Elementi di strutturistica cristallina I

Transcript

1 Chmca fsca superore Modulo 1 Element d strutturstca crstallna I Sergo Brutt

2 Impacchettamento compatto n 2D Esstono 2 dfferent mod d arrangare n un pano 2D crconferenze dentche n modo da tassellare n modo compatto lo spazo bdmensonale: Impacchettamento quadrato Impacchettamento esagonale Tassellare n modo compatto sgnfca mnmzzare gl nterstz ovvero lo spazo bdmensonale non occupato dalle crconferenze. I due mpacchettament danno luogo a un occupazone non dentca dello spazo e qund un tassellamento non equvalente.

3 Impacchettamento compatto n 2D Cerchamo d valutare l grado d tassellamento de due mpacchettament. Consderamo un rettangolo 16x4 (area tot = 64) tassellato con delle crconferenze d raggo untaro. (area=p) area cerch area totale Frazone d occupazone dello spazo 16 crconferenze 16p crconferenze 18p

4 Retcol e celle untare n 2 dmenson La sere d crconferenze mpacchettate compatte n modo esagonale (ma anche quelle n modo quadrato) costtuscono un retcolo bdmensonale. A ogn cercho posso assocare un punto che rappresenta una pccola porzone dello spazo. La regone dello spazo assocata a cascun punto retcolare è chamata cella untara. Tale porzone dello spazo può essere assocata ad un polgono che unsce 4 punt retcolar n modo da tassellare l 100% dello spazo

5 Celle, punt e bas crstallne Ogn cella untara può contenere 1 o pù punt retcolar. 1 punto retcolare per cella 2 punt retcolare per cella Analogamente ad ogn punto retcolare può essere assocato pù d un atomo (base crstallna)

6 Costruzone d una struttura crstallna Un retcolo crstallno completo può qund essere costruto a partre da: Retcolo + base crstallna = struttura crstallna Ma anche replcando n nd (2D per le strutture bdmensonal o 3D per le strutture trdmensonal) la cella elementare e tutto l suo contenuto Punt retcolar nella cella elementare + Base crstallna + Replca 2D o 3D secondo le operazon d traslazone propra della cela untara = struttura crstallna

7 Retcol bdmensonal Qualunque arrangamento regolare d punt nello spazo è un retcolo? No Un retcolo (lattce) è una sere nfnta d punt nello spazo nel quale l ambente crcostante ad ogn punto è dentco. Solo (a) e (d) sono retcol 2D (rspettvamente defnt oblquo e rettangolare). Ess dfferscono dalle operazon d smmetra esstent ne due arrangament spazal 2D

8 Retcol bdmensonal I retcol possbl n una tassellazone dello spazo bdmensonale sono 5 1. Oblquo prmtvo 2. Rettangolare prmtvo 3. Rettangolare a facca centrata 4. Quadrato prmtvo 5. Esagonale prmtvo Che corrspondono a celle untare con le seguent propretà geometrche: 1. a b a p/2 1 punto retcolare 2. a b a=p/2 1 punto retcolare 3. a b a=p/2 2 punt retcolar 4. a=b a=p/2 1 punto retcolare 5. a=b a=p/3 1 punto retcolare

9 Retcol bdmensonal - algebra La descrzone d un retcolo crstallno vene realzzata da un punto d vsta algebrco n uno spazo cartesano n questo caso bdmensonale. Data una coppa cartesana Un retcolo qualunque vene defnto medante una coppa d vettor (retcolar o ass crstalln): Il valore de parametr d cella sarà dato dal loro modulo e l angolo compreso è faclmente rcavable da consderazon trgonometrche ˆ, ˆ y x ' ' ˆ ' ˆ ' ˆ ˆ j j y j x b jy x a j j j b j a arctan arctan ' ' a

