Funzione di matrice. c i λ i. i=0. i=0. m 1. γ i A i. i=0. Moltiplicando entrambi i membri di questa equazione per A si ottiene. α i 1 A i α m 1 A m

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1 Captolo INTRODUZIONE Funzone d matrce Sa f(λ) una generca funzone del parametro λ svluppable n sere d potenze f(λ) Sa A una matrce quadrata d ordne n La funzone d matrce f(a) èdefnta nel modo seguente f(a) c A Sa m l grado del polnomo mnmo m(λ) della matrce A È possble dmostrare che esstono m coeffcent γ,con 0,, m, tal per cu la funzone d matrce f(a) può essere rscrtta nel modo seguente: f(a) m c λ γ A S not che s è passat da una sere nfnta ad una combnazone lneare delle sole potenze della matrce A d grado mnore d m Questo è possble n quanto, essendo m(λ) l polnomo mnmo annullante della matrce A, allora tutte le potenze della matrce A d ordne maggore o uguale ad m possono essere espresse come combnazon lnear delle potenze d A d ordne mnore ad m m(a) 0 A m m α A Moltplcando entramb membr d questa equazone per A s ottene A m+ m m m α A α m A m α A α m m (α m α α )A α A dove s ha α 0per <0 Per potenze d ordne superore s procede n modo analogo Zanas Roberto - Teora de Sstem AA 004/005

2 Captolo INTRODUZIONE L esponenzale d matrce gode nfatt della seguent propretà: Sa T una matrce non sngolare: e TAT t Te At T come s può faclmente verfcare dalla defnzone d esponenzale d matrce e TAT t n0 (TAT t) n n! T n0 (At) n n! T T e At T Per calcolare l nversa della matrce e A basta cambare segno all esponente ( e A ) e A Se le matrc A e B commutano, coè seab BA, allora vale la relazone: e (A+B) e A e B Sa f(λ) una qualunque funzone del parametro λ svluppable n sere d Taylor La funzone d matrce f(a) pu o essere calcolata utlzzando la relazone f(a) m γ A dove m è l grado del polnomo mnmo m(λ) assocato alla matrce A Se la matrce A è dagonalzzable, allora ammette m autovalor dstnt λ (,,m) che sono radc semplc del polnomo mnmo In questo caso valor de parametr γ s calcolano rsolvendo l seguente sstema d m equazon n m ncognte: f(λ ) m γ λ,,m Ponendo l sstema n forma matrcale s ottene: f(λ ) f(λ ) f(λ m ) λ λ λ m λ λ λ m λ m λ m λm m γ γ m Zanas Roberto - Teora de Sstem AA 004/005

3 Captolo INTRODUZIONE 3 Rsolvendo rspetto a parametr γ s ottene: γ γ m λ λ λ m λ λ λ m λ m λ m λ m m f(λ ) f(λ ) f(λ m ) La matrce da nvertre n questo caso è non sngolare n quanto è una matrce d Vandermonte assocata ad autovalor dstnt Nel caso n cu nel polnomo mnmo gl autovalor dstnt λ abbano grado d molteplcà r l sstema che s deve rsolvere per determnare parametr γ è l seguente f(λ ) m γ λ f (λ ) m γ λ f (r ) (λ ) m ( ) ( r +)γ λ r Per ogn autovalore λ la forma matrcale che s ottene è la seguente f(λ ) f (λ ) f () (λ ) f (r ) (λ ) λ λ λ 3 λ m 0 λ 3λ (m )λ m 0 0 6λ (m )(m )λ m (m ) (m r +)λ m r γ γ γ m Per esempo, nel caso d una matrce A con due sol autovalor dstnt λ e λ con molteplctà, rspettvamente, d ordne e 3 nel polnomo mnmo, l sstema da rsolvere è l seguente f(λ ) f (λ ) f(λ ) f (λ ) f () (λ ) λ λ λ 3 λ 4 0 λ 3λ 4λ λ λ λ λ λ 3 λ 4 0 λ 3λ 4λ 3 γ γ γ 3 γ 4 Anche n questo caso l sstema è rsoluble n quanto la matrce da nvertre è una matrce d Vadermonte generalzzata Zanas Roberto - Teora de Sstem AA 004/005

