Statistica - metodologie per le scienze economiche e sociali /2e S. Borra, A. Di Ciaccio - McGraw Hill

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1 Statstca - metodologe per le scenze economche e socal /e S Borra, A D Cacco - McGraw Hll Es Soluzone degl esercz del captolo 7 In base agl arrotondament effettuat ne calcol, s possono rscontrare pccole dfferenze ne rsultat fnal 7 a Dalla formula (66) e consderando la formula (663) s ottene s (Β ) = 9, 54 e s (Β ) =, 8 b Dalla formula (66) e consderando la formula (663) s ottene côv(β, Β ) =, 3 e qund ˆ ρ B cov( B, B ) s(b ) s(b ), 964 B = = c Consderando un lvello d confdenza par a α =, 95, s ha che per una t-student con 68 gdl t, 5 =, 9955 (utlzzando la tavola s può approssmare a 7 gdl ed è par a,9944) Qund, dalla formula (7), s ottene [-4,59; 36,4] d Consderando una t-student con 68 gdl s ha t, 5 =, 65 (utlzzando la tavola s può approssmare a 7, 399 gdl ed è par a,6479) Essendo t = = 33, 8 >, 65 = t, 5, s rfuta l potes nulla (l coeffcente, 8 β è sgnfcatvamente dverso da ) e Ottenendo per x = 75 l valore Y ˆ = 695, 65, dalla formula (74), essendo t, = 9955 e s (Ŷ ) = 5, s ottene l ntervallo 695, 65 ± (, , ), ossa [685,7; 76,3] 5, f Ottenendo per x = 5 l valore Ŷ = 595, 9, dalla formula (74), essendo t, = 9955 e s(y Ŷ ) 4,53, s ottene l ntervallo 595, 9 ± (, , 53), ossa [53,; 678,78] = 5, 7 a S vuole verfcare se l valore (Y ) è funzone lneare della superfce quadrata (X ) dell abtazone Dalla b XY XY = R = ρ,, s ottene SQR = RXY SQT = , Utlzzando nuovamente la formula (65), s ha SQE = , 8 formula (65) ed essendo ( ) 8 Tavola ANOVA Sorgente d Somma de Grad d Meda de varazone quadrat lbertà quadrat F Regressone , ,,9 Resduo , , Totale , c Essendo f =, 9 <, 56 = F, accettamo l potes nulla β = (non esste una relazone lneare) 73 a La retta stmata è: ŷ =, 364 +, 73x e l coeffcente d determnazone è par a R XY =, 3 ndcando un pessmo adattamento b Nella seguente tabella sono mostrat resdu e resdu standardzzat ( resdu hanno meda pratcamente nulla mentre l errore standard d regressone è par a s = 3, ) A causa degl error d approssmazone s potranno ottenere leggere varazon ne rsultat Seguono corrspondent grafc: X Y resduo Resduo standardzzato 3,84 -,84 -,93 3 4,7 -,7 -, ,86,38, ,35,965, ,35 -,35 -,33 5 4,689 -,689 -, ,343 -,343 -,43 4 3,84,76,56 4,7 6,83,86

2 8 6 resdu resdu standardzzat c Il valore del resduo corrspondente all ultma untà statstca appare anomalo (ne grafc corrsponde al punto con la pù alta ordnata) cò è confermato dall anals de resdu standardzzat avendo mostrando un valore superore a d Elmnando l ultma untà statstca ( X=; Y=) e stmando l modello sulle rmanent otto untà statstche s ottene: ŷ = 4, 744 +, 374x e L ntercetta β è pù che dmezzata mentre l coeffcente angolare β è all ncrca raddoppato e la bontà d adattamento è nettamente aumentata passando a R XY =, a S ha: SQR = MQR = 4 poché s ha gdl; SQE = SQT SQR = 58 4 = 8 con n = 7 gdl e pertanto MSE = 8 7 =, 6 ; nfne, F = 4, 6 = 37, 7 Tavola ANOVA Sorgente d Somma de Grad d Meda de varazone quadrat lbertà quadrat F Regressone ,7 Resduo 8 7,6 Totale 58 8 b Consderando l valore della F-Fsher con e 7 gdl per un α =, 5 s ha F, 5 = 4, 45 (se s utlzza la tavola s può approssmare al valore d una F con e 5 gdl par a 4,54), s ottene f = 37, 7 > 4, 45 = F, 5 pertanto rfutamo l potes nulla β = (esste una relazone lneare) c Dalla (65) è R XY = SQR SQT = 4 58 =, 69, qund s può affermare che la retta d regressone s adatta suffcentemente bene a dat poché spega l 69% della varabltà totale 75 a La nuova varable è attraverso la seguente trasformazone: Tempo = Anno 998 Tempo 3 4 Spesa santara 8, 89,8 96,5,7