10 Retcol bdmensonal - algebra matrcale j ' j' a b a p/2 0 0 j' a b a=p/2 0 0 j' a b a=p/2 0 0 a=b a=p/ a=b a=p/3

11 Atom nello spazo - algebra Ovvamente anche la poszone d un atomo nello spazo può essere descrtta da una matrce-rga nella quale la dmensonaltà dello spazo (2D o 3D) determnerà la dmensonaltà della matrce. r at a xˆ b yˆ B n a b n by by n r at a xˆ b yˆ c zˆ Nel caso d un atomo descrtto all nterno d un retcolo la sua poszone oltre che ndvduata dal vettore cartesano può essere espressa n termn de vettor retcolar (bdmensonal o trdmensonal) 1 ax 1... B ax 1 a b In cu x 1, y 1 x n, y n sono coordnate frazonare corrspondent alla poszone dell atomo n- esmo nella cella planare c

12 Atom nello spazo - algebra In uno spazo a 2D ovvero bdmensonale è utle rappresentare la poszone degl atom n coordnate polar. r at a xˆ b yˆ a b cartesane r at r polar E ovvamente possble determnare le equazon che correlano le poszon degl atom nello spazo cartesano o nello spazo polare. r at a r a 2 b r cos 2 arctan b r sen Lo stesso tpo d relazon geometrche sono valde anche per atom la cu poszone è defnta all nterno d un retcolo da coordnate frazonare (pseudo-cartesane) e coordnate pseudo-polar. b a

13 ESERCIZI 1

14 Smmetre n 2D: grupp puntual planar Anche le bas crstallne (motv) ovvero grupp d atom che posso sostture a punt retcolar per generare le strutture crstallne possono godere d operazon d smmetra: esse sono defnte grupp puntual Nessuna smmetra Un pano d rflessone ortogonale al pano e al doppo legame 2 pan d rflessone che generano un asse d rotazone bnaro agguntvo

15 Smmetre n 2D: grupp puntual planar Un asse d rotazone bnaro (180 ) Un asse d rotazone ternaro (120 ) Un asse ternaro e un pano d rflessone

16 Smmetre n 2D: grupp puntual planar Un asse d rotazone quaternaro (90 ) Un asse quaternaro e 2 pan d rflessone Un asse d rotazone esaro (60 )

17 Smmetre n 2D: grupp puntual planar Un asse esaro e 2 pan d rflessone Quest 10 (1, m, 2mm, 2, 3, 3m, 4, 4mm, 6, 6mm) sono tutt grupp puntual d smmetra planar. Un gruppo puntuale d smmetra è l nseme delle operazon d smmetra d cu gode un determnato oggetto assocato ad un sngolo punto nello spazo. Ass d rotazon pentar, eptar o pù compless possono essere consderat e genererebbero altr grupp puntual d smmetra planar ncompatbl però con un retcolo bdmensonale.

18 Smmetre n 2D: algebra Ogn operazone d smmetra ovvamente è descrtto da un operatore algebrco che altera le coordnate d un atomo generando l suo smmetrco. In uno spazo 2D: Elemento Smbolo Replche per smmetra a (x,y) Caratterstche dell elemento d smmetra Rlfessone m (x,-y) Ortogonale all asse y e passante per l orgne (010)@(000) Asse bnaro 2 (-x,-y) Ortogonale al pano 2D e passante per l orgne [001]@(000) Asse ternaro 3 Vedamo [001]@(000) Asse quaternaro 4 pù [001]@(000) Asse esaro 6 avant [001]@(000)

19 Smmetre n 2D: algebra dell asse bnaro Dato un punto nello spazo bnaro A e un asse bnaro [001]@(000)

20 Smmetre n 2D: algebra dell asse ternaro Dato un punto nello spazo bnaro A e un asse ternaro [001]@(000)

21 Smmetre n 2D: algebra dell asse quaternaro Dato un punto nello spazo bnaro A e un asse quaternaro[001]@(000)

22 Smmetre n 2D: algebra dell asse esaro Dato un punto nello spazo bnaro A e un asse esaro [001]@(000)

23 ESERCIZI 2