UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TORINO CORSO DI LAUREA IN CHIMICA Dispense ad esclusivo uso introduttivo per il modulo di Fisica C

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1 ELEMETI BASILARI DI TEORIA DEGLI ERRORI. VALOR MEDIO, DEVIAZIOE STADARD E VARIAZA S defnsce valor medo d un nseme d dat,,, la quanttà: () S defnsce varanza emprca dell nseme precedente la quanttà: σ () S defnsce devazone standard emprca o scarto quadratco medo emprco la quanttà: ( ) ( ) σ (3) S defnsce varanza della meda artmetca dell nseme precedente la quanttà: ( ) σ (4) ( ) S defnsce devazone standard della meda artmetca o scarto quadratco medo della meda ( ) artmetca la quanttà: σ ( ) (5). ICERTEZZA SULLE MISURE Msurare una grandezza vuol dre determnare un valore quanttatvo con l'auto d tecnche ed apparecch spermental. on esstono msure perfette; ogn valore spermentale è affetto da un'ndetermnazone ("errore") che dpende: - dalla natura della grandezza da msurare Una grandezza può essere pù o meno ben defnta, per esempo a causa del rumore d fondo, d fluttuazon statstche, ecc. - dalla qualtà delle tecnche e degl strument utlzzat La qualtà d uno strumento o dspostvo d msura è determnata dall' nseme delle tre seguent propretà: a) sensbltà: atttudne a dcharare debol varazon della grandezza da msurare b) fedeltà: costanza nella rproducbltà de rsultat (se s msura la stessa grandezza nelle stesse condzon) c) precsone: valore dello scarto tra l rsultato fornto dal dspostvo d msura ed l valore vero della grandezza msurata - dall' operatore

2 L'operatore puo' essere fonte d error sa sstematc sa accdental (ved qu d seguto).. TIPI DI ERRORE a) Error sstematc Quest error sono dovut ad un dfetto dell'appareccho o al "modus operand" adottato. Sono caratterzzat, n generale, da un valore fsso n segno e grandezza, e d conseguenza sono dffclmente rvelabl con una semplce rpetzone delle msure. L'unca manera per prevenre questo genere d error consste n una taratura perodca degl strument d msura e n uno studo crtco de metod spermental utlzzat. Quando possble, può anche essere struttvo rpetere la msura con un altro appareccho e/o un altro "modus operand". b) Error aleator Gl error aleator sono caratterzzat da una dstrbuzone casuale de rsultat spermental attorno al valore vero della grandezza msurata. Possono provenre da caratterstche dell'apparecchatura utlzzata, o anche dal fenomeno fsco stesso (ved l caso della radoattvtà, per esempo). S può rdurre questo genere d error aumentando l numero d msure e prendendo la meda de rsultat ottenut. c) Error accdental Quest error possono essere dovut a cause molto dverse, dffcl da scoprre: nesperenza, neglgenza, fenomen estern perturbator, ecc. Rpetendo una msura, gl error d questo tpo non conservano sstematcamente lo stesso segno o la stessa grandezza per cu, n generale, s possono evdenzare confrontando fra loro rsultat d msure (della stessa grandezza nelle stesse condzon). d) Error assocat alle msure L errore assocato ad una msura è funzone dello strumento che effettua la msura, dell osservatore e del metodo d msura. La teora statstca è n grado d esamnare l comportamento degl error accdental, mentre s suppone che gl error comput dallo spermentatore e quell sstematc, che non possono essere nterpretat statstcamente, sano elmnat graze all abltà dello spermentatore stesso. el caso d una msura sngola, s assume che l errore sa par alla sensbltà dello strumento, ossa la mnma untà apprezzable dallo strumento. el caso d poche msure ( 5), s assume come errore assocato al valor medo della msura (eq. ) l valore massmo tra la sensbltà strumentale e l errore massmo, quest ultmo defnto come la dfferenza tra le msure con valore maggore e mnore. el caso d pù msure (>5), s assume come errore assocato al valor medo della msura (eq. ) l valore massmo tra la sensbltà dello strumento e lo scarto quadratco medo della meda artmetca (eq. 5).

3 3. STIMA DEGLI ERRORI Utlzzando le nformazon approprate sulle caratterstche ndvdual delle apparecchature usate, e l'anals del dspostvo spermentale mpegato, è possble stmare l margne d errore (teorco) connesso ad ogn msura. Un rsultato spermentale perde ogn sgnfcato se non è accompagnato da una stma dell'errore commesso. a) Error assolut L'errore assoluto è l'ncertezza sul rsultato della msura provocato dalle mperfezon dell'appareccho utlzzato. el caso n cu la precsone dell'appareccho sa superore o uguale alle fluttuazon della grandezza msurata, convene effettuare dverse msure e prendere la meda artmetca dell'nseme de rsultat ottenut; l'errore assoluto può, allora, essere stmato calcolando l pù grande scarto tra valor msurat e la meda. el caso n cu la precsone dell'appareccho sa nferore alle fluttuazon della grandezza msurata, è nutle rpetere le msure (al massmo s possono mettere n evdenza error aleator); l'errore assoluto è uncamente determnato dalla precsone dell'appareccho. b) Error relatv L'errore assoluto non dà una vsone mmedata del grado d perfezone d una msura: la msura d una lunghezza con un errore assoluto d ± cm assume un sgnfcato ben dverso se la lunghezza da determnare è dell'ordne del metro o d centnaa d Km! Per tener conto d questo fatto, s defnsce l errore relatvo r l rapporto tra l errore assocato ad un dato (δ) ed l dato stesso (): r (6) Tale grandezza è ovvamente admensonale, caratterzza la precsone della msura.. Il prodotto d r per 00 costtusce l errore relatvo percentuale. c. Error ndpendent e casual el caso pù generale, la grandezza da msurare è determnata attraverso la msura d un certo numero d parametr ndpendent. el caso n cu una grandezza sa funzone d altre varabl,,,, coè f,,..., ), e la msura delle varabl sa soggetta ad una sere d error ( ndpendent tra loro e casual δ (,,,), l errore sul rsultato d è dato dalla seguente formula (d propagazone degl error o d Gauss): f f f δ δ... δ + (7) S not che, nel caso d una semplce somma o dfferenza d varabl, coè nel caso... ± ± ±, l eq. 7 s semplfca n: + δ + δ +... δ (8) mentre, nel caso d un prodotto o rapporto tra le varabl, coè ad esempo nel caso ± ± ±..., l eq. 7 s semplfca nella radce quadrata della somma de quadrat degl error relatv: δ δ δ +... (9) 3

