materiale didattico I incontro

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1 Pano Nazonale Lauree Scentfche (PLS ) Statstca Laboratoro d Statstca Le relazon tra varabl prof.ssa Angela Mara D'Uggento angelamara.duggento@unba.t materale ddattco I ncontro

2 Dall anals statstca esploratva a A seconda del numero d varabl consderate, è possble effettuare un anals UNIVARIATA BIVARIATA MULTIVARIATA modell

3 Anals statstca unvarata Consdera una sola varable quanttatva/qualtatva per volta, ad esempo età, voto, numero scrtt, altezza, resdenza, ttolo studo, genere, ecc. Gl strument d anals: 1. Mede e rappresentazon grafche 2. Varabltà 3. Numer ndc

4 Anals statstca bvarata Studa due varabl quanttatve/qualtatve contemporaneamente, ad esempo peso/altezza, voto matera X/voto matera Y, numero scrtt/sesso, ttolo d studo/voto d laurea, rsparmo/consumo, ecc. Gl strument: 1. Anals della dpendenza (Regressone semplce) 2. Anals della nterdpendenza (Correlazone semplce) 3. Anals dell ndpendenza (c^2)

5 Anals statstca multvarata Studa l nfluenza contemporanea d tre o pù varabl Tecnche statstche: 1. Anals fattorale 2. Cluster analyss 3. Scalng Multdmensonale 4. Regressone multpla 5. Correlazone canonca 6. Anals corrspondenze

6 Regressone, Correlazone, Indpendenza REGRESSIONE CORRELAZIONE INDIPENDENZA Anals della DIPENDENZA tra Y (dpendente) n funzone d due o pù varabl statstche ndpendent X 1,X 2, X n (regressor) Anals della INTERDIPENDENZA ASSOCIAZIONE tra due o pù varabl statstche X 1,X 2, X n Il varare d una delle due varabl statstche X 1 e X 2 NON INFLUENZA, non produce alcun effetto sull altra

7 Regressone Supponamo d essere nteressat alla relazone tra cfra nvestta n pubblctà (X) e l rtorno n termn d vendte (Y). In realtà c sono altr fattor che nfluenzano l valore d Y per un dato valore d X qual tpo prodotto, fattor economc, luogo d vendta, ecc. Nella raccolta dat s rlevano le coppe d osservazon (x, y ) per ottenere una sere d n coppe d dat: (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ), (x, y ) (x n, y n ). Il grafco che le rappresenta è l grafco a dspersone o scatter plot Altr esemp: X= dmensone della casa (n m 2 ); Y=prezzo d vendta X = n.ro clent contattat; Y = n.ro contratt conclus X= reddto; Y=consumo

8 Regressone Esempo: un'agenza mmoblare rleva seguent dat: abtazone prezzo (Euro) dmensone (mq) N.ro camere letto N.ro servz ,0 4 3, ,0 5 3, ,9 4 2, ,0 5 4, ,5 4 3, ,7 4 3,5 Lo scopo della regressone lneare semplce è quello d ndvduare la eventuale relazone tra le due varabl (rappresentata grafcamente dal grafco a dspersone o scatter) esplctandola attraverso una funzone matematca. Tale modello matematco predce l valore d Y come una funzone lneare della varable ndpendente X. I modell d regressone multpla predcono l valore d Y come funzone d una sere d varabl ndpendent X 1, X 2. X n

9 Prezzo La varable Y vene detta varable rsposta (o varable dpendente), la varable X vene detta varable esplcatva (o varable ndpendente o regressore). Regressone Per verfcare la presenza d una relazone è opportuno fare l grafco e, qund, ndvduare l modello ed suo parametr Costo delle abtazon ,0 100,0 200,0 300,0 400,0 500,0 600,0 dmenson della casa (n mq)

10 Regressone lneare semplce La relazone tra le due varabl è, per semplctà, supposta lneare, pertanto sarà studata attraverso la funzone della retta d regressone che, con dat camponar, è: y 0 1x Varazone casuale dovuta ad altr fattor non msurabl Intercetta. Valore d Y per x=o Coeffcente angolare. Vara tra + e -. Indca come vara n meda Y al varare untaro d X.

