare l coeffcente d correlazone lneare d Bravas Pearson x y ( x x ) ( y y) ( x x )( y y ) ( x x ) ( y y) Meda=30Meda=38.14 Cod(X,Y) Dev(X) Dev(Y) Retta d regressone: y=a+bx 94,86-1,8714x a) Per x = 40, y=19,43 Cod( X, Y ) ( x x )( y y ) 0,96 Dev( X ) Dev( Y ) ( x x ) ( y y) b) r 16

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