3 b Dal seguente grafco s può assumere una relazone d tpo lneare: c La retta d regressone stmata è yˆ = 76,5 + 6, 58x con un coeffcente d determnazone par a R XY = 99% S può pertanto concludere che l modello è approprato a descrvere l fenomeno studato d Il coeffcente β ndca che la spesa santara ncrementa medamente d 6,58 mlon d euro all anno e Il valore prevsto è 8,95 mlon d euro 76 a La retta d regressone stmata è: ŷ = 4, 8 +, x b No, nfatt R XY = 39% c Guardando a resdu e a resdu standardzzat mostrat nelle seguente tabella: Osservazone Prevsto Y Resdu Resdu standard 4,96,39,463 5,46 -,46 -,54 3 4,96,94,3 4 4,94 -,4 -, ,946 -,46 -,74 6 5,43,57, ,884,6,37 8 5,48 -,48 -, ,85 -,5 -,466 4,98 -,8 -,37 4,94,6,7 4,93,69,84 s può concludere che non sono present cas anomal Cò è confermato dal seguente grafco de resdu standardzzat: Resdu standardzzat d I valor osservat sono molto poch per poter arrvare a delle concluson attendbl, tuttava, guardando al grafco de resdu standardzzat (s veda punto precedente), all stogramma de resdu standardzzat e al grafco d normaltà P-P, possamo rtenere che valor osservat sano da consderare compatbl con l potes d normaltà

4 5 4 Frequenza Resduo standardzzato 75 5 Prob cum attesa Prob cum osservata 77 a Dal seguente dagramma d dspersone, rsulta ragonevole potzzare una modello d tpo lneare Y X b Dall anals del grafco de resdu, s può osservare che non è approprata l potes d omoschedastctà (nfatt all aumentare del valore della la varabltà de resdu tende a dmnure)

5 8 6 4 resdu c Dall anals del grafco de resdu standardzzat, s può affermare che resdu standardzzat sono n accordo con l potes d normaltà ((l 64% de punt rcade tra - e + e l % tra - e +) 5 resdu standardzzat d Dal grafco de resdu rspetto al tempo, s può affermare che resdu sono autocorrelat postvamente resdu tempo 78 a Dal grafco d dspersone s suppone che susssta una relazone d tpo lneare tra Y e X Y X b La retta d regressone stmata è: ŷ = 37, 663, 449x

6 c Come s può notare, essendo β negatvo, all aumentare della spesa per svago/dvertmento dmnusce quella per rstorante d Sì, l coeffcente d determnazone è par a R XY = 86% e In corrspondenza d una spesa par a 5 per svago/dvertmento corrsponde medamente una spesa per rstorante d 3,93 79 a La retta d regressone stmata è: ŷ =, 35 +, 7x b Dal segno d βˆ possamo affermare che all aumentare dell ndce d produzone ndustrale aumenta l tasso d dsoccupazone c Dalla (7) s ha che l valore della statstca test è t = B s( B ) =, 7, =, 934 Inoltre, sapendo che l valore della t-student con 8 gdl per α =, 5 è t, 5 =, 36, s ha t =, 934 <, 36 = t, 5 e qund non s può rfutare l potes nulla Pertanto, l valore d β non rsulta sgnfcatvamente dverso da zero d No, l coeffcente d determnazone è par a R XY = 9, 8% e La tavola ANOVA è la seguente: Tavola ANOVA Sorgente d Somma de Grad d Meda de varazone quadrat lbertà quadrat F Regressone,893345,893345,867 Resduo 7, , Totale 8,376 9 Consderando una F-Fsher con e 8 gdl s ha F, 5 = 5, 3 segue che f =, 867 < 5, 3 = F, 5 e qund β non è sgnfcatvamente dverso da zero Rtorna come atteso lo stesso rsultato ottenuto al punto c f Dal grafco de resdu 5 resduo possamo consderare approprata l assunzone d lneartà g Dal grafco de resdu standardzzat: 5 Resdu standardzzat possamo osservare che l % de punt rcade nella fasca [-; +] qund non v è evdenza d valor anomal