11 Regressone lneare La stma de parametr ncognt della funzone d regressone avvene con l metodo de mnm quadrat. Tale metodo consste nel rendere mnma la dfferenza al quadrato tra valor teorc (valor da modello) e valor emprc (dat osservat) n 1 2 ˆ ) mn y y

12 Regressone lneare Uguaglando a zero le dervate parzal rspetto a due parametr b 0 e b 1, s gunge al sstema rsolutvo con le formule : ) ) ) ) ( ), var( ) ( ), ( X Var Y X Co X Dev Y X Codev x x y y x x b x b y b N N

13 I parametr della retta d regressone b 0 è l ntercetta o termne noto ed esprme l valore d Y quando x=0; b 1 è l coeffcente angolare della retta e qund b E anche detto coeffcente d regressone ed esprme la varazone meda del carattere Y al varare untaro del carattere X. Se b 1 >0 c è dpendenza dretta tra X e Y, coè Y aumenta n meda all aumentare d X; se b 1 <0 c è dpendenza nversa tra X e Y, coè Y dmnusce n meda all aumentare d X; se b 1 =0 v è ndpendenza d Y da X.

14 Interpolazone ed estrapolazone L nterpolazone s usa per predre valor d Y servendos de valor d X che s trovano all nterno dell ntervallo de dat. L estrapolazone s usa per predre valor d Y servendos de valor d X che s trovano all esterno dell ntervallo de dat. La prma è pù attendble perché non abbamo garanza dell nvaranza del comportamento del fenomeno al d fuor dell ntervallo.

15 Esempo d calcolo de parametr della retta d regressone X n.ro contatt Y n.ro scrtt x) x y) y x x) y y) x ) 2 x Codev (X,Y) Dev (X) Usare Excel Per stmare parametr Intercetta (per calcolare b 0 ) Pendenza (per calcolare b 1 ) Per vsualzzare equazone ed R^2: Selezonare una delle coppe d punt Premendo l tasto destro del mouse /aggung lnea d tendenza/vsualzza equazone/vsualzza R^2 Per lo svolgmento s veda fle Excel presente nel materale ddattco

16 Correlazone semplce La correlazone msura l nterdpendenza tra due caratter X 1 ed X 2. n termn d concordanza o dscordanza. In tal caso non è possble dstnguere l carattere dpendente da quello ndpendente. Una msura assoluta della concordanza/dscordanza è la codevanza. Codev( X, Y ) x x) y y) 1 La correlazone s msura con l coeffcente d correlazone r d Bravas Pearson N

17 Correlazone semplce Codevanza r N N 1 x x) y y) 2 x ) x y y) N =+1 max concordanza =0 ndfferenza =-1 max dscordanza 1 r 1 Devanza d X e Devanza d Y Il coeffcente d correlazone è anche denotato con r ed ha la stessa nterpretazone

18 Relazone tra retta d regressone e r (coeffcente d correlazone)

19 Varanza d regressone Analogamente a quanto detto per la meda, è possble studare la dspersone de valor osservat d Y ntorno alla retta d regressone. Dspersone elevata sgnfca lmtata attendbltà delle prevson fatte con l modello scelto (retta d regressone); l contraro se la dspersone è bassa. L adattamento s msura con R 2. Le tre devanze sono date rspettvamente dalla somma de quadrat de segment vertcal tratteggat. S dmostra che Dev(Y)=Dev(R)+Dev(E)

20 Indce d determnazone R 2 R R Dev( R) Dev( Y ) Dev( R) Dev( Y ) N ) yˆ y 1 N 1 1 R 2 1 y y) Dev( E) Dev( Y ) N ) y yˆ 1 N y y) R 2 esprme la bontà d adattamento del modello d regressone coè quanta parte della devanza totale d Y è spegata dalla retta scelta R 2 =+1 quando Dev(E)=0 coè tutt punt sono perfettamente allneat su retta regressone R 2 =0 quando Dev(R)=0 coè b 1 =0 coè ndpendenza n meda