Principio di massima verosimiglianza

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1 Prncpo d massma verosmglana Sa data una grandea d cu s conosce la unone denstà d probabltà ; che dpende da un nseme de parametr ndcat con d valore sconoscuto. S vuole determnare la mglor stma de parametr. Se dsponamo d osservaon ndpendent d la denstà d probabltà assocata ad una determnata -pla d valor { } è data dal prodotto: L... ; ; ; Il metodo d massma verosmglana consste nell adottare come stma de parametr que valor che rendono massma la unone verosmglana. La mglor stma del valore vero d è quella n corrspondena della quale l osservaone degl valor d è la pù probable coè quella che rende massma la probabltà composta delle osservaon.... unone d verosmglana Lkelhood ; Leone 5 pag.

2 Se conoscamo la orma analtca della unone verosmglana possamo determnare l suo massmo come punto n cu la dervata prma rspetto s annulla: dl / d = 0 L Invece d cercare l massmo d generalmente s cerca quello del suo logartmo naturale che è una unone monotona strettamente crescente del suo argomento: d lnl = 0 d e d L /d < 0 La mglor stma d è data dalla soluone d questa equaone. Leone 5 pag.

3 Leone 5 pag. 3 Mglor stma del valore vero d una grandea n presena d error casual Consderamo una grandea l cu valore vero non è noto d cu sono state atte osservaon: Supponamo che sa soggetta solo ad error casual allora la sua unone denstà d probabltà è la unone d Gauss. La probabltà d ottenere una msura d tra e + d è data da: ; e In questo caso parametr della unone sono } entramb d valore per l momento sconoscuto. L... ;... e e e e / La probabltà d aver osservato gl valor d : è data da: } { } {

4 Leone 5 pag. 4 e / / ln ln lnl d lnl d = 0 0 d d 0 d d 0 Date msure ndpendent della grandea n presena d sol error casual la mglor stma del valore vero è la meda artmetca delle msure. Applchamo l prncpo d massma verosmglana:

5 Analogamente la mglor stma della varana s ottene massmando la probabltà rspetto lnl ln / ln d lnl d = 0 ln 0 d d 4 A questo rsultato andrà applcata la correone d Bessel Date msure ndpendent della grandea n presena d sol error casual la mglor stma della varana è la meda degl scart quadratc delle msure. 0 Leone 5 pag. 5

6 Rassumendo: Se la msura della grandea è aetta solo da error casual la unone denstà d probabltà che la descrve è la unone d Gauss: e rappresenta: rappresenta: l valore vero della grandea l valore massmo della unone rspetto cu è smmetrca l valore medo la sem-ampea della unone dstana tra l massmo e punt d lesso la devaone standard la precsone delle sngole msure Leone 5 pag. 6

7 Vceversa date msure della grandea aetta solo da error casual la mglor stma del suo valore vero è data da: La mglor stma della varana è: e l stogramma della msure mostra un buon accordo con una unone d Gauss che ha come parametr: = e = Leone 5 pag. 7

8 Propagaone degl error Voglamo rcavare le ncertee nelle msure ndrette. Abbamo gà vsto leone un prma stma degl error sulle grandee dervate valda n generale. Consderamo ora l caso specco d grandee aette da error casual e cerchamo le ormule per calcolare le ncertee. Vedremo due cas: Formula generale per le unon d una varable. Esemp: conosco l ncertea nella msura del lato L d un cubo cerco l ncertea sul volume V=L 3. conosco l ncertea nella msura dell angolo cerco l ncertea su cos Formula generale per le unon d pù varabl. Esempo: conosco l ncertea nella msura dello spao percorso e nella msura del tempo mpegato cerco l ncertea sulla veloctà meda v=s/t. Leone 5 pag. 8

9 Formula generale per le unon d una varable Date msure della grandea aetta solo da error d tpo casuale { } sano e la meda artmetca e la devaone standard. Sa = una generca unone della grandea. Se la unone è dervable n volte nell ntorno d posso svlupparla n sere d Talor: Faccamo l potes che gl sano tutt vcn ad arrestare lo svluppo al prmo ordne: scart pccol allora posso - Leone 5 pag. 9

10 Leone 5 pag. 0 Calcolamo la meda artmetca delle : =0 Calcolamo la varana :

11 In conclusone nell potes che gl scart sano pccol: Formula generale per la propagaone degl error per le unon d varable Esemp: Incertea sul volume V =L 3 : V = L 3 V = 3L V= 3 L L V 3L L L = = 3 V L 3 L Incertea su cos : = cos = -sn cos = sn Leone 5 pag.

12 k con k = costante ed esponente = numero reale k ' k k k k Esempo d applcaone: 7 7 Leone 5 pag.