4 Captolo INTRODUZIONE 4 Esempo Calcolare la seguente potenza d matrce: A Il polnomo caratterstco della matrce è: 000 A (λ) (λ )(λ ) λ 3λ + Sono present due autovalor dstnt a molteplctà untara: λ, λ Il polnomo mnmo concde qund con l polnomo caratterstco Deve qund poters scrvere: A 000 γ A I + γ A γ γ +3γ Sosttuendo gl autovalor al posto d A s ottene l seguente sstema d due equazon nelle due ncognte e γ : λ γ λ λ γ λ γ 0 γ Rsolvendo questo sstema lneare rspetto al vettore delle ncognte s ottene γ 0 γ La potenza d matrce cercata ha qund la seguente espressone A ( 000 ) ( 000 ) Zanas Roberto - Teora de Sstem AA 004/005

5 Captolo INTRODUZIONE 5 Esempo Data la matrce dmostrare che e ωt 0 0 cos ωt sn ωt sn ωt cos ωt Il polnomo mnmo della matrce concde con l polnomo caratterstco Ivalord (t) e γ (t) della relazone m(λ) λ +(λ )(λ + ) e ωt γ (ωt) (t)i + γ (t) s determnano rsolvendo l seguente sstema Invertendo s ottene γ 0(t) γ (t) eωt e ωt Sosttuendo valor trovat s ottene e ωt cosωt 0 0 +snωt eωt e ωt 0 0 γ 0(t) γ (t) cos ωt sn ωt cos ωt sn ωt sn ωt cos ωt Zanas Roberto - Teora de Sstem AA 004/005

6 Captolo INTRODUZIONE 6 Funzon d matrce: nterpretazone geometrca S consder ora l caso d una matrce A d ordne n caratterzzata da n autovettor v lnearmente ndpendent Sa noltre assegnata una funzone f(λ) esprmble n sere d potenze f(λ) c λ e sa f(a) la corrspondente funzone matrcale f(a) c A Un possble modo per ottenere una forma esplcta della funzone matrcale f(a) è quello d operare una trasformazone x Tx nello spazo degl stat che dagonalzz la matrce A Le colonne della matrce T vengono poste ugual agl autovettor v della matrce A: T [ ] v v v n Indcando con D la matrce dagonale degl autovalor λ econv T dalla matrce T D λ λ λ n, T n s ottene che la funzone f(a) è esprmble nel modo seguente f(a) f(tdt )Tf(D)T n f(λ )v Le funzon f(λ ) sono mod della funzone matrcale f(a) Se f(λ) èunesponenzaleshache f(λ) e λt e At n Se f(λ) è una potenza s ha che f(λ) λ k A k n e λ t v λ k v le rghe Zanas Roberto - Teora de Sstem AA 004/005

7 Captolo INTRODUZIONE 7 È nteressante notare che la matrce v,,, n è la matrce d proezone sul sottospazo span[v ] lungo l sottospazo span [ v v v + v n ] ker[v T ] Questo fatto da un senso geometrco alle rghe v T d una generca matrce T : l vettore v è perpendcolare al sottospazo generato da tutte le colonne della matrce T esclusa la colonna -esma Come ogn altra matrce d proezone su un sottospazo d dmensone, la matrce v v T ha rango untaro, ha un autovalore untaro e tutt gl altr autovalor null Inoltre, l prodotto scalare de due vettor v e v è untaro v Esempo S facca rfermento, nel caso bdmensonale, alla seguente matrce T T [ ] v v, T v T v T v 3 3 v v v 3 Zanas Roberto - Teora de Sstem AA 004/005