7 h La retta d regressone stmata che pone l tasso d dsoccupazone n funzone dell anno è: ŷ = 44, 664 +, 8x Dal segno d βˆ possamo affermare che al crescere del tempo aumenta l tasso d dsoccupazone Il valore della statstca test è t = B s( B ) =, 8, 85 =, 447 Sapendo che l valore della t-student con 8 gdl per α =, 5 è t, 5 =, 36, s ha t =, 447 >, 36 = t, 5 e qund s può rfutare l potes nulla Pertanto, l valore d β rsulta sgnfcatvamente dverso da zero La bontà d adattamento della retta a dat è suffcentemente elevata dato che R XY = 4, 8% La tavola ANOVA è la seguente: Tavola ANOVA Sorgente d Somma de Grad d Meda de varazone quadrat lbertà quadrat F Regressone 7, ,6488,536 Resduo,636 7,689 Totale 8,376 9 Consderando una F-Fsher con e 8 gdl s ha F, 5 = 5, 3 segue che f =, 53 > 5, 3 = F, 5 e qund β è sgnfcatvamente dverso da zero Dal grafco de resdu: 5 Resduo Y prevsto - -5 possamo consderare approprata l assunzone d lneartà Dal grafco de resdu standardzzat: resduo standardzzato possamo osservare che l % de punt rcade nella fasca [-; +] qund non v è evdenza d valor anomal 7 a La retta d regressone stmata che pone l Reddto pro-capte n funzone della Percentuale d Forza Lavoro nell agrcoltura è: ŷ = 37, 95 8, 858x b No Dal segno d βˆ possamo affermare che al crescere della Percentuale d Forza Lavoro nell agrcoltura dmnusce medamente l Reddto pro-capte c Il valore della statstca test è t = B s( B ) = 8, 858 3, 395 = 5, 555 Sapendo che l valore della t-student con 8 gdl per α =, 5 è t, 5 =, 9, s ha t = 5, 555 >, 9 = t, 5 e qund s può rfutare l potes nulla Pertanto, l valore d β rsulta sgnfcatvamente dverso da zero

8 d La bontà d adattamento della retta a dat è puttosto elevata dato che R XY = 63, % e La tavola ANOVA è la seguente: Tavola ANOVA Sorgente d Somma de Grad d Meda de varazone quadrat lbertà quadrat F Regressone 376,8 376,8 3,847 Resduo 3477, ,986 Totale ,55 9 Consderando una F-Fsher con e 8 gdl s ha F, 5 = 4, 4 segue che f = 3, 847 > 4, 4 = F, 5 e qund β è sgnfcatvamente dverso da zero f Dal grafco de resdu: 8 6 Resduo Y stmato non sembra sa possble sostenere l assunzone d lneartà g Dal grafco de resdu standardzzat: 5 Resduo standardzzato Il grafco mostra due punt a cu corrspondono de valor del resduo standardzzato prossm o superor a + Ess corrspondono alla Sveza e al Canada I valor presentat da quest due paes non sono comunque tal da rtenerl anomal anche se è opportuno consderarne la dverstà rspetto agl altr paes h Elmnando la Sveza e l Canada s ottene la seguente retta: ŷ = 97, 567 6, 563x La bontà d adattamento aumenta passando a R XY = 7% 7 a La retta d regressone stmata che pone l Aspettatva d vta n funzone del Logartmo del numero medo d persone per TV è: ŷ = 77, 887 9, 88x b Per l ntercetta, l valore della statstca test è t B s( B ) = 77, 887, = t = mentre per l coeffcente, B s B = 9, 88, 99 = 9, = Sapendo che l valore della t- angolare l valore della statstca test è ( ) 897