13 Leone 5 pag. 3 Formula generale per le unon d pù varabl S abbano coppe d msure delle grandea e aette solo da error d tpo casuale sano e e rspettvamente le loro mede artmetche e devaon standard.... Se la unone = è dervable n volte nell ntorno d posso svlupparla n sere d Talor: } { Consderamo una generca unone d due varabl = rsultat ottenut s possono po estendere aclmente a unon d tre o pù varabl.

14 Leone 5 pag. 4 Faccamo l potes che gl scart d da e d da sano pccol allora s può arrestare lo svluppo d Talor al prmo termne. Calcolamo la meda artmetca delle : =0 =0 Calcolamo la varana :

15 Leone 5 pag. 5 Abbamo ntrodotto la grandea covarana: propagaone degl error per le unon d due varabl. Fornsce l ncertea su n unone dell ncertea su e su e delle dervate paral d rspetto e rspetto. Inseme a: costtusce la ormula generale per la

16 Covarana Dato un nseme d msure delle grandee e s densce covarana: La covarana ha le dmenson del prodotto A derena della varana la covarana può essere sa postva che negatva. Se tutt gl scart d sono dello stesso segno d quell d allora ho una somma d termn postv vceversa se succede che tutt gl scart d sono d segno opposto d quell d allora ho una somma d termn negatv. Quando gl error sono ndpendent e casual la covarana è somma d termn postv e negatv e per rsulta nulla: = 0. Leone 5 pag. 6

17 Allora se e sono grandee statstcamente ndpendent e aette da error solo casual l tero termne nell espressone d s annulla e rmane: Questa ormula s generala aclmente al caso d unone d pù varabl = vw..: dove le dervate sono calcolate n v w. E la ormula generale per la propagaone degl error per grandee ndpendent ed error casual valda nell potes d scart pccol abbamo approssmato arrestando lo svluppo n sere d Talor al prmo ordne. v v w w... Leone 5 pag. 7

18 Leone 5 pag. 8 con k = costante =numer real e sano e ndpendent. Allora per scart d e pccol s ha: k k k k k k k k k k Caso nteressante è la unone del tpo: Per = e =: k L ncertea relatva su è data dalla somma n quadratura delle ncertee relatve su e.

19 Esempo ESERCIZIO: Uno studente eettua 0 msure del perodo T n second d un pendolo semplce la cu lunghea è d cm: T={ }. Calcolare l valore dell acceleraone d gravtà g. T s g L T 9.93m / s g? g g L L T T Leone 5 pag. 9

20 a b Combnaon lnear Un caso partcolare è quello n cu è una unone lneare d e n tal caso natt le dervate successve alla prma s annullano: a Allora le ormule date dventano esatte non pù un approssmaone valda solo per scart pccol: a b b a b ab 0 0 Inoltre s può dmostrare che se e sono ndpendent = 0 e hanno unone denstà d probabltà Gaussana anche = a + b ha unone denstà d probabltà Gaussana con valore centrale e devaone standard: Z a b l ntervallo attorno Z con sem-ampea ha una probabltà del 68% ecc.. a b Leone 5 pag. 0

21 In partcolare allora se a=b= =+ : e se e sono varabl casual ndpendent: L ncertea su =+ è data dalla somma n quadratura delle ncertee su e quando e sono ndpendent e le ncertee sono d tpo casuale. Leone 5 pag.

22 Errore standard della meda Possamo ora dmostrare la ormula gà data per l ncertea relatva alla meda artmetca d msure della grandea. La meda artmetca può consderars come una partcolare unone delle msure... e tale unone è una combnaone lneare. Allora poché cascuna msura è ndpendente dalle altre e ha unone denstà d probabltà Gaussana anche ha unone denstà d probabltà Gaussana con valore centrale e varana rspettvamente dat da:... essendo le varane delle tutte ugual. Leone 5 pag.

23 da cu: errore standard della meda Allora tutte le ormule d propagaone degl error vste no qu valgono non solo per le ncertee sulle sngole msure date dalle devaon standard ma anche sosttuendo n esse l errore standard della meda. Leone 5 pag. 3

24 Leone 5 pag. 4 Abbamo vsto la ormula generale per la propagaone degl error per unon d due varabl: Lmte superore a dalla dseguaglana d Schwart Allora possamo rcavare un lmte superore a che rsulta ndpendente dal valore della covarana: Dseguaglana d Schwart Da cu: S può dmostrare che:

25 Incertea sulla devaone standard Ctamo nne sena dmostrarlo anche un altro rsultato nteressante l valore dell ncertea sulla devaone standard: Qund se calcolata a partre da poche msure la devaone standard è determnata con un errore relatvo non pccolo. Esempo: =5 = / 5-= 0.35 =50 = / 50-= 0.0 Leone 5 pag. 5