4 Valgono coè le semplc regole: l'errore assoluto su una somma o una dfferenza è uguale alla somma quadratca degl error assolut su ognuno de termn; -l'errore relatvo su un prodotto o un quozente è uguale alla somma quadratca degl error relatv a ognuno de termn. d. Error non ndpendent e casual el caso n cu, nvece, la msura delle varabl sa soggetta ad una sere d error che però non possono essere consderat ndpendent tra loro e casual δ (,,,), l errore assocato alla msura è maggore del precedente, e le formule precedentemente vste (eqq. 7-9) dvengono rspettvamente: f f f (0) δ + δ δ () δ δ δ () S not bene: - calcol dell'errore sono approssmat (s tratta d stme); non ha, dunque, alcun senso dare rsultat con pù d una o due cfre sgnfcatve; - è perfettamente nutle far comparre, n un calcolo d errore, termn che sano d un ordne d grandezza o pù nferor agl altr; - -per convenzone, quando l'ncertezza su un valore d una grandezza fsca non è esplctamente precsata, s assume che essa sa al pù uguale ad un'untà sull'ultma cfra sgnfcatva fornta (es. se l valore d una costante è s assume che l'errore sa d 0.00). 4. METODO DEI MIIMI QUADRATI E CURVE DI REGRESSIOE Dett dat, punt della curva f ( ) che meglo approssma l andamento de dat (curva d regressone) avranno la propretà che la somma de quadrat delle dstanze tra e f ( ) per ogn [ ] f punto ( ) D dovrà essere mnma (metodo de mnm quadrat). I coeffcent della curva n questone f s calcolano uguaglando a zero la dervata d D rspetto a coeffcent stess. a. Retta d regressone a + b f sono Se f a+b è l equazone della retta, valor che rendono mnma la quanttà [ ( )] dat dalle equazon: ( a b ) 0 da cu s rcava: a ( a b ) 0 mentre l coeffcente d correlazone ( r ) è dato da: (3) b (4) 4

5 [ ( ) ] ( ) [ ] r (5) b. Curva esponenzale a ep ( b ) Se a ep ( b ) è l equazone della curva, chamando cep(b) e lnearzzando l espressone n ln() ln(a) + b c + b, s rcava: ln ln ln ln c ln( a) b (6) c. Curva d potenza a b Procedendo come sopra, se a b è l equazone della curva, lnearzzando l equazone n ln() ln(a) + b ln() c + b ln(), s ottene: ln ln ln ln ln ln ln ln ln c ln( a) b (7) ln ln ln ln ln ln d. Curva logartmca a + b ln() Se a + b ln() è l equazone della curva, s rcava: ln ln (ln ) a b ln ln ln (ln ) ln (8) ln ln ln Per tutte le curve d regressone, l errore standard della stma, coè l errore assocato al punto f ( ) vale: [ f ( )] S (9) D) PRESETAZIOE GRAFICA DEI RISULTATI Sovente è molto pù utle dare un rsultato d una msura n forma grafca puttosto che sotto forma d tabelle o con lunghe descrzon. Un buon dsegno vale pù d un lungo dscorso. In un grafco, è fondamentale sceglere un tpo d rappresentazone che metta n evdenza n manera corretta le caratterstche prncpal del fenomeno studato. Cò sgnfca, ad esempo, sceglere l tpo d scala pù adeguato (lneare-lneare, lneare-logartmco, logartmco-lneare, ecc.), sceglere opportunamente gl ass e le scale pù opportune (n modo da utlzzare tutto l grafco e non solo una parte), non dmentcando d'ndcare charamente su ognuno degl ass l nome della grandezza fsca e la corrspondente scala utlzzata. E' noltre mportante rportare, per tutt punt msurat, margn d'ncertezza corrspondent, sotto forma d barre d'errore o rettangol d errore. Anche l modo d rappresentazone deve essere valutato con attenzone. Spesso è convenente, se possble, sceglere una rappresentazone che corrsponda ad una relazone lneare tra le grandezze fsche rportate sugl ass, utlzzando magar rappresentazon ln-log o log-log. È nfatt relatvamente semplce verfcare se dat msurat s dspongono lungo un retta o no. 5