9 Student con 8 gdl per α =, 5 è t, 5 =, 9, sa t sa t sono maggor, n valore assoluto, d t,5 e qund per entramb coeffcent d regressone s può rfutare l potes nulla Pertanto, valor d β e β rsultano sgnfcatvamente dvers da zero c No Dal segno del coeffcente angolare possamo affermare che al crescere del Logartmo del numero medo d persone che guardano la TV dmnusce medamente l Aspettatva d vta d In generale, un modello d regressone non permette d convaldare con certezza un legame d causa-effetto In questo caso specfco, anche dal punto d vsta logco non è possble potzzare un legame d causa-effetto tra le due varabl prese n esame S tratta puttosto d un legame spuro, n quanto la varable Logartmo del numero medo d persone che guardano la TV può essere consderata come un ndcatore d status soco-economco de paes consderat nell anals e Il coeffcente d determnazone è puttosto elevato e par a R XY = 73, % f La retta d regressone stmata che pone l Aspettatva d vta n funzone del Logartmo del numero d persone per medco è: ŷ = 3, 8, 597x g Per l ntercetta, l valore della statstca test è t = B s( B ) = 3, 8 4, 5 = 845 mentre per l coeffcente angolare l valore della statstca test è t = ( ) 976 Sapendo che l valore della t-student con 8 gdl per α =, 5 è 9 t sono maggor, n valore, B s B =, 597, 454 = 7, t, 5 =,, sa t sa assoluto, d t, 5 e qund per entramb coeffcent d regressone s può rfutare l potes nulla Pertanto, valor d β e β rsultano sgnfcatvamente dvers da zero h Anche n questo caso vale quanto detto al punto d No Infatt, l valore del coeffcente d determnazone pur essendo puttosto elevato, par a R XY = 63, 8%, è nferore a quello del modello precedente j Dal punto d vsta dell adattamento a dat (cò rspetto al del coeffcente d determnazone) è mglore la varable Logartmo del numero medo d persone che guardano la TV k Evdentemente la presenza e dffusone del mezzo televsvo tra le famgle e gl ndvdu d un paese è un ndcatore molto precso dello svluppo soco-economco dello stesso In effett, valor pù pccol del Logartmo del numero medo d persone che guardano la TV corrspondono a paes pù svluppat qual Stat Unt, Canada, Gappone, Franca, mentre valor pù grand a paes meno svluppat qual Burma, Etopa, Bangladlesh Anche la seconda varable, Logartmo del numero d persone per medco, è un buon ndcatore dello svluppo socoeconomco, tuttava rsente anche dell organzzazone della struttura pubblca santara de paes a prescndere dal loro svluppo economco Ad esempo, rsulta da dat che l Ucrana, la Russa, l Argentna, al par dell Itala, hanno un numero pù basso d persone per medco d quanto non abbano gl Stat Unt e l Gappone 7 a La statstca test è t = B s( B ) =,3,3 = 7, 9, mentre t 8,, 5 =, 36 e qund l potes nulla vene rfutata b L ntervallo d confdenza è dato da:, 3 ±, 36, 3 =, 3 ±, 3, ossa [,73 ;,33] c Dal grafco de resdu standardzzat s può notare che n corrspondenza del valore = 4, 5 s ha un resduo puttosto elevato anche se ne lmt d accettabltà L andamento de resdu, n parte condzonato dal valore pù grande, non sembra presentare un andamento del tutto casuale

10 Resdu standardzzat -,, 4, 6, 8, Y d Dal grafco d normaltà s evnce la poca conformtà all potes che la dstrbuzone osservata de resdu sa d tpo Normale,,8 Prob cum attesa,6,4,,,,,4,6,8, Prob cum osservata

11 73 Dalla tabella ANOVA s deduce che: a Il valore d F = 3, 78, 94 = 3, può essere consderato, rspetto a una dstrbuzone F-Fsher con e 9 grad d lbertà, un valore puttosto raro come è evdenzato dal valore del p-value Poché s ha p- value<, l potes nulla che β vene rfutata = b La stma d σ è s = MQE = 7, 94 c Il coeffcente d determnazone vale R = 3, 78 59, 6 =, 59 d Il grafco de resdu non presenta valor anomal Resdu standardzzat - 5, 3, 35, 4, 45, 5, 55, Y 74 a Il valore della t, 5 con grad d lbertà è t, 5, = 3, 5 e qund l ntervallo d confdenza per β è dato da:, 46 ± 3, 5 79, =, 46 ±, 55, ossa [-,9 ;,]; mentre per β è dato da:, 87 ± 3, 5 43, =, 87 ±, 44, ossa [,43 ;,3]; b Dal punto a s può vedere che l valore cade all nterno dell ntervallo d confdenza per β qund l potes nulla non può essere rfutata per un lvello d sgnfcatvtà α =, c Il grafco de resdu presenta valor nella norma

12 Resdu standardzzat - -,,, 3, pl d Dal grafco d normaltà s può osservare che resdu non sembrano essere conform all potes d normaltà 75 a Dato l valore d t = t8;, 5 =, 3 α e le stme puntual ˆ β =, 358 e ˆ β =, 8, s ottene per n ; β :, 358 ±, 3 4, 4 ossa [-,88; 7,7]; per β :, 8 ±, 3, 53 ossa [,6;,4] S può notare che l ntervallo d confdenza per l ntercetta nclude lo zero, pertanto per un lvello d sgnfcatvtà α =, 5 tale parametro non rsulta sgnfcatvamente dverso da zero Al contraro, β rsulta sgnfcatvamente dverso da zero b La seguente tabella mostra resdu Dal corrspondente grafco non rsultano present valor anomal Prezzo Y prevsta Resdu 3,6 7,9 4,7 4, 3,5,5 7, 3,5 4,5 8,,5 -,5 5,9 6,5 -,6 3,9 6,4 -,5 7, 8,93 -,93 5,8 8,93-3,3 7,3 8,93 -,63 5, 3,33,87

13 Resdu standardzzat - 5,, 5, 3, prezzo c Sulla base della Tavola ANOVA cosa s può dre crca la bontà d adattamento del modello e la stma del coeffcente β? ANOVA Regressone Errore Totale Somma de Grad d Somma de quadrat lbertà quadrat F p-value 45,334 45,334 7,544, 7,55 8 8,97 36,589 9 La bontà d adattamento è msurata dall ndce R = 45, , 589 =, 775, qund pù del 77% della varabltà totale è spegata dal modello d regressone In accordo con l rsultato ottenuto dall ntervallo d confdenza per β, poché l p-value è nferore a,5, β rsulta sgnfcatvamente dverso da zero per α =, 5 ma anche per un valore pù pccolo, ad esempo, α =, 76 Da un campone d 54 ndvdu s sono rlevate l età ( X ) e la pressone meda sangugna (Y ) L output del modello d regressone stmato è l seguente: ANOVA Regressone Errore Totale Somma de Grad d Meda de quadrat lbertà quadrat F p-value 374, ,968 35,793, 345, , ,333 53

14 Coeffcent d regressone (Constant) età B Std Error 56,57 3,994,58,97 a Il modello d regressone stmato è: Ŷ = 56, 57 +, 58X b Il valore del coeffcente d determnazone è R = 374, , 333 =, 48 c Attraverso l valore Valutare d F = 35, 793 e l corrspondente valore del p-value, poché p-value<,, possamo rfutare l potes nulla d Poché t 5 ;, 5 =,, per β l ntervallo d confdenza è dato da: 56, 57 ±, 3, 994 ossa [48,3; 64,8], mentre per β è dato da:, 58 ±,, 97 e L stogramma de resdu standardzzat sembra concordare abbastanza bene con l potes d normaltà, anche se nella parte centrale dell stogramma è vsble una leggera devazone dalla dstrbuzone teorca Questa devazone è confermata anche dal grafco successvo dove maggor scostament dalla bsettrce sono nella parte centrale del grafco f Il grafco de resdu standardzzat rspetto all età non presenta valor anomal, tuttava la forma a mbuto segnala la non conformtà all potes d omoschedastctà